核磁共振成像笔记（一）

文章目录

• 核磁共振成像笔记（一）
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  • 核磁共振成像(Nuclear Magnetic Resonance Imaging)
  • • 经典模型(Classical model)
    • 量子模型(Quantum Model)*
    • 统计规律(Statistics)
    • 射频激发(RF Excitation)
    • 核磁共振基础(Basics of NMR)
    • 自旋-晶格弛豫(T1: spin-lattice relaxation)
    • 自旋-自旋弛豫(T2: spin-spin relaxation)
    • 自由感应衰减(Free Inducation Decay)
    • 自旋回波(Spin Echo)
    • 梯度磁场(gradient field)

核磁共振成像(Nuclear Magnetic Resonance Imaging)

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经典模型(Classical model)

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对于一个绕原子核旋转的质量为 m，电量为 q 的电子（如在氢原子中）我们可得其旋转的角动量（angular momentum）为：$\vec{J}=m\vec{r}\times \vec{v}$ （$\vec{r}$ 为电子的位置矢量，从原子核指向电子；$\vec{v}$ 为电子的速度矢量）

其产生的磁矩（magnetic momentum）为：$\vec{\mu }=i\delta \vec{s}$，其中 $i=qf=q\cdot \frac{v}{2\pi r}\Rightarrow |\vec{\mu }|=\frac{qv}{2\pi r}\cdot \pi r^2$ 。

$\vec{J}$ 与 $\vec{\mu }$ 是共线（collinear）同向的，因此我们可以得到：$\vec{\mu }=\frac{q}{2m}\vec{J}=\gamma \vec{J}$ ，$\gamma$ ：磁旋比（magnetogyric ratio）。

对于氢原子核中的质子（proton），其具有沿自身轴旋转（spin）的固有本性，质子距原子核中心有一定距离。因此质子自旋就相当于正电荷在环形线圈中流动，在其周围会形成一个小磁场，此即核磁。

与上文所述电子绕原子核旋转同理，质子自旋的角动量矩可记为：$\vec{I}$ ，则其自旋产生的磁矩即为：$\vec{\mu }=\gamma \vec{I}$ 。

无外加磁场时，质子群中的各个质子任意方向自旋，其磁矩互相抵消，因而单位体积内生物组织的净磁化（net magnetization）为0。如将生物组织置于一个大的外加磁场中（in a constant and uniform magnetic field $\overrightarrow{B_0}$），则质子磁矩方向发生变化，结果是较多的质子的磁矩指向与主磁场$\overrightarrow{B_0}$ 相同的方向，而较少的质子的磁矩与$\overrightarrow{B_0}$ 方向相反（这些质子有较高的位能）。常温下，顺主磁场排列的质子数量较逆主磁场排列的质子稍多，因此，出现与主磁场$\overrightarrow{B_0}$ 方向一致的净磁化（下文详述）。

此时，氢原子核在绕着自身轴旋转的同时，又沿主磁场方向$\overrightarrow{B_0}$ 作圆周运动，将质子磁矩的这种运动称之为进动（precession）。

此时，核子的势能（potential energy）为：$E=-\vec{\mu }\cdot \overrightarrow{B_0}$ ，其转矩（torque）为：$\vec{\Gamma }=\vec{\mu }\times \overrightarrow{B_0}$ 。根据角动量守恒我们有：
$$\frac{d\vec{I}}{dt}=\vec{\Gamma }\Rightarrow \frac{d\vec{\mu }}{dt}=\gamma \vec{\mu }\times \overrightarrow{B_0}$$
其中${\overrightarrow{B_0}}^T=(0,0,B_0)$，则该微分方程的通解为：
$$\vec{\mu }=\left(\begin{array}{c}\cos ({\omega }_{0}t+\phi )\\ \sin ({\omega }_{0}t+\phi )\\ 1\end{array}\right)$$
由方程的解我们可以看出在主磁场中，宏观磁矩像单个质子磁矩那样作旋进运动，磁矩进动的角频率（angular frequency）符合拉莫尔方程（Larmor Equation）：${\omega }_0=-\gamma B_0$ ，旋转的方向为顺时针方向（clockwise direction），对于质子有$\gamma =2\pi \times 42.5774813$MHz/T​。

量子模型(Quantum Model)*

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在强磁场中，原子核发生自旋能级分裂（Zeeman’s effect），当吸收外来电磁辐射（脉冲）时，将发生核自旋能级的跃迁即产生所谓的核磁共振NMR现象。

