《 线性代数及其应用 (原书第4版)》—— 2.4 分块矩阵
本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 (原书第4版)》一书中的第2章,第2.4节,作者:(美)戴维C. 雷(David C. Lay)马里兰大学帕克学院 著刘深泉 张万芹 陈玉珍 包乐娥 陆 博 译,更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看
2.4 分块矩阵
我们既可以把矩阵看作一个数的矩形表,也可以把它看作一组列向量,后面这种看法起了很重要的作用,因而,我们想考虑A的其他分块,把它用水平线和竖直线分成几块,如下面例1所示. 分块矩阵也出现在线性代数的现代应用中,因为这些记号简化了许多讨论,并使矩阵计算中许多本质的结构显露出来. 本节也给出复习矩阵代数和可逆矩阵定理的机会.
例1 矩阵
也可写成分块矩阵
的形状,它的元素是分块(或子矩阵)
例2 当某一矩阵A出现在物理问题的数学模型中时,例如,电子网络、传输系统或大公司等,会很自然地把A看作一个分块矩阵. 例如,若一个微型计算机电路板主要由3块超大规模的集成电路芯片组成,如图2-9所示,
那么这电路板的矩阵可以写成一般形式
A的“对角”线上的子矩阵,即 是有关3块超大规模集成电路本身的矩阵,而其他子矩阵则与这三块芯片之间的相互联系有关.
加法与标量乘法
若矩阵A与B有相同维数且被同样地分块,则自然矩阵的和A + B也被同样地分块. 这时A + B的每一块恰好是A和B对应分块的(矩阵)和. 分块矩阵乘以一个数也可以逐块计算.
分块矩阵的乘法
分块矩阵也可用通常的行列法则进行,就如每一块都是数一样,只要A的列的分法与B的行的分法一致.
例3 设
A的5列被分成3列一组和2列一组. B的5行按同样方法分块——被分成3行一组和2行一组. 我们称A和B的分块是与分块乘法相一致的. AB的乘积可以被写成
重要的是,在AB的表达式中的小乘积,每一项应把来自A的子矩阵写在左边,因矩阵乘法是不可交换的. 例如
因此AB的上面一块是
分块矩阵乘法的行列法则给出了两个矩阵乘积的最一般观点. 下面每一个有关矩阵乘积的观点已经使用简单的矩阵分块的思想讨论过:(1)使用A的列来给出 Ax的定义;(2)AB的列的定义;(3)计算AB的行列法则;(4)A 的行与矩阵B的乘积作为AB的行. 在下面的定理10仍然应用分块的思想给出AB第5种观点.
下面的例子为定理10做准备. 符号表示A的第k列,表示B的第k行.
例4 设 和 . 证明
解 上面的每一项都是外积(见2.1节习题27和28),由计算矩阵乘积的行列法则,有
于是
这个矩阵恰好就是AB. 注意AB的(1, 1)元素是3个外积的(1, 1)元素之和,AB的(1, 2)元素是3个外积的(1, 2)元素之和,等等.
定理10 (AB的列行展开)
若A是 矩阵,B是 矩阵,则
(1)
证 对每个行指标i 和列指标 j,乘积 的 (i,j)元素是 中元素 与 中元素 的积,因此在(1)的和中,(i,j) 元素为
而根据行列法则,该和恰好是AB的 (i,j)元素.
分块矩阵的逆
下例说明分块矩阵的逆的求法.
例5 形如 的矩阵称为分块上三角矩阵,设 是 矩阵, 是 矩阵,且A为可逆矩阵. 求 的表达式.
解 用B表示 且把它分块使
(2)
这个矩阵方程包含了4个有关未知子矩阵 的方程,计算(2)式左边的乘积得
(3)
(4)
(5)
(6)
方程(6)本身并不能说明 可逆,因我们还不知道 ,但应用可逆矩阵定理,及 是方阵的事实,可以断定 为可逆且 . 现在我们利用(5)式求得
因此(3)式简化为
这说明 是可逆的,且 ,最后由(4),
于是
分块对角矩阵是一个分块矩阵,除了主对角线上各分块外,其余全是零分块. 这样的一个矩阵是可逆的当且仅当主对角线上各分块都是可逆的. 见习题13和14.
数值计算的注解
- 当矩阵太大时,不适于存储在高速计算机内存中,分块矩阵允许计算机一次处理两到三块子矩阵,例如,最近关于线性规划的工作中,一个研究团队把矩阵分为837行和51列以简化问题. 这个问题的解在Cray超计算机上大约需要4分钟 .1
- 某些高速计算机,特别是具有向量传输技术的计算机,当把矩阵分块后再进行矩阵运算更有效 .1
- 高性能数值计算的线性代数专业软件LAPACK,广泛使用分块矩阵进行计算.
下面的习题给出了运用矩阵代数的实践,表明了应用中的典型计算.
练习题
- 证明 可逆且求出它的逆.
- 计算 ,其中X 分块为 .
习题2.4
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2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57