2.1动画细节层次技术（LOD for animation）

对于几何结构，动画技术能够调整和简化确定的情况(例如，当运动太快、太远或者对于人的视觉来说无限多[Ber97]，或者当运动对于人来说是很少感兴趣，或者不需要复杂的计算)。尽管 [GCB95] 应用这种方法去产生过程式动画（通过减少运动采用频率，并且以自由的角度衔接角色动作），但显得更适合于应用它到基于物理的动画，因为它需要很高消耗的计算。为了简化或者细化运动，自适应的模型必须建立，并且在保证各个细节层次之间的平滑过渡 [Val99] 。

目前已经能够混合不同模型，或者能够重构一个不同分辨率的模型。多分辨率模型已经得到应用 [CH97] ，用以在三种不同的模型模拟单一点运动，动态的运动学上的单一质点运动，渐变可能仅仅在某一确定时间。[PC01] 通过三个模型模拟一个牧场。三维刀片状草，纹元（texel）和二维纹理通过插入三维运动以匹配需要的纹元。

在单一多分辨率模型工作的方法主要是基于物理的方法：[HPH96] 和 [HH98] 细化mass-spring网络, [DDBC99] 和 [DDCB01] 提议多分辨率FEM 以模拟肝脏的变形。

在这篇文章，我们介绍了一种混合方法使用两种不同的模型，其中一种是多分辨率模型。

2.2 风、树 (Wind, trees)

森林中偶然的风已经有一定的相关研究（[SF92]和[Sta96]），这两种方法都为风使用随机向量域，以及为树对风的响应使用一个枝条摆动分析模型。但是[Sta96]直接合成运动，不考虑综合。我们不能够应用这样一种方法由于我们需要综合。我们生成风带有和[PC01]同样的微元，那就是说二维掩码包含一个向量域，带有速率和影响的区域。

我们和[Ono97]相似，同样简化地假定树木的动力学：树木的密度是一致的，没有树枝和叶子间的碰撞，树枝由弯曲运动，而不是扭转。

3. 几何模型 (Geometrical model)

我们的树是由一系列定义了拓扑结构的骨架结点和一些了定义了几何结构的网格组成。骨架结点定义了拓扑结构、树枝的长度和角度。图1展示的几何参数用于定义一个树枝相对于它父结点的位置。子结点的参考系首先进行h大小的平移和沿着z轴相对于父结点 角度大小的旋转，接着应用一个沿着y轴，角度为 的旋转应用到子结点。

• 只需要很小的内存消耗就能够生成一整个带有不同类型树木的森林
• 拓扑和几何信息允许我们像外形一样化简拓扑结构
• 平滑度不受参考模型限制，能够达到任意高度

额外的计算消耗被数据流动减少部分得到平衡。此外，平台（Playstation 2, recent PC cards）数量的增加，使用专门的处理器用于网格生成，能够节省大量的计算时间。我们的目标是为游戏以及其它植物应用程序生成具有高度视觉真实感的树木。因此我们作出下面的选择：

• 骨干的生成通过一个图形节目由游戏设计给定的一些参数（大小，子结点的数量，树叶的数量）控制
• 系统使用一些通过对真实树木观察所得的简单的规则，并且不允许改变这些规则。例如，树枝和它的母亲结点之间的最大角度是它们亲缘直径的函数。
• 参数的数量尽可能小。这能够让建模更简单并且减少建模一颗唯一的树所需的数据到小于1k，同时使用Perlin noise去获得更为真实的自然质感。

我们根据元素在屏幕空间的投影大小调整LOD。LOD通过一个全局的因子调整，该因子是上一帧场景整体复杂度的函数。反馈机制允许我们们近似设置全局复杂度到任意的层次。

我们通过为每一个树枝控制角度 和 形成树木动画（见图1）。在这一节，我们首先介绍过程式动画方法，然后介绍基于物理的方法，最后介绍上述两种方法相结合后的方法。

4.1 过程式动画 (Procedural animation)

我们的过程式运动是风元（wind primitive）穿越场景的函数。我们首先简单地描述风，然后定义运动方程式，然后应用细节层次技术去产生过程式运动。

风元（Wind Primitive）：一个风元（wind primitive）（见图2）由一个圆盘（disk）状影响区域、一个力矢量F和一个震动（pulsation）定义。

每个在区域里的树木的树枝受到力f的影响，力f定义如下：

为了简化计算，这里忽略相位角度。圆盘区域能够能够沿着给定的轨道C(t)移动。这种风元允许我们测试我们的框架。在未来的工作，我们会实现更科学的函数。

对风的响应(Response to wind)：我们的过程式方法不是物理的，由于它不是基于由加速度综合得到的时间。但是它设计的目的是用于容易转变到基于物理的方法。每个应用到树枝上的风力产生一个基于它的力矩，是形成转到运动的成因。我们通过下面的公式近似计算力矩：

其中L是树枝的长度，z是它的轴。然后投影力矩到旋转轴以获得一个旋转幅度（rotation amplitude）。运动由风云引起，可以描述如下：

其中和y是树枝相对于父结点的旋转轴（见图1）。m是树枝惯性的近似值（见4.2.1节）。风的动作如此作为一种外力综合了两次。通过对所有应用到树枝上的风元运动求和，得到了该树枝最终得到的值：