原子核的自旋角动量的模值可以由该式确定：$|\vec{I}|=\hslash \sqrt{I(I+1)}$ ，其中 I 为核自旋量子数(quantum number)可以取零，整数或半整数。我们可以测得其自旋角动量的一个分量 $I_z=\hslash m$，其中 $-I\le m\le +I$ 。

如前所述，在恒定磁场中自旋磁矩顺磁场强度方向的核处于低能级，而逆方向的则处于高能级。分裂出的能级间隔（energy gap）为：$\hslash \omega =\hslash \gamma B_0$ 。

统计规律(Statistics)

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根据 Fermi-Boltzmann 概率分布，温度低时电子占据低能级，温度升高，电子获得能量跃迁到高能级。根据量子理论$E=h\nu$，且有拉莫尔方程 $\omega =2\pi \nu =\gamma B_0$，即 $E=\hslash \gamma B_0$。

当生物组织被置于一个大的静磁场中后，其生物组织中的氢质子顺主磁场方向的处于低能态，而逆主磁场者为高能态。在低能态与高能态之间根据静磁场场强大小与当时的温度，势必要达到动态平衡，称为“热平衡”状态。

在外磁场为 1T 时：$\hslash \gamma B_0\approx 0.17\mu$eV，且在室温 300K 时有：$kT=26$meV $\Rightarrow$ $kT\gg \hslash \gamma B_0$，高能级和低能级的粒子填充情况类似。
$$\frac{N_{\oplus }}{N_{\ominus }}=\exp (-\frac{E}{kT})=\exp (-\frac{\hslash \gamma B_0}{kT})\approx 1-\frac{\hslash \gamma B_0}{kT}$$

$$N_{\oplus }\approx N_{\ominus }\approx N/2$$

由此我们可以得到：
$$N_{\ominus }-N_{\oplus }\approx N\times \frac{\hslash \gamma B_0}{kT}$$

上式中 $N_{\oplus }$ 和 $N_{\ominus }$ 分别表示在静磁场中处于高能级和低能级的原子核的密度。

对于每个原子核的自旋对宏观磁化的贡献：对于单个原子核 $\vec{\mu }=\gamma \vec{I}$，在宏观上则有 ${\mu }_N=\hslash \gamma I=\pm \frac{1}{2}\hslash \gamma$。如对于水 H₂O 其摩尔质量(Molecular mass)为 18 g/mol，则其质子密度为：
$$N=\frac{2\rho N_A}{18g/mol}$$
当其处于 $\overrightarrow{B_0}$ 的静磁场中时，其宏观净磁化密度(magnetization density)为：
$$\vec{M}=\frac{2\rho N_A}{18g/mol}\cdot \frac{\hslash \gamma \overrightarrow{B_0}}{kT}\cdot \frac{\hslash \gamma }{2}$$

射频激发(RF Excitation)

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热平衡状态中的氢质子，被施以方向与静磁场垂直，频率与质子群的旋进频率一致的射频脉冲(RF pulse)时，将破坏原来的热平衡状态，从微观上讲，将诱发两种能态间的质子产生能态跃迁，被激励的质子从低能态跃迁到高能态，出现核磁共振。从宏观上讲，受到射频脉冲激励的质子群偏离原来的平衡状态而发生变化，其变化到达的位置度取决于所施加射频脉冲的强度和时间。

总磁场可以写为：$\vec{B}=\overrightarrow{B_0}+\overrightarrow{B_1}\exp (j\omega t)$，其中 $\overrightarrow{B_0}\perp \overrightarrow{B_1}$，$\overrightarrow{B_1}$ 即为施加的射频脉冲。根据角动量守恒可以写出方程：
$$\frac{d\vec{M}}{dt}=\gamma \vec{M}\times \vec{B}$$
为了产生共振(resonance) $\overrightarrow{B_1}$ 中 $\omega ={\omega }_0=-\gamma B_0$：
$$\vec{B}=\left(\begin{array}{c}-B_1\sin ({\omega }_{0}t)\\ B_1\cos ({\omega }_{0}t)\\ B_0\end{array}\right)$$
解得方程的解：
$$\vec{M}=M\cdot \left(\begin{array}{c}\cos ({\omega }_{0}t)\sin ({\omega }_{1}t)\\ \sin ({\omega }_{0}t)\sin ({\omega }_{1}t)\\ \cos ({\omega }_{1}t)\end{array}\right)$$
其中 ${\omega }_1=-\gamma B_1$。

