Malthus拟合和Logistic拟合是两种最典型、应用最广泛的拟合模型。它们分别被用于预测人口增长和物种增长，因此被广泛应用于社会学与生物学领域。

Malthus拟合

通常情况下，每年的人口死亡率与出生率是相同的。因此可以设每年的人口增长率为常数，我们记时刻t的人口数目为x(t)，记初始时刻的人口数目为$x_0$，则有：
$
\begin{cases}
\frac{dx}{dt}=rx(t)\
x(0)=x_0
\end{cases}
$
解微分方程可得$x(t)=x_0e^{rt}$，因此只要确定r的值即可利用Malthus模型拟合数据。

实例

如表给出的近两个世纪美国人口统计数据（以百万为单位），用Malthus模型拟合，并用它预报2010年的美国人口：

年份	1790	1800	1810	1820	1830	1840	1850	1860	1870	1880	1890	1900	1910	1920	1930	1940	1950	1960	1970	1980	1990	2000
人口/百万	3.9	5.3	7.2	9.6	12.9	17.1	23.2	31.4	38.6	50.2	62.9	76.0	92.0	106.5	123.2	131.7	150.7	179.3	204.0	226.5	251.4	281.4

python代码如下：

import numpy as np
from scipy import optimize
from matplotlib import pyplotx0=3.9def f(t,r):return x0*np.exp(r*t)x=np.array([3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4
])
t=np.arange(0,220,10)
fita,fitb=optimize.curve_fit(f,t,x,[0],maxfev=5000000)
pyplot.plot(t,x,'.')
x=f(t,fita[0])
pyplot.plot(t,x)
pyplot.show()
print(f(220,fita[0]))

预测结果为413.1，函数图像如下所示：

我们发现，函数并没有很好地拟合，这是因为我们在建立模型时假设的是人口增长率恒定不变。然而实际情况下，随着社会因素的变化，人口增长率是会出现变化的。我们应该选取近期的数据来作为衡量标准计算人口增长率，这将会使得我们对人口的预测变得更加精确。

使用1900年后的数据进行拟合，修改python代码如下：

import numpy as np
from scipy import optimize
from matplotlib import pyplotx0=76.0def f(t,r):return x0*np.exp(r*t)x=np.array([76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4
])
t=np.arange(0,110,10)
fita,fitb=optimize.curve_fit(f,t,x,[0],maxfev=5000000)
pyplot.plot(t,x,'.')
x=f(t,fita[0])
pyplot.plot(t,x)
pyplot.show()
print(f(110,fita[0]))

预测结果为333.2，函数图像如下所示：

可以看到此时的拟合效果较好

Logistic拟合

在自然条件下考查一个种群的个体数目变化规律，由于自然条件的限制，个体数目的增长率r应该是一个和个体数目k负相关的函数。对于一个种群来说环境的最大容纳量被称为K值，达到K值之后个体数目便不再增长。我们不妨设增长率r满足方程$r=r_0(1-\frac{x}{K})$，记初始时刻的个体数目为$x_0$，则有：
$
\begin{cases}
\frac{dx}{dt}=r_0(1-\frac{x}{K})x\
x(0)=x_0
\end{cases}
$
解微分方程可得$x(t)=\frac{K}{1+(\frac{K}{x_0}-1)e^{-rt}}$，这就是Logistic模型，通过拟合确定系数K和r即可使用该模型预测自然条件下的种群个体数目变化情况。

实例

依然以美国人口为例，使用Logistic模型来拟合1900年后的人口数据。python代码如下所示：

import numpy as np
from scipy import optimize
from matplotlib import pyplotx0=76.0def f(t,r,K):return K/(1+(K/x0-1)*np.exp(-r*t))x=np.array([76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4
])
t=np.arange(0,110,10)
fita,fitb=optimize.curve_fit(f,t,x,[0,400],maxfev=5000000)
pyplot.plot(t,x,'.')
x=f(t,fita[0],fita[1])
pyplot.plot(t,x)
pyplot.show()
print(f(110,fita[0],fita[1]))

预测结果为309.4，图像如下所示：