角度直接设置到应用的力矩的值。风的方向连同力的大小和pulsation通过力矩投影计算。

细节层次 (Levels of detail)：动画LOD已经独立于渲染技术发展了很长一段时间。对于现在，细节层次涉及深度递归多于屏幕大小。树枝的接缝点是固定的。能够独立地为每颗树设置细节层次。我们的判断标准是基于视深度和风的存在。我们通过在时间间隔(to,t1)间进行线性插值实现过渡渐变：

• 固定的到移动的
• 移动的到固定的

是对风动作的响应， 是实际应用的角度。在渐变的期间，能够通过倒转进度值切换回过去的LOD层次。

4.2 基于物理的动画 (Physically-based animation)

基于物理的动画使用物理数据，如力（force）、块（mass）以及硬度（stiffness）。尽管过程式建模不是设计来用于生成这些物理数据，但是我们还是能够通过几何数据建立它。这里，我们首先简要介绍一下如何通过过程式生成几何数据建立一个物理模型，然后介绍一个针对物理动画的简化的方法。

物理模型（Physical model）：正如我们前面提到的，没有物理数据永久保留，我们通过几何数据推导出on-the-fly mass、硬度（stiffness）和阻尼（damping）。和过程式动画相比，我们现在考虑风的动作作为一个真实的力。为了获得一个从程序上导物理上连续的动画，我们应用风作用的第二次衍生物（the second time derivative of wind action），使用当前的风元（wind primitive），我们设定：

由于风带来的运动是这样理论上和程序计算的运动一致。实际上，由于要考虑时间合成因素，不采用阻尼运动会带来分歧。由关节产生的扭矩被用线型阻尼角度弹力（linear damped angular springs）来模拟. 硬度系数k和阻尼系数v是根据枝干的直径和长度来估计的。在线性弹性理论中，硬度与对象区域的翻转有关。对于一个给定的力，整个树枝最后的偏移与它的长度是成正比的。因此，我们设k与成正比，其中d表示枝干的平均直径，l表示枝干的长度。我们一般假定阻尼与硬度成正比。在连接处的扭矩有以下公式给出：

质量与体积有很大的关系。所以我们限制m与成正比。在未来的工作中我们将研究使用，用以模拟一根棒的惯性。

运动方程 (Equations of motion)：为了节省估算时间，我们应用简化的动力学，并且只考虑旋转。动力学的定理如下：

其中表示应用于物体的净力矩。表示物体在世界坐标下的角速度，表示物体的角加速度，J表示物体的惯性矩阵。第二个方程来源于一个简化的假设，其中I表示单位矩阵。

净力矩由风力和连接点力的影响叠加而成：

其中下标p表示枝干的父枝。然后我们将物体相对于父枝的角加速度投影到极坐标中（two rotations axes ），以获得连接点的角加速：

我们使用标准的欧拉方法对时间进行插值：

并且是相同的。为了完成时间合成，帧与帧之间的位置和速度必须保存起来。.

4.3 运动合成（Hybrid animation）

我们使用运动合成来联合风力作用和用户的动作，例如抓住某枝干。我们首先说明这两种形式如何在同一棵树上共存。然后我们将说明如何变换和实现。

两种方法的共存（Coexistence of the two methods）：过程式动画是利用4.1和4.2所述的方程计算的，不考虑其他枝干的运动。所以程式动画在混合动作中表现力欠佳。基于物理的动画使用力网（net force）计算. 物体的弹力依赖于它的位置和速度。因此对于每个枝干的物理运动，我们必须知道其相邻枝干的位置和速度。如果相邻枝干是物理运动，那么它的速度和位置一样也是它运动状态的一部分。如果它是程式运动，我们则用有限个不同的来计算。图3举例说明了一个树混合的方法。

我们呈现了一个交互森林的原型。它由on-the-fly构造的树木构成，在每次重画时通过一系列参数定义位置、拓扑结构和外形。该方法减少了内存需求并且允许很好的转换细节层次。我们已经开发出一个新的动画方法很好地适应这种方法。它联合一个快速的过程式方法包含各细节的层，带有基于物理的模型，用于处理交互。能够在任意时间实施动画之间的渐变。物理方法仅仅在需要的时候动态应用。作为结果，我们得到了高的帧速和交互性。

对于特定的需要还需要对方法进行发展和应用。实际的动画需要比我们现在基于层次的方法更好的树木的区分。我们将会增强过程式和物理式方法，更多的值得探讨的风元将会添加实施，隐式的插值将会施加到硬的物体上。我们同时还计划研究噪声函数以处理树枝以外的叶子动画。碰撞检测也是我们下一步考虑的工作。

从一个更基础的观点来看,我们将来会研究如何让过程式和基于物理的方法共存。在我们当前的实现，物理分枝是程序生成那些分枝的双亲。相反同样也应该成立，例如，如果一个一只小鸟停靠于一个小的树枝上，我们不一定需要物理地让该父亲结点树枝表演动画，仅仅那些真正受到小鸟影响的需要表演动画。更一般地，我们需要准则去决定那些树枝需要物理动画，我们同时计划应用LOD到基于物理的动画，也许使用子树聚类（sub-tree clustering）。

参考文献 (Bibliography)

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