计算机自从其诞生之日起,它的主要任务就是进行各种各样的科学计算。文档处理,数据处理,图像处理,硬件设计, 软件设计等等,都可以抽象为两大类:数值计算与非数值计算。作为研究计算机科学技术的人员,我们大都对计算数学对整个计算机科学的重要性有一些了解。但是 数学对我们这些专业的研究和应用人员究竟有多大的用处呢?我们先来看一下下面的一个流程图:

 

 

  上图揭示了利用计算机解决科学计算的步骤,实际问题转换为程序,要经过一个对问题抽象的过程,建立起完善的数学模型,只有这样,我们才能建立一个设计良好的程序。从中我们不难看出计算数学理论对用计算机解决问题的重要性。下面我们将逐步展开对这个问题的讨论。
  计算机科学的数学理论体系是相当庞杂的,笔者不敢随意划分,参考计算机科学理论的学科体系,我们谈及的问题主要涉及:数值计算,离散数学,数论,计算理论四大方向。


(一)数值计算(Numerical Computation)
  主要包括数值分析学、数学分析学、线性代数、计算几何学、概率论与数理统计学。

数值分析学
  又常被称为计算方法学,是计算理论数学非常重要的一个分支,主要研究数值型计算。研究的 内容中首先要谈谈数值计算的误差分析,误差是衡量我们的计算有效与否的标准,我们的算法解决问题如果在误差允许的范围内,则算法是有效的,否则就是一个无 效的问题求解。另外就是数值逼近,它研究关于如何使用容易数值计算的函数来近似地代替任意函数的方法与过程。感觉应用比较广的不得不提切雪比夫逼近和平方 逼近了。笔者曾经尝试过的就是通过最佳平方逼近进行曲线的拟合,开发工具可以选择VC++或者Matlab。插值函数是另外一个非常重要的方面,现代的计 算机程序控制加工机械零件,根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点,加工时走刀方向及步数,就要通过插值函数计算零件外形曲线及其他点函数值。至于方程 求根、线性方程组求解,一般的计算性程序设计问题都会多多少少的涉及一些,我们这里就不赘述了。关于数值分析学的一个学习误区就是仅仅学习理论知识,而很 难和程序设计结合起来,实际上通过上面的论述,大家已经能够初步地认识到这个学科是应当与程序设计紧密联系才能够体现它的重要性的。关于理论的学习,推荐 华中科技大学李庆扬老师的《数值分析》。然而理论学习毕竟是个过程,最终的目标还是要用于程序设计解决实际的计算问题,向这个方向努力的书籍还是挺多的, 这里推荐大家高等教育出版社(CHEP)和施普林格出版社(Springer)联合出版的《计算方法(Computational Methods)》,华中理工大学数学系写的(现华中科技大学),这方面华科大做的工作在国内应算是比较多的,而个人认为以这本最好,至少程序设计方面涉 及了:任意数学函数的求值,方程求根,线性方程组求解,插值方法,数值积分,场微分方程数值求解。

数学分析学
  很多学校在近 些年已经替代高等数学被安排到了本科教学当中。原因是很简单的,高等数学虽然也是非常有用的工程数学,介绍的问题方法也被广泛的应用,但是正如大家所知道 的,高等数学不太严格的说,基本上就是偏向于计算的数学分析,当然省去了数学分析非常看重的推理证明,然而我们认为这一部分正是我们最需要的。这对我们培 养良好的分析能力和推理能力极有帮助。我的软件工程学导师北工大数理学院的王仪华先生就曾经教导过我们,数学系的学生到软件企业中大多作软件设计与分析工 作,而计算机系的学生做初级程序员的居多,原因就在于数学系的学生分析推理能力,从所受训练的角度上要远远在我们平均水平之上。谈到这方面的书籍,公认北 京大学张筑生老师的《数学分析新讲》为最好。张筑生教授一生写的书并不太多,但是只要是写出来的每一本都是本领域内的杰作,这本当然更显突出些。这种老书 看起来不仅是在传授你知识,而是在让你体会科学的方法与对事物的认识方法。现在多用的似乎是复旦大学的《数学分析》,高等教育出版社的,也是很好的教材。 但关于如何去利用从中获得的推理证明能力,我们在遇到具体问题的时候,可以在今后的文章详细讨论。

