计数原理

1 ) 分类相加

做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有$m_1$种不同方法，第二类有$m_2$种不同方法 … 在第n类办法中有$m_n$种不同的方法，完成这件事共有 $N = m_1 + m_2 + m_3 + ... + m_n$ 种不同方法

2 ) 分步相乘

做一件事情，完成它有n个步骤，做第一个步骤有$m_1$种不同方法，第二个步骤有$m_2$种不同方法…做第n个步骤有$m_n$种不同的方法. 那么完成这件事共有 $N = m_1 * m_2 * ... * m_n$ 种不同的方法

排列

1 ）概念

• 排列：从n个不同元素中，任取m(m<=n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
• 排列数：从n个不同元素中，取出m(m<=n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 $A_n^m$
• 排列是有序的

2 ） 公式

• $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
• $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$
• $A_n^m = n!$
• 规定 0! = 1

组合

1 ）概念

• 组合：从n个不同元素中，任取m(m<=n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
• 组合数：从n个不同元素中，取出m(m<=n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 $C_n^m$
• 组合不考虑顺序

2 ）公式

• $C_n^m = \frac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m!}$ 或 $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$
• $C_n^m = C_n^{n-m}$
• 规定 $C_n^0 = 1$

排列与组合的关系

• $A_n^m = C_n^m * A_m^m$
• 排列就是先组合再全排列
• $C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{n(n-1)...(n-m+1)}{m(m-1)...2*1} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ (m <= n)
• 排列 $A_{n+1}^m = A_n^m + mA_n^{m-1}$
• 组合 $C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1}$

使用python来测试排列和组合

import itertoolsx = list(range(7))
print(x) # [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]a = itertools.permutations(x, 3)# 测试排列
b = itertools.combinations(x, 3) # 测试组合print(len(list(a))) # 210
print(len(list(b))) # 35