一、Elementary Matrix Operations and Elementary Matrix

二、矩阵B由矩阵A经过基本矩阵操作而得到，则必有B=AE（或B=EA）

Here E₁ and E₂ are elementary matrices obtained from I_m and I_n, respectively, by performing the same elementary row and column operations as those which were performed on A to obtain B.

Theorem 3.2. Elementary matrices are invertible, and the inverse of an elementary matrix is an elementary matrix of the same type.

三、矩阵的秩

我们之前已经定义过线性变换T的rank，可以参考《线性代数笔记（2）：线性变换及其矩阵表示 》，线性变换T的rank定义为T的值域的维度，即rank(T)=dim(R(T))。下面我们来看看矩阵A的rank是如何定义的。

当然L_A这种线性变换是比较特殊的，因为它相当于是输入一个n维的向量，输出一个m维的向量。对于一个更加一般的变换T，我们是否能将它的rank与对应矩阵表达的rank联系起来呢？下列定理给出了我们想要的答案。

得出这个结论并不意外，根据之前介绍的“同构”关系，就很容易得出这个结果。事实上我们还可以证明isomorphism具有rank-preserving的性质。也就是说，如果Φ_β是一个isomorphism，V'是V的一个子空间，那么就有dim(V')=dim(Φ_β(V'))。

关于rank-preserving的性质，还有如下结果，即矩阵A乘以一个可逆矩阵，那么它的rank不变。这也很容易解释，因为如果存在一个可逆的变换在T，我们其实就得到了一个isomorphism，而isomorphism是rank-preserving的，这样的作用当然不会改变rank。

此外，关于基本矩阵操作我们还有如下推论：Elementary row and column operations on a matrix are rank preserving.（因为基本矩阵操作都是invertible的）

四、由矩阵的形式直接判断其rank的方法

上述定理中的a_i都表示一个列向量。所以这个定理就告诉我们一个矩阵的rank就等于它最大的“线性独立的列向量的”数量。

其中，I_r有是r行r列的单位矩阵。O₁的大小为r×(n-r)，O₂的大小为(m-r)×r，O₃的大小为(m-r)×(n-r)。

由此，我们还可以得到如下推论：

这个推论的得出也非常straightforward，你可以想象，定理3.6中，我们是如何从A得到D的。当对A做一个基本行运算或基本列运算时，等价的就相当于对其乘以一个“由相同基本变换”得到的基本矩阵，如下所示，注意到基本矩阵是可逆的，所以它们的连乘仍然可逆。所以得出这个结果也就非常自然了。

我们还可以得到下面这个推论（也就是说矩阵转置，rank不变）：

Cor3. Every invertible matrix is a product of elementary matrices.

注意，如果A是可逆矩阵（所以它也是一个n×n的方阵），则rank(A)=n。这是因为A可逆，则L_A也可逆，即L_A是onto的，如果L_A是满射的，则它的值域自然是n，即rank(L_A)=n，也就得出了rank(A)=n的结果。

五、算子合成（或矩阵相乘）之后的rank小于原算子（或矩阵）的rank

六、矩阵的逆

如果A是n×n的可逆矩阵，那么by only using 基本行变换（or only using 基本列变换）运算，(A | I) 型的增广矩阵会变成(I | A^-1)，这也就是一般求解矩阵的逆的方法。

但是，如果A是不可以逆的，那么经过基本行（或列）运算，(A | I) 型的增广矩阵会变成(C | B)，其中C中一定有一行全为0。

七、线性方程组

Def. Ax = b of m linear equations in n unknowns is said to be homogeneous（齐次的）if b = 0；相反，若 b ≠ 0，则称为nonhomogeneous（非齐次的）。

注意，上述L_A: Fⁿ→F^m。推论告诉我们，如果未知数的数量n大于方程的个数m，则齐次方程有非零解。

（解的唯一性）

Thm 3.11: The system Ax=b is consistent（有解） ⇔ rank(A) = rank(A | b)，也就是说b∈Range(A). （解的存在性）

八、高斯消元法解方程组的相关内容

高斯消元法（略）

Thm 3.15：Let Ax = b be a system of r nonzero equations in n unknowns. Suppose that

1）rank(A|b) = rank(A) (注释：保证Ax = b有解）

2）(A|b) is in reduced row echelon form.

Then,

1）rank(A) = r;

2）the general solution s of Ax = b can be written as

例：

（本文完）

本文主要根据台湾交通大学开放课程线性代数（莊重 特聘教授主讲）之授课内容整理，并参考以下书籍：

【1】S.H. Friedberg, A.J. Insel, L.E Spence, 4th edition, Linear Algebra, Prentice-Hall, 2003

【2】David C. Lay. 刘深泉，等译. 线性代数及其应用（原书第3版），机械工业出版社，2005