线性代数
  线性代数是我们在工科本科学习的必修课程,似乎大家找不到到底这个有什么用,其实很明显,线性代数作为工程数学的重要分支,在计算机领域的研究有相当广泛的应用。最为突出的可以谈谈数组和矩阵的相关知识:
  下面谈一个我经常作为例子和同学讨论的问题:四个城市之间的航线如图所示:

 

  令aij=1,表示从i市到j市有1条航线
  令aij=0,表示从i市到j市没有单项航线
  则图可用矩阵表示:                       
  A= (aij) =
  我们可以采用程序设计实现这个问题,如果辅以权值,可以转化为最短路径的问题,再复杂化一点还可以转化为具有障碍物的最短路径问题,这就会涉及一些如 Dijkstra算法等高级程序设计算法话题。这些都依靠着数组、矩阵的基本知识。数组的应用主要在图像处理以及一些程序设计理论。矩阵的运算领域极为广 泛,比如在计算机图形学当中曲线曲面的构造,图像的几何变换,包括平移、镜像、转置、缩放。在高级图像问题更有广泛应用,例如在图像增强技术,投影技术中 的应用。

计算几何学
  计算几何学研究的是几何外形信息的计算机表示。包括几何查找、多边形、凸包问题、交与并、几何体的排列、 几何拓扑网络设计、随机几何算法与并行几何算法。它构成了计算机图形学中的基本算法,是动画设计,制造业计算机辅助设计的基础。如果从事这方面的深入研 究,可以参考中国计算机学会周培德先生的《计算几何——算法分析与设计》。

概率论与数理统计学
概率论与数理统计学是这个领域最后一门关键的课程。概率论部分提供了很多问 题的基本知识描述,比如模式识别当中的概率计算,参数估计等等。数理统计部分有很多非常经典的内容,比如伪随机数、蒙特卡罗法、回归分析、排队论、假设检 验、以及经典的马科夫过程。尤其是随机过程部分,是分析网络和分布式系统,设计随机化算法和协议非常重要的基础。

 

(二)离散数学(Discrete Mathematics)
随着计算机科学的出现与广泛应用,人们发现利用计算机处理的数学对象与传统的分析有明显的区别:分析研究的问题解决方案是连续 的,因而微分,积分成为基本的运算;而这些分支研究的对象是离散的,因而很少有机会进行此类的计算。人们从而称这些分支为"离散数学"。离散数学经过几十 年发展,方向上基本上稳定下来。当然不同时期还有很多新内容补充进来。就学科方向而言,一般认为,离散数学包含:集合论、逻辑学、代数学、图论、组合学。

逻辑学(Logics)
主要指数理逻辑,形式逻辑在推理问题中也有比较广泛的应用。(比如我们学校还为此专门开设了选修课程)这方面的参考推荐中科院软件所陆钟万教授的《面向计算机科学的数理逻辑》。现在可以找到陆钟万教授的讲课录像,http://www.cas.ac.cn/html/Dir/2001/11/06/3391.htm。总的来说,学集合/逻辑一定要站在理解的高度上去思考相关的问题。集合论(Set Theory)和逻辑学构成了计算机科学最重要的数学问题描述方式。

代数学(Algebra)
  包括:抽象代数、布尔代数、关系代数、计算机代数
  (1) 抽象代数(Abstract Algebra)研究的主要内容涵盖群、环、域。抽象代表的是将研究对象的本质提炼出来,加以高度概括,来描述其形象。“欧 式环”就是在将整数和多项式的一些相同的特点加以综合提炼引入的。抽象代数提供的一些结论为我们研究一些具体问题时所需使用的一些性质提供了依据。推荐一 个最简单的,最容易学的材料:http://www.math.miami.edu/~ec/book/这本 《Introduction to Linear and Abstract Algebra》非常通俗易懂,而且把抽象代数和线性代数结合起来,对初学 者来说非常理想。
  (2)布尔代数(Boolean Algebra)是代数系统中最为基础的部分,也是最核心的基本理论。主要包括了集合的基本概念与运算,自对偶的公理系统。是数据表示的重要基础。相信大家都很清楚它的重要性。
  (3)关系代数(Relational Algebra)应用也是极为广泛,比如数据库技术中的关系数据库的构建就要用到关系代数的相关理论。
  (4) 计算机代数(Computer Algebra)大家可能比较生疏,其实它研究的主要内容即是围绕符号计算与公式演算展开的。是研究代数算法的设计、分 析、实现及其应用的学科。主要求解非数值计算,输入输出用代数符号表示。计算机代数的开发语言主要有:ALTRAN,CAMAL,FORMAL。主要应用 于:射影几何,工业设计,机器人手臂运动设计。

