数论笔记
1. 质数
1.1 质数的判定
试除法
若一个正整数为合数(除了能被1和自身以外的数整除),则存在一个能整除的数,其中。
bool is_prime(int n)
{if (n < 2) return false;for (int i = 2; i < sqrt(n); ++ i )if (n % i == 0) return false;return true;
}
1.2 质数的筛选
Eratosthenes筛法
基本思想:任意整数的倍数都不是质数。
void primes(int n)
{memset(v, 0, sizeof(v)); //合数标记for (int i = 2; i <= n; ++ i ){if (v[i]) continue;cout << i << endl; // i是质数for (int j = i; j <= n/i; ++ j ) v[i*j] = 1;}
}
Eratosthenes筛法的时间复杂度为。该算法效率非常接近线性。
线性筛法
线性筛法通过“从大到小累计质因子”的方式标记合数,即让12只有一种产生方式。
int primes[N], cnt = 0; // primes[]存储所有素数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;for (int j = 0; primes[j] <= n/i; j ++ ){st[primes[j] * i] = true;if (i % primes[j] == 0) break;}}
}
1.3 质因数分解
定理:任何一个大于1的正整数都能唯一分解为有限个质数的乘积,可写作:
其中都是正整数,都是质数,且满足。
试除法
void divide(int n)
{m = 0;for (int i = 2; i <= sqrt(n); ++ i ){if (n % i == 0){p[++m] = i, c[m] = 0;while (n % i == 0) n /= i, c[m]++;}}if (n > 1) // n是质数p[++m] = n, c[m] = 1;for (int i = 1; i <= m; ++ i )cout << p[i] << " " << c[i] << endl;
}
2.约数
定义:若整数除以整数的余数为0,即能整出,则称是的约数,记为。
关于约数的一个定理:一个数有奇数个约数,那么这个数是平方数。
2.1 算术基本定理的推论
在算术基本定理中,若正整数被唯一分解为,其中都是正整数,都是质数,且满足,则的正约数集合可以写作:
的正约数个数为:
的所有正约数的和为:
2.2 求的正约数集合—试除法
若是的约数,则也是的约数。换言之,约数是成对出现的(除了完全平方数)。
int factor[1600], m = 0;for (int i = 2; i*i <= n; ++ i )
{if (n % i == 0){factor[++m] = i;if (n/i != i) factor[++m] = n/i;}
}for (int i = 1; i <= m; ++ i )cout << factor[i] << endl;
试除法的推论
一个整数的约数个数上界为。
2.3 求每个数的正约数集合—倍数法
对于每个数,中以为约数的数就是的倍数。
vector<int> factor[500010];for (int i = 1; i <= n; ++ i )
{for (int j = 1; j <= n/i; ++ j )factor[i*j].push_back(i);
}for (int i = 1; i <= n; ++ i )
{for (auto &x : factor[i]){cout << x << " ";}puts("");
}
上述算法的时间复杂度为。
倍数法的推论
每个数的约数个数的总和大约为。
2.4 最大公约数
定理:。
欧几里得算法
int gcd(int a, int b)
{return b ? gcd(b, a%b) : a;
}
2.5 互质与欧拉函数
定义:,则称a,b互质。
欧拉函数
中与互质的数的个数被称为欧拉函数,记为。
若在算术基本定理中,,则
int phi(int n)
{int ans = n;for (int i = 2; i < sqrt(n); ++ i ){if (n % i == 0){ans = ans*(i-1)/i;while (n % i == 0) n /= i;}}if (n > 1) ans = ans*(n-1)/n;return ans;
}
欧拉函数的常用性质:
- 如果互质,则。
- 中与互质的数的和为。
- 设为质数,若且,则。
- 设为质数,若且,则。
- 欧拉定理:如果互质,且均为正整数,则。
筛法求欧拉函数
int primes[N], euler[N], cnt;
bool st[N];// 质数存在primes[]中,euler[i] 表示
// i的欧拉函数
void get_eulers(int n)
{euler[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]){primes[cnt ++ ] = i;euler[i] = i - 1;}for (int j = 0; primes[j] <= n/i; j ++ ){st[primes[j] * i] = true;if (i % primes[j] == 0){euler[i * primes[j]] = euler[i] * primes[j];break;}euler[i * primes[j]] = euler[i] * (primes[j] - 1);}}
}
同余
定义:若整数和除以正整数的余数相等,则称模m同余,记为。
费马小定理:
若是质数,而整数不是的倍数,有。
欧拉定理:
若正整数互质,则,其中为欧拉函数。
欧拉定理的推论:
若正整数互质,则对于任意正整数,。
扩展欧几里得算法
裴蜀定理:
对于任意整数,存在一对整数,满足。
int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{if (b == 0) { x = 1, y = 0; return a; }int d = exgcd(b, a%b, x, y);int z = x; x = y; y = z-y*(a/b);return d;
}
乘法逆元:
若整数互质,并且,则存在一个整数,使得。称为的模乘法逆元,记为。
因为,所以。
当模数m为质数时,即为的乘法逆元。如果只是保证互质,那么乘法逆元可通过解同余方程得到。
线性同余方程
给定整数,求一个整数满足,或者给出无解。因为未知数的指数为1,所以我们称之为一次同余方程,也称为线性同余方程。
等价于是的倍数,不妨设为倍。于是,该方程可以改写为。
根据前面裴蜀定理的证明,线性同余方程有解当且仅当。
中国剩余定理:
设是两两互质的整数,是线性同余方程的一个解。对于任意的个整数,方程组
有整数解,解为。
组合计数
排列数:
从个不同元素中依次取出个元素排成一列,产生的不同排列的数量为:
组合数:
从n个不同元素中取出m个组成一个集合(不考虑顺序),产生的不同集合数量为:
性质:
-
-
-
递归法求组合数
// c[a][b] 表示从a个中选b个的方案数 for (int i = 0; i < N; i ++ ) {for (int j = 0; j <= i; j ++ ){if (!j) c[i][j] = 1;else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod; } }
通过预处理逆元的方式求组合数
// 首先预处理出所有阶乘取模的余数fact[N],以及所有阶乘取模的逆元infact[N] // 如果取模的数是质数,可以用费马小定理求逆元 int qmi(int a, int k, int p) // 快速幂模板 {int res = 1;while (k){if (k & 1) res = (LL)res * a % p;a = (LL)a * a % p;k >>= 1;}return res; }// 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数 fact[0] = infact[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i ++ ) {fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod; }
多重集的排列数:
多重集是指包含重复元素的广义集合。设是由个,个个组成的多重集。的全排列个数为。
多重集的组合数:
从中取出个元素组成一个多重集(不考虑元素的顺序),产生的不同多重集的数量为。
Lucas定理:
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2024/4/27 8:32:30 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57