• 如果 B₁ 的值大，脉冲的持续时间 T 短对于给定的自旋则可获得大带宽（频谱宽）的射频激发。
• 如果 B₁ 的值小，脉冲的持续时间 T 长对于给定的自旋可以获得更精确的射频激发（射频信号的频谱更窄）。

施加的射频脉冲越强，持续时间越长，在射频脉冲停止时，$\vec{M}$ 离开其平衡状态 $\overrightarrow{B_0}$ 越远。在MRI技术中使用较多的是90°、180°射频脉冲。施加90°脉冲时，宏观磁化矢量 $\vec{M}$ 以螺旋运动的形式离开其原来的平衡状态，脉冲停止时，$\vec{M}$ 垂直于主磁场 $\overrightarrow{B_0}$ 。

核磁共振基础(Basics of NMR)

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磁共振信号的测量只能在垂直于主磁场的XY平面进行。由于脉冲发射和接收生物组织原子核的共振信号不在同一时间，而射频脉冲和生物组织发生的共振信号的频率又是一致的，因此,可用一个线圈兼作发射和接收。

脉冲停止后，宏观磁化矢量又自发地回复到平衡状态，这个过程称之为“核磁弛豫”(relaxation)。当90 °脉冲停止后，$\vec{M}$ 仍围绕 $\overrightarrow{B_0}$ 轴旋转，$\vec{M}$ 末端螺旋上升逐渐靠向 $\overrightarrow{B_0}$

由于在弛豫过程中磁化矢量 $\vec{M}$ 强度并不恒定，纵、横向部分必须分开讨论。弛豫过程用2个时间值描述，即纵向弛豫时间(T1)和横向弛豫时间(T2)。

自旋-晶格弛豫(T1: spin-lattice relaxation)

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90°脉冲停止后，纵向磁化矢量要逐渐恢复到平衡状态，测量时间距射频脉冲终止的时间越长，所测得磁化矢量信号幅度就越大。弛豫过程表现为一种指数曲线，T1 值规定为 M_z 达到最终平衡状态($M_z(t=\infty )$)63%的时间。

T1进一步的物理意义的理解，只有从微观的角度分析。由于质子从射频波吸收能量，处于高能态的质子数目增加，T1 弛豫是质子群通过释放已吸收的能量，以恢复原来高低能态平衡的过程，T1 弛豫也称为自旋－晶格弛豫。

该弛豫对应的 Bloch 方程为：
$$\frac{d{M}_z}{dt}=-\frac{M_z(t)-M_z(t=\infty )}{T_1}$$
解得：$M_z(t)=M_z(\infty )+(M_z(0)-M_z(\infty ))\exp (-t/T_1)$。T1 的大小取决于生物组织的组成和 B₀ 。

自旋-自旋弛豫(T2: spin-spin relaxation)

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90°脉冲的一个作用是激励质子群使之在同一方位，同步旋进（相位一致 in phase），这时横向磁化矢量 $M_{xy}$ 值最大，但射频脉冲停止后，质子同步旋进很快变为异步，旋转方位也由同而异，相位由聚合一致变为丧失聚合而各异(decoherence)，磁化矢量相互抵消，$M_{xy}$ 很快由大变小,最后趋向于零，称之为去相位(out of phase)。横向磁化矢量衰减也表现为一种指数曲线，T2 值规定为横向磁化矢量衰减到其原来值37%所用的时间。

与该弛豫对应的 Bloch 函数为：
$$\frac{M_{xy}}{dt}=-\frac{M_{xy}(t)}{T_2}$$
该方程的解为：$M_{xy}(t)=M_{xy}(0)\exp (-t/T_2)$ 。

横向磁化矢量由大变小直至消失的原因是：组织中水分子的热运动持续产生磁场的小波动,周围磁环境的任何波动可造成质子共振频率的改变，使质子振动稍快或稍慢，使质子群由相位一致变为互异，即质子热运动的作用使质子间的旋进方位和频率互异，但无能量交换。

当静磁场分布不均匀(not uniform)时，T2 要多加一个时常数为 T_B 的指数衰减因子，即：
$$M_{xy}\propto \exp (-\frac{t}{T_2})\times \exp (-\frac{t}{T_B})$$

$$M_{xy}\propto \exp (-t(\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_B}))=\exp (-\frac{t}{T_2^{\star }})$$