图论(Graph Theory)
主要研究的内容包括:图的基本概念、基本运算、矩阵表示,路径、回路和连通性,二部图、平面图,树,以及网络流。图论的 应用领域太过广泛,仅举两个例子:比如在计算机网络拓扑图的设计与结构描述中,就必须用到相当多的图的结构和基本概念。关于网络流更是在电流网络与信息网 络的流量计算当中广泛应用。树的相关应用则无须多言了。

组合学(Combinatorics)
有两部分单独的研究领域:组合数学与组 合算法。组合学问题的算法,计算对象是离散的、有限的数学结构。从方法学的角度,组合算法包括算法设计和算法分析两个方面。关于算法设计,历史上已经总结 出了若干带有普遍意义的方法和技术,包括动态规划、回溯法、分支限界法、分治法、贪心法等。应用是相当广泛的,比如旅行商问题、图着色问题、整数规划问 题。关于组合数学,主要研究的内容有:鸽巢原理、排列与组合、二项式系数容斥原理及应用,递推关系和生成函数、特殊计数序列、二分图中的匹配、组合设计。 推荐Richard A.Brualdi的《Introductory Combinatorics》作为参考。

 

(三)数论(Number Theory)
数论这门学科最初是从研究整数开始的,所以叫做整数论。后来更名为数论。它包括以下几个分支:
  初等数论是不求助于其他数学学科的帮助,只依靠初等方法来研究整数性质的数论分支。比如在数论界非常著名的“中国剩余定理”,就是初等数论中很重要的内 容。对于程序设计来说这部分也是相当有价值的,如果你对中国剩余定理比较清楚,利用它,你可以将一种表达式经过简单的转换后得出另一种表达式,从而完成对 问题分析视角的转换。
  解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。是解决数论中比较深刻问题的强有力的工具。我国数学家陈景润在尝试解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的就是解析数论的方法。以素数定理为基础解决计算素数的问题及其算法实现应是我们多多关注的。
  代数数论是把整数的概念推广到一般代数数域上去,建立了素整数、可除性等概念。程序设计方面涉及的比较多的是代数曲线的研究,比如说椭圆曲线理论的实现。 
  几何数论研究的基本对象是“空间格网”。空间格网就是指在给定的直角坐标系上,坐标全是整数的点,叫做整点;全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对计算几何学的研究有着重大的意义。几何数论涉及的问题比较复杂,必须具有相当的数学基础才能深入研究。
  总的说来,由于近代计算机科学的发展,数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合学理论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果;现 在有些国家应用“孙子定理”来进行测距,用原根和指数来计算离散傅里叶变换等。如果你曾经系统的学习过数论算法,你会发现这个分支学科研究的一些基本问题 对程序设计是相当有用的,比如说素数问题、素性测试、因子分解、最大公约数、模取幂运算、求解同余线性方程。其中的很多问题都是程序设计的基本问题。但这 些问题都不能小视,举个例子来说吧,关于求最大公约数的程序,笔者曾经尝试的就可以采用循环语句结构和递归结构。另外,以大素数为基础的密码体系的建立是 近些年数论算法广泛应用的一个重要的原因。原理是大素数的乘积重新分解因数十分困难。RSA公钥加密系统的构建就是基于这个原理的(三位发明人因此也获得 了2002年美国计算机协会颁发的图灵奖)。

 

(四)计算理论(Theory of Computation)
涉及的内容是科学计算非常重要的一部分分支,也是大家研究相当多的一部分。主要包括:算法学,计算复杂性,程序理论。

