线性代数及其应用:第六章 正定矩阵与奇异值分解
文章目录
- 正定矩阵
- 1. 正定矩阵
- 1.1. 实对称矩阵是正定矩阵的充要条件
- 1.2. 实对称矩阵是半正定矩阵的充要条件
- 1.3. 实对称矩阵与正定矩阵的分解
- 2. 惯性定理
- 2.1. 合同变换
- 2.2. 惯性定理
- 2.3. 惯性定理的推论
- 2.4. 惯性定理的应用
- 3. 奇异值分解
- 3.1. SVD
- 3.2. SVD的本质
- 3.3. 求SVD
- 3.4. SVD的应用-伪逆
前言:这篇blog是《Linear Algebra and Its Applications》第六章的一些学习笔记。
正定矩阵
这一章要用到对实对称矩阵的三角分解,以及谱定理
1. 正定矩阵
对任意非零实向量,有,则为正定矩阵。
在线性代数中,正定矩阵是对称矩阵,因为来自二次型;对任一二次型,总可以写成对称矩阵的形式,即
如果是正定矩阵,则表示的二次型有最小值,不存在鞍点。
但在矩阵论中,正定矩阵不一定是对称矩阵,例如
1.1. 实对称矩阵是正定矩阵的充要条件
判断实对称矩阵是否为正定矩阵,有5个充要条件,只要满足其中一个即可。
- ,对所有非零实向量均成立;
- 的所有特征值满足;
- 所有顺序主子式是正的;
- 所有主元(piovts)大于0(最快捷条件);
- 能分解成,其中R的列向量相互独立。
证明:
条件1:定义,证毕。
条件2条件1:对进行分解,,有,令,则,根据条件1,如果实对称矩阵是正定矩阵,则任意非零向量,恒大于0,所以恒大于0,所以,证毕。
条件1和2条件3:对于实对称矩阵,以证明为例,令,则等价于
根据条件1,如果实对称矩阵是正定矩阵,则,所以(1)的中间矩阵也应该是正定矩阵,根据条件2,(1)的中间矩阵的所有特征值大于0,所以证毕。方阵的行列式等于所有特征值乘积,在第五章特征值与特征向量中推导过这一结论。
条件3条件4:以为例,,证毕。关于求用的表达式,在第四章行列式中推导过。
条件4条件1,对进行三角分解,则,令,则,对角矩阵存的是的主元(pivots),所以可以推出
至此,条件1-4相互均可以推导。
条件5条件4:,其中;或者条件5条件2:,其中
1.2. 实对称矩阵是半正定矩阵的充要条件
半正定矩阵就是对任意非零实向量,有,相对正定矩阵多了等于0;相应的充要条件也加上了等号。
- ,对所有非零实向量;
- 的所有特征值满足;
- 所有顺序主子式是的;
- 所有主元(最快捷条件);
- 能分解成,其中R的列向量相互独立。
证明:考虑正定,当。
1.3. 实对称矩阵与正定矩阵的分解
实对称矩阵不一定可以三角分解,但可以分解,正定矩阵两种分解都可以。
与本质上都是二次型配方。
2. 惯性定理
2.1. 合同变换
对于对称方阵,存在可逆矩阵,使得,则相合。合同变换本质上是对实对称矩阵的分类(上一章提到过,相似变换本质上是对方阵的分类)。
2.2. 惯性定理
对于一个n阶实对称矩阵,与它合同的实对称矩阵有多个,这些实对角矩阵的对角元中,正数的个数是一定的(叫A的正惯性指数),负数的个数也是一定的(叫A的负惯性指数)。
证明略。
实际使用时,如果是对称方阵,用三角分解即可,因为三者相合。
2.3. 惯性定理的推论
任何一个实对称矩阵可以相合到由若干1,若干-1,若干0组成的对角矩阵,即由相合条件约束的某一类实对称矩阵均可相合到该对角矩阵。
证明:
对实对称矩阵进行分解,所以与相合,不妨设中是正特征根,是负特征根,是零特征根,则
故与相合,故与相合。证毕。
2.4. 惯性定理的应用
通过限定实对称矩阵的特征根区间,例如:有2正特征根,只有1个正特征根,则有一个特征根在(3,5)之间。
这里用到了的特征值,相对于的特征值也减去n的推论,证明如下:
所以
所以
3. 奇异值分解
3.1. SVD
对矩阵,其秩,则其奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)表示为
其中的列向量由的特征向量构成;的列向量由的特征向量构成;的对角元素的前r个被称为奇异值,是或者的特征值平方根,其余元素为0。
证明依赖于谱定理,在有了求对称方阵特征根高效算法后,才有了SVD。
证明:
证明分六步进行
- 一定是对称方阵
又,左乘上
故
故至少是半正定矩阵 - 由谱定理
其中时,,当时,。
所以,
由于
故 - 令
则是的列空间的单位向量。对于有则
左边右边
由于,则
故相互正交,是的列空间的标准正交基。 - 扩充到为的标准正交基,则
是列空间的标准正交基;
是左零空间的标准正交基; - 逐列来看
时,,;
时,,。 - 故,所以
3.2. SVD的本质
逐列来看, 时,,;时,,。则
是列空间的标准正交基;
是左零空间的标准正交基;
是零空间的标准正交基;
是行空间的标准正交基;
可见,SVD是到的极简极优美映射,当
即两个子空间标准正交基的极简极优美变换。
3.3. 求SVD
- 求的,注意实对称矩阵属于不同特征根的特征向量正交;
- 由求出;
- 有Gram-Schmidt求。
可见SVD的结果严重不唯一,但是奇异值是唯一的。
3.4. SVD的应用-伪逆
求解线性方程组
- 当在,由第二章,利用高斯消去法,解方程,就和我们解多元一次方程组一样;
- 当不再,且列满秩,则就是,利用第三章的最小二乘法,把向投影,在把这个投影点反向映射到,得到误差最小的解;
- 当不再,且A列不满秩,,相对于与是更高维,把向投影,在把这个投影点反映射到得到反向映射点,这个反向映射点加上中任意一个点都是误差最小解,此时最小二乘法得到的误差最小解不唯一,我们可以利用伪逆求得最短最简单的误差最小解,也就是反向映射点加上中的全零点。
伪逆利用SVD定义,如果,则A的伪逆定义为
其中表示对进行转置后,奇异值取倒数。
则的最短最简单误差最小解就是的意义是把投影到中,在映射到。
下面是伪逆求解最短最简单的误差最小解的证明。
- 先证明是对角阵的情况,以为例,求最短最简单的误差最小解
当有
则 ,
定义伪逆
则得到最短最简单的误差最小解。
当时,,仍按照上面的伪逆,仍然可以求得最短解,同时也是误差最小的解 - 如果A不是对角阵,则我们可以化成对角阵的形式,回到我们的根本目的,利用最小二乘法的想法求误差最小解,最小化,则最后一个等号转换用到了,正交变换不改变长度的性质。令,则,进一步化简此时是对角矩阵,回到了情况1,我们得到的最短最简单的误差最小解是由于同样是正交变换,不改变长度,进而得到的最短最简单的误差最小解是证毕。
值得一提的是,与均可看成投影矩阵,把向投影,把向投影。
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%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57