§3.1  中值定理

一、罗尔定理

若在闭区间上连续，开区间内可导，且，则至少存在一点，使。

在证明罗尔定理之前，我们先来描述一下它的几何意义。

为了使同学们更直观地看到这一点，我们在计算机上做一个动画实验：

【定理证明】

在上连续，据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，在上取得最大值和最小值， 这样只有两种可能情形：

(1)、。 这时 

， 有 。

(2)、

因， 所以  和  中至少有一个不等于 ，

不妨设 ，  ，使     

下面证在点处的导数等于零，即       。

因存在，故极限存在，故其左、右极限均存在且都等于。

因 ，当  时，有

从而 

当  时，有

从而 

故   

罗尔定理的三个条件缺一不可，否则结论不真。试看下例：

 

 

二、拉格朗日中值定理

去掉罗尔定理中相当特殊的条件 ，仍保留其余两个条件，可得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理。

【拉格朗日中值定理】 若在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点，使得

                         (1)

在证明之前，我们先看一下定理的几何意义。

是弦的斜率，为曲线在点处的切线斜率。在曲线上至少有一点，使曲线在点处的切线平行于弦。

由于拉氏中值定理与罗尔定理十分相似，我们设法构造一个满足罗尔定理三个条件的辅助函数，利用它完成拉氏中值定理的证明。很自然地，取弧AB与弦AB所代表的函数之差就行了。

【证明】作辅助函数

在上连续，在可导，且，由罗尔定理，至少存在一点 ，使 ，即

亦即    。

把拉氏中值定理的证明思想移植到具体函数

上，我们编写了一个matlab程序gs0302.m,可较直观地验证上述证明思想的正确性。

拉氏中值定理是微分学中最基本的一个定理，有广泛的应用。我们对它特别给出如下重要注解。

1、当时式子(1)仍然成立。

2、设， (  或  )，在区间 (  ) 或  (  )上使用拉氏中值定理，我们有    

由于可正可负，因此，无法确定是区间，还是区间，因此，我们只能讲“在 与 之间”。

如下图所示，可表示成为：

             (2)

更一般地，在或上使用拉氏中值定理有：

        (3)

3、在开区间内的导数恒为零  在内恒为常数。

【证明】

充分性()设，显然   。

必要性()，

由拉氏中值定理有

由  ，得 

故在内的任意两点的函数值均相等，即

。

三、柯西中值定理

若函数、满足下述三个条件：

(1)、、 在  连续；

(2)、、 在  可导；

(3)、，

则至少存在一点 ， 使得

                     (4)

柯西中值定理的几何意义也十分明显，考虑由参数方程所表示的曲线

曲线上点  处的切线斜率为    

弦的斜率为                   

假定点对应于参数，那未曲线点处切线平行于弦，

于是          

【证明】首先注意到，这是由于

其中，根据假定，又，所以

作辅助函数

显然，适合罗尔定理的条件：

；

在上连续；

在上可导， 且

根据罗尔定理，，，即

故 

对这三个中值定理，我们给出几点注解：

2、后两个中值定理的证法： 构造辅助函数，将之化归为罗尔定理的情形。这种考虑问题的方式，在数学与计算机编程上十分有用，称为“归一法”。

何为归一法呢? 下面的一段轶文可生动地说明其涵义。

人物：面试教师， 参试者甲(作家)， 参试者乙(数学家)。

面试教师：

烧一壶开水的方法可简述为：

(1)给壶装满水(2)将壶放到煤气灶上(3)煤气灶点火(4)待水沸腾，将壶拿下。

若已知第二步已完成，该如何进行才能烧壶开水了? 请二位分别回答。

作  家：

给煤气灶点火，待水烧开后，将壶拿下。

数学家：

将壶中水倒掉，把问题化归为情形(1)就行了。

归一法：

若问题A的结构与解决步骤清楚了，求解问题B时，只需设法化B为A即可。

四、中值定理运用举例

【例1】试证： 当时， 有不等式 。

【证明】考虑辅助函数

由拉氏中值定理有

即     

而     

故     

【例2】对函数、在上验证柯西中值定理的正确性。

【解】显然在上满足柯西中值定理的三个条件：

、在上连续,在上可导,且

欲在上找到一点  使下式成立

即 

 ， 

 ，   ， 

只需取  ，显然  

这就验证了柯西中值定理的正确性。