算法学 (Algorithms)
算法学在计算机科学理论中有着举足轻重的地位。是解决很多数值型,非数值型问题的基础。记得一次学校接收招标项目,很多中小型软件厂商 都无法完成一个软件的功能模块,就是因为当时他们对一个具体问题的算法不能做出正确的抽象,最后由我们学校数理学院的一支软件团队承担了这项任务,他们的 最终报告体现出来,问题的解决策略只有通过人工神经元网络的反向传播算法。可见在比较有深度的程序设计中,算法的重要性更为突出。学习算法学要有一个长期 的理论和实践的过程。遇到一个具体算法问题时,首先要通过自己描述的数学抽象步骤,看看自己以前有没有处理过这种问题。如果没有,很可能这个问题是多个算 法的综合,或者是需要我们自己去构造算法。这就需要我们有扎实的算法功底,为了打好这个功底,推荐两套圣经级的书籍首先是Thomas H.Cormen 等著的《Introduction to Algorithms》。对算法学习而言,这一本内容相当的全面。再深一点的就是大家作为常识都知道的 《The Art of Computer Programming》,目前已经出版3册。两本书的价值大家应当都是清楚的。

计算复杂性
计算复 杂性研究的内容很广,其中包括NP完全性理论,可计算性理论,自动机理论,形式语言理论(包括广泛应用于编译原理领域的文法,还包括Petri网论的相关 内容)以及大家熟知的复杂性度量。时间复杂度、空间复杂度的计算是度量算法非常重要的参数,也是我们衡量程序优劣程度的重要依据。

程序理论(Theory of programs)
程序理论包含了形式语义学,程序验证和并发模型的研究。关于程序验证学习的重要性大家都很清楚,学习的方法自然也 是多多结合具体的问题去分析。关于并发模型,主要研究的就是进程代数,通信系统演算,通信顺序进程。这部分是研究操作系统理论与实现的重要基础。

 

(五)最后
上面按照计算机科学数学理论的架构来谈了各方面的内容和一些应用,下面我们再单独来看一些上面没有涉及到的学科与这些理论的具体结合情况:
  设计方面的应用刚才谈的很多,我只再说说数据库原理与技术,这方面用到的重要数学基础主要包括:集合论,二元关系及其推理(尤其是研究关系数据库),研究数据分布与数据库结构又涉及相当多的图论知识。
  计算机科学的发展有赖于硬件技术和软件技术的综合。在设计硬件的时候应当充分融入软件的设计思想,才能使硬件在程序的指挥下发挥极致的性能。在软件设计的 时候也要充分考虑硬件的特点,才能冲破软件效率的瓶颈。达到硬件和软件设计的统一,严格的说这并不轻松,一般的程序设计者很难将这样的思想贯穿在其程序设 计当中。仅举个简单的例子:我们在写一些C语言的程序,必要的时候都会采取内嵌一段汇编指令,这就是比较充分地考虑了硬件的工作情况,从而能够提高程序运 行的效率。所以我们也有必要了解一些硬件的基础知识。关于学习硬件的时候常会用到的基本数学思想也是相当多的,拿电路基础与模拟电路来说,我们就经常要利 用多元函数,不等式计算进行电流电压的计算。能量的计算还常常涉及微积分学的很多计算。在数字电子技术当中(有时也称数字逻辑学)数理逻辑,尤其是逻辑演 算部分运用相当广泛,数制转换更是非常重要的基础,各种数字电路参数的计算则是多元函数,不等式的计算解决的问题。
  从事计算机硬件程 序设计的程序员,则不可回避的就是数字信号处理。这门科学所用到的数学基础主要有:三角函数、微积分、高次方程求解、数值逼近,傅里叶变换。在滤波器的设 计当中还会用到矩阵运算。笔者曾经研究过一个VC++环境下开发的滤波器的模拟软件,就是利用莱文逊-杜宾递推算法,在较大规模的矩阵运算基础上进行的。 当然,开发的环境不一定是这个,你也可以选择MATLAB或者纯C语言编译器。如果我们不了解相关的数学基础,不要说程序设计,就算是建立运算模型都是相 当困难的。
  一些周围的同学和一些在职的程序员,大家经过一段时间的学习,普遍都觉得数学对学习计算机和研究计算机程序设计等 问题来说非常重要,但是又苦于无从下手。上面比较全面地谈及了计算机科学数学理论的相关内容。需要特别指明的是,我们研究问题的精力是有限的,如果您是在 校的计算机系学生,则可以对上面的方方面面都有所涉及,以尝试计算数学这个强大的理论工具。为今后的工作奠定一个坚实的基础。但是如果您研究的是比较具体 的工作,我们并不推荐您研究所有的内容,最好的方法就是对上面的数学基础都有些了解,然后遇到具体工作,需要哪部分内容,再进行深入的学习与研究。这样针 对性比较强的学习效果是会比较显著的。对于上面推荐的一些参考材料,除非你要花相当长的一段时间来提高你的计算机数学理论。否则也没必要每一页,每一本都 字字精读,还是那个原则,按需索取其中的内容。学习的方法描述起来就一句话:结合具体的问题,深入的理解数学理论知识,将理论程序化,尝试用程序设计实现 理论原理。达到这样的程度,问题基本上都可以解决的。(限于篇幅,很多问题不能展开,您可以通过zengyi@cstc.net.cn与我联系)