其中 $T_2^{\star }<T_2$。

自由感应衰减(Free Inducation Decay)

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90°脉冲后，由于受T1、T2 的影响，接收到的磁共振信号以指数曲线形式衰减，称为自由感应衰减(FID)。
$$M_{xy}\propto \exp (j{\omega }_{0}t)\exp (-t/T_2^{\star })$$

系统的频率响应会有 Lorentzian shape：
$$\frac{T_2^{\star }}{1+(\omega -{\omega }_0{)}^2{T}_2^{\star 2}}-\frac{j(\omega -{\omega }_0)T_2^{\star 2}}{1+(\omega -{\omega }_0{)}^2{T}_2^{\star 2}}$$

在振幅中心测得其带宽为：$\Delta {\omega }_0=2/T_2^{\star }$ 。

自旋回波(Spin Echo)

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自旋回波序列为现今 MR 扫描最基本、最常用的脉冲序列，先发射1个90°射频脉冲，90°脉冲停止后，开始出现磁共振信号，间隔 $\Delta T$ 时间后，再发射1个180°脉冲至测量回波的时间称作回波时间，用 $T_E$ 表示（$T_E=2\Delta T$），180°脉冲至下一个90°脉冲之间的时间为 $T^{\prime }$，重复这一过程，2个90°脉冲 之间的时间称为重复时间，用 $T_R$ 表示。

加权像(weighted image)

自旋回波脉冲序列中的影像亮度、回波幅度不仅与受检组织的特殊参数即 T1、T2和质子密度有关，而且与操作者选择的参数 T_R、T_E 有关。人体不同组织不论它们是正常的还是异常的，有它们的各自的T1、T2以及质子密度值，这是 MRI 区分正常与异常以及诊断疾病的基础。

• 质子密度 $\rho$ 加权像 如选用比受检组织T1显著长的TR（1500～2500ms），那么磁化的质子群在下1个周期的90°脉冲到来时已全部得到恢复，这时回波信号幅度与组织 T1 无关，而与组织的质子密度和 T2 有关。再选用比受检组织 T2 明显短的 T_E（15～20ms），则回波信号幅度与质子密度（即受检组织氢原子数量）有关，这种影像被称为质子密度加权像。由于多数生物组织质子数量相差不大。信号强度主 要由 T2 决定，有些文献中也将质子密度加权像称作轻度 T2 加权像。
• T2 加权像，如选择比受检组织 T1 显著长的 T_R（1500～2500ｍｓ），又选用与生物组织 T2 相似的时间为 T_E（90～120ms） ，则两个不同组织的 T2 信号强度差别明显，T_E 越长，这种差别越明显。

• T1 加权像，因各种生物组织的纵向弛豫时间约500ｍｓ左右，如把 T_R 定为500ｍｓ，则在下1个周期90°脉冲到来时，长 T1 的组织能量丢失少，纵向磁化矢量（M_Z）恢复的幅度低，吸收的能量就少，其磁共振信号的幅度低。

梯度磁场(gradient field)

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**选层梯度场 G_X **

以横轴位（Z）断层为例，于主磁场 $\overrightarrow{B_0}$ 再附加一个梯度磁场 $\vec{G}=(0,0,G_z)$，则总的磁感应强度为$\overrightarrow{B_0}(x)=(B_0+\vec{G}\cdot \vec{x})\overrightarrow{e_z}$，即沿Ｚ轴方向自左到右磁感应强度不同，根据拉莫尔定律，被检者质子群在纵轴平面上（垂直于Z轴）被分割成一个个横向断面，且质子群有相同的旋进频率，如以这个频率的90°脉冲激励，就可在人体纵轴上选出横轴层面。

**选层梯度场 G_X **

以横轴位（Z）断层为例，于主磁场 $\overrightarrow{B_0}$ 再附加一个梯度磁场 $\vec{G}=(0,0,G_z)$，则总的磁感应强度为$\overrightarrow{B_0}(x)=(B_0+\vec{G}\cdot \vec{x})\overrightarrow{e_z}$，即沿Ｚ轴方向自左到右磁感应强度不同，根据拉莫尔定律，被检者质子群在纵轴平面上（垂直于Z轴）被分割成一个个横向断面，且质子群有相同的旋进频率，如以这个频率的90°脉冲激励，就可在人体纵轴上选出横轴层面。