第十讲：四个基本子空间

假设A是m×n，列空间C(A)，零空间N(A)，行空间C(A^T)，A转置的零空间(通常叫左零空间)N(A^T)，这是线性代数的核心内容，研究这四个基本子空间及其关系。我们从上一讲中的基、维数对这四个空间进行学习。

1.维数

1.1四种空间的定义

A是m*n的矩阵。

零空间N(A)：n 维向量，是Ax=0 的解，所以N(A)在R^n里。

列空间C(A): 列向量是m维的，所以C(A)在R^m里。

行空间C(A^T):A的行的所有线性组合，即A转置的列的线性组合（因为我们不习惯处理行向量C(A^T)在R^n里。

A的左零空间N(A^T)：A转置的零空间N(A^T)在R^m里面。

1.2 四种空间的维数

四种空间的维数是多少dimension？

列空间C(A)：A的主列就是列空间的一组基，dim(C(A))=Rank(A)=r，维数就是秩的大小。

行空间C(A^T)：dim(C(A^T))=Rank(A)=r，有一个重要的性质：行空间和列空间维数相同，都等于秩的大小。

零空间N(A)：一组基就是一组特殊解，r 是主变量的个数，n-r 是自由变量的个数，零空间的维数等于n-r,即dim(N(A))=n-r。

左零空间N(A^T)：矩阵A^T有m 列,而其秩为r，因此A^T自由列数目为m-r,所以dim(N(A^T))=m-r。

行空间和零空间在R^n 里，他们的维数加起来等于n，列空间和左零空间在R^m里，他们的维数加起来等于m。如下图所示：

1.3对这四个空间进行总结

1）n维空间中存在两个子空间，一个r维的行空间，一个n-r维的零空间，维数和为n。和另一个结论相似（在求解Ax=b处）：
r 个主变量，n-r 个是自由变量，加起来是n。
2）m维空间中存在两个子空间，一个r维的列空间，一个m-r维的左零空间，维数和为m。

2.基

列空间C(A)：主列组合就是一组基。

零空间N(A)：Ax=0一组特殊解就是一组基。

行空间C(A^T)：通过初等行变换变换成行最简式，行空间的一组基即是行最简形R 的前r(秩数)行。（行变换不会对行空间产生影响，但会对列空间产生影响。）

例如：

A通过初等行变换得到R，前两行就是行空间的一组基，为什么说它们一定在矩阵的行空间里？
因为行变换的时候是某行和令一行相加或相减，即是这些行向量的的线性组合。

左零空间N(A^T)：为什么叫左零空间？
A^T*y=0，将等式左右两边都转置，得：y^T*A=0^T，如下，所以叫左零空间。

但我们一般还是习惯用ATy=0，因为希望y 是列向量。
求矩阵的左零空间，就试着寻找一个产生零行向量的行组合，求矩阵的零空间，就试着寻找一个产生零列向量的列组合。

如上，求A得左零空间，通过行变换得到R，R的最后一行是0 向量，行变换的逆变换E 的最后一行即是A的各行的组合产生0 向量的向量。即，左零空间的一组基为[-1,0,1]

3.总结

第十一讲 矩阵空间、秩1空间和小世界图

本章节分三部分：把矩阵空间的定义从向量的形式扩展到矩阵和微分方程的的形式；任何举证都能由秩1矩阵导出；利用矩阵的相关知识可以导出图中的知识，引出下一章的知识。

1.矩阵空间

1.1 引子

1.2矩阵空间的定义

1.3微分方程的解空间

2.秩1矩阵

2.1定义

2.2 秩1矩阵所组成的向量空间

3.小世界图

第十二讲 图和网络

1.图和矩阵与欧姆定律、基尔霍夫电流定理

1.1提出问题

1.2引出欧姆定律和基尔霍夫电流定理

2.图和矩阵与欧拉公式

2.1 (A^T)y=0的解

2.2 引出欧拉公式

3.总结