 

参考文献:
《计算机科学技术百科全书》中国计算机学会 清华大学出版社
《工程数学—线性代数》同济大学数学教研室 同济大学出版社
《数值分析》李庆扬 华中科技大学出版社

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    原标题:【外汇周评】靓丽非农不及疲软通胀影响在刚结束的周五,美国方面公布了新一期的非农就业数据,大幅好于前值和预期,新增就业重新回到20万以上。具体数据: 美国4月非农就业人口变动 26.3万人,预期 19万人,前值 19.6万人。 美国4月失业率 3.6%,预期 3.8%,前值 3…...

    2024/3/29 2:45:46
  8. 【原油贵金属早评】库存继续增加,油价收跌

    原标题:【原油贵金属早评】库存继续增加,油价收跌周三清晨公布美国当周API原油库存数据,上周原油库存增加281万桶至4.692亿桶,增幅超过预期的74.4万桶。且有消息人士称,沙特阿美据悉将于6月向亚洲炼油厂额外出售更多原油,印度炼油商预计将每日获得至多20万桶的额外原油供…...

    2024/3/24 20:11:23
  9. 【外汇早评】日本央行会议纪要不改日元强势

    原标题:【外汇早评】日本央行会议纪要不改日元强势近两日日元大幅走强与近期市场风险情绪上升,避险资金回流日元有关,也与前一段时间的美日贸易谈判给日本缓冲期,日本方面对汇率问题也避免继续贬值有关。虽然今日早间日本央行公布的利率会议纪要仍然是支持宽松政策,但这符…...

    2024/3/29 5:19:52
  10. 【原油贵金属早评】欧佩克稳定市场,填补伊朗问题的影响

    原标题:【原油贵金属早评】欧佩克稳定市场,填补伊朗问题的影响近日伊朗局势升温,导致市场担忧影响原油供给,油价试图反弹。此时OPEC表态稳定市场。据消息人士透露,沙特6月石油出口料将低于700万桶/日,沙特已经收到石油消费国提出的6月份扩大出口的“适度要求”,沙特将满…...

    2024/3/28 17:01:12
  11. 【外汇早评】美欲与伊朗重谈协议

    原标题:【外汇早评】美欲与伊朗重谈协议美国对伊朗的制裁遭到伊朗的抗议,昨日伊朗方面提出将部分退出伊核协议。而此行为又遭到欧洲方面对伊朗的谴责和警告,伊朗外长昨日回应称,欧洲国家履行它们的义务,伊核协议就能保证存续。据传闻伊朗的导弹已经对准了以色列和美国的航…...

    2024/3/29 11:11:56
  12. 【原油贵金属早评】波动率飙升,市场情绪动荡

    原标题:【原油贵金属早评】波动率飙升,市场情绪动荡因中美贸易谈判不安情绪影响,金融市场各资产品种出现明显的波动。随着美国与中方开启第十一轮谈判之际,美国按照既定计划向中国2000亿商品征收25%的关税,市场情绪有所平复,已经开始接受这一事实。虽然波动率-恐慌指数VI…...

    2024/3/29 1:13:26
  13. 【原油贵金属周评】伊朗局势升温,黄金多头跃跃欲试

    原标题:【原油贵金属周评】伊朗局势升温,黄金多头跃跃欲试美国和伊朗的局势继续升温,市场风险情绪上升,避险黄金有向上突破阻力的迹象。原油方面稍显平稳,近期美国和OPEC加大供给及市场需求回落的影响,伊朗局势并未推升油价走强。近期中美贸易谈判摩擦再度升级,美国对中…...

    2024/3/29 8:28:16
  14. 【原油贵金属早评】市场情绪继续恶化,黄金上破

    原标题:【原油贵金属早评】市场情绪继续恶化,黄金上破周初中国针对于美国加征关税的进行的反制措施引发市场情绪的大幅波动,人民币汇率出现大幅的贬值动能,金融市场受到非常明显的冲击。尤其是波动率起来之后,对于股市的表现尤其不安。隔夜美国股市出现明显的下行走势,这…...

    2024/3/29 7:41:19
  15. 【外汇早评】美伊僵持,风险情绪继续升温

    原标题:【外汇早评】美伊僵持,风险情绪继续升温昨日沙特两艘油轮再次发生爆炸事件,导致波斯湾局势进一步恶化,市场担忧美伊可能会出现摩擦生火,避险品种获得支撑,黄金和日元大幅走强。美指受中美贸易问题影响而在低位震荡。继5月12日,四艘商船在阿联酋领海附近的阿曼湾、…...

    2024/3/24 20:11:18
  16. 【原油贵金属早评】贸易冲突导致需求低迷,油价弱势

    原标题:【原油贵金属早评】贸易冲突导致需求低迷,油价弱势近日虽然伊朗局势升温,中东地区几起油船被袭击事件影响,但油价并未走高,而是出于调整结构中。由于市场预期局势失控的可能性较低,而中美贸易问题导致的全球经济衰退风险更大,需求会持续低迷,因此油价调整压力较…...

    2024/3/29 9:57:23
  17. 氧生福地 玩美北湖(上)——为时光守候两千年

    原标题:氧生福地 玩美北湖(上)——为时光守候两千年一次说走就走的旅行,只有一张高铁票的距离~ 所以,湖南郴州,我来了~ 从广州南站出发,一个半小时就到达郴州西站了。在动车上,同时改票的南风兄和我居然被分到了一个车厢,所以一路非常愉快地聊了过来。 挺好,最起…...

    2024/3/29 0:49:46
  18. 氧生福地 玩美北湖(中)——永春梯田里的美与鲜

    原标题:氧生福地 玩美北湖(中)——永春梯田里的美与鲜一觉醒来,因为大家太爱“美”照,在柳毅山庄去寻找龙女而错过了早餐时间。近十点,向导坏坏还是带着饥肠辘辘的我们去吃郴州最富有盛名的“鱼头粉”。说这是“十二分推荐”,到郴州必吃的美食之一。 哇塞!那个味美香甜…...

    2024/3/24 20:11:15
  19. 氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!

    原标题:氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 啊……啊……啊 两…...

    2024/3/27 7:12:50
  20. 扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!

    原标题:扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客!当行业里的某一品项火爆了,就会有很多商家蹭热度,装逼忽悠,最近火爆朋友圈的医用面膜,被沾上了污点,到底怎么回事呢? “比普通面膜安全、效果好!痘痘、痘印、敏感肌都能用…...

    2024/3/24 20:11:13
  21. 「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜

    原标题:「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜丽彦妆铁皮石斛医用面膜|石斛多糖无菌修护补水贴19大优势: 1、铁皮石斛:自唐宋以来,一直被列为皇室贡品,铁皮石斛生于海拔1600米的悬崖峭壁之上,繁殖力差,产量极低,所以古代仅供皇室、贵族享用 2、铁皮石斛自古民间…...

    2024/3/26 11:21:23
  22. 丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者

    原标题:丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者【公司简介】 广州华彬企业隶属香港华彬集团有限公司,专注美业21年,其旗下品牌: 「圣茵美」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「圣仪轩」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「花茵莳」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「丽彦妆」专注医学护…...

    2024/3/28 18:26:34
  23. 广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!

    原标题:广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM流程及注意事项解读: 械字号医用面膜,其实在我国并没有严格的定义,通常我们说的医美面膜指的应该是一种「医用敷料」,也就是说,医用面膜其实算作「医疗器械」的一种,又称「医用冷敷贴」。 …...

    2024/3/28 12:42:28
  24. 械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?

    原标题:械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?医用眼膜/械字号眼膜/医用冷敷眼贴 凝胶层为亲水高分子材料,含70%以上的水分。体表皮肤温度传导到本产品的凝胶层,热量被凝胶内水分子吸收,通过水分的蒸发带走大量的热量,可迅速地降低体表皮肤局部温度,减轻局部皮肤的灼…...

    2024/3/28 20:09:10
  25. 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...

    解析如下&#xff1a;1、长按电脑电源键直至关机&#xff0c;然后再按一次电源健重启电脑&#xff0c;按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后&#xff0c;按住“winR”打开运行窗口&#xff0c;输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面&#xff0c;选中…...

    2022/11/19 21:17:18
  26. 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。

    %读入6幅图像&#xff08;每一幅图像的大小是564*564&#xff09; f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...

    2022/11/19 21:17:16
  27. 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...

    win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面&#xff0c;在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机&#xff0c;虽然这比较麻烦&#xff0c;但是对系统进行配置和升级…...

    2022/11/19 21:17:15
  28. 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...

    有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows&#xff0c;请勿关闭计算机”的提示&#xff0c;要过很久才能进入系统&#xff0c;有的用户甚至几个小时也无法进入&#xff0c;下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法&#xff1a;我们首先在左下角的“开始…...

    2022/11/19 21:17:14
  29. win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...

    置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题&#xff0c;电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update&#xff0c;请勿关机”(如下图所示)&#xff0c;而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢&#xff1f;一切都是正常操作的&#xff0c;为什么开时机呈现“正…...

    2022/11/19 21:17:13
  30. 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...

    Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示&#xff0c;没过几秒后电脑自动重启&#xff0c;每次开机都这样无法进入系统&#xff0c;此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一&#xff1a;开机按下F8&#xff0c;在出现的Windows高级启动选…...

    2022/11/19 21:17:12
  31. 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...

    有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况&#xff0c;就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机&#xff0c;碰到这样的问题该怎么解决呢&#xff0c;现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法&#xff1a;1、2、依次…...

    2022/11/19 21:17:11
  32. 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...

    今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后&#xff0c;每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面&#xff0c;提示请勿关闭计算机”&#xff0c;每次停留好几分钟才能正常关机&#xff0c;导致什么情况引起的呢&#xff1f;出现配置Windows Update…...

    2022/11/19 21:17:10
  33. 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...

    只能是等着&#xff0c;别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚&#xff0c;只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一&#xff1a;管理员运行cmd&#xff1a;net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...

    2022/11/19 21:17:09
  34. 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?

    原标题&#xff1a;电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办&#xff1f;win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢&#xff1f;一般的方…...

    2022/11/19 21:17:08
  35. 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...

    关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 &#xff0c;然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容&#xff0c;让我们赶快一起来看一下吧&#xff01;关机提示 windows7 正在配…...

    2022/11/19 21:17:05
  36. 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...

    钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...

    2022/11/19 21:17:05
  37. 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...

    前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了&#xff0c;具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面&#xff0c;长时间没反应&#xff0c;无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过&#xff0c;网上搜了不少资料&#x…...

    2022/11/19 21:17:04
  38. 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...

    本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法&#xff0c;并在最后教给你1种保护系统安全的好方法&#xff0c;一起来看看&#xff01;电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中&#xff0c;添加了1个新功能在“磁…...

    2022/11/19 21:17:03
  39. 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...

    许多用户在长期不使用电脑的时候&#xff0c;开启电脑发现电脑显示&#xff1a;配置windows更新失败&#xff0c;正在还原更改&#xff0c;请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢&#xff1f;下面小编就带着大家一起看看吧&#xff01;如果能够正常进入系统&#xff0c;建议您暂时移…...

    2022/11/19 21:17:02
  40. 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...

    配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#xff0c;电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容&#xff0c;让我们赶快一起来看一下吧&#xff01;配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...

    2022/11/19 21:17:01
  41. 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...

    不知道大家有没有遇到过这样的一个问题&#xff0c;就是我们的win7系统在关机的时候&#xff0c;总是喜欢显示“准备配置windows&#xff0c;请勿关机”这样的一个页面&#xff0c;没有什么大碍&#xff0c;但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机&#xff0c;非常…...

    2022/11/19 21:17:00
  42. 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...

    当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时&#xff0c;一般是您正对windows进行升级&#xff0c;但是这个要是长时间没有反应&#xff0c;我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了&#xff0c;来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...

    2022/11/19 21:16:59
  43. 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...

    我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况&#xff0c;当我们打开电脑之后&#xff0c;发现一直停留在一个界面&#xff1a;“配置Windows Update失败&#xff0c;还原更改请勿关闭计算机”&#xff0c;等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢&#xff0…...

    2022/11/19 21:16:58
  44. 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”

    Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...

    2022/11/19 21:16:57