常见分布与假设检验

记录学习,本文全部参考[Datawhale概率统计组队学习文档]

根据随机变量可能取值的个数分为离散型(取值有限)和连续型(取值无限)两类。

1. 离散型

离散型随机变量

KMP(probability mass function):对于离散型随机变量,使用概率质量函数。

假定离散型随机变量X,共有n个取值,X1X_1, X2X_2, …, XnX_n, 那么
P(X=Xn)0 P(X=X_n) \geq 0

Σ1nP(X=Xn)=1 \Sigma_{1}^{n} P(X=X_n) =1

用到PMF的例子:二项分布,泊松分布。

二项分布

二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布 P(X=x)=CnxpxqnxP(X=x) = C_n^x p^x q^{n-x}

二项分布需要满足以下条件: 试验次数是固定的、每次试验都是独立的、对于每次试验成功的概率都是一样的

二项分布的**例子:**1. 销售电话成功的次数一批产品中有缺陷的产品数量 2.掷硬币正面朝上的次数 3.在一袋糖果中取糖果吃,拿到红色包装的次数

泊松分布

满足以下两个特征的试验可以认为是泊松试验:

  • 所考察的事件在任意两个长度相等的区间里发生一次的机会均等
  • 所考察的事件在任何一个区间里发生与否和在其他区间里发生与否没有相互影响,即是独立的

泊松分布需要**满足条件: **1. 试验次数n趋向于无穷大 2. 单次事件发生的概率p趋向于0 3. np是一个有限的数值

泊松分布的一些例子: 1. 一定时间段内,某航空公司接到的订票电话数一定时间内,2. 到车站等候公交汽车的人数 3.一匹布上发现的瑕疵点的个数 4.一定页数的书刊上出现的错别字个数

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数 P{X=i}=eλλii!P\lbrace X= i \rbrace = e^{-λ} \frac{λ^i}{i!}。期望和方差均为 λλ

二项分布,泊松分布,正态分布的关系

这三个分布间具有非常微妙的关联。

当n很大,p很小时,如n ≥ 100 and np ≤ 10时,二项分布可以近似为泊松分布。

当λ很大时,如λ≥1000时,泊松分布可以近似为正态分布。

当n很大时,np和n(1-p)都足够大时,如n ≥ 100 , np ≥10,n(1-p) ≥10时,二项分布可以近似为正态分布。.

几何分布(Geometric distribution)

考虑独立重复试验,几何分布描述的是经过k次试验才首次获得成功的概率,假定每次成功率为p
P{X=n}=(1p)n1p P\lbrace X= n \rbrace = {(1-p)}^{n-1} p

负二项分布(Negative binomial distribution)

考虑独立重复试验,负二项分布描述的是试验一直进行到成功r次的概率,假定每次成功率为p
P{X=n}=Cn1r1pr(1p)nr P\lbrace X= n \rbrace = C_{n-1}^{r-1} p^r {(1-p)}^{n-r}

超几何分布(Hypergeometric Distribution)

超几何分布描述的是在一个总数为N的总体中进行有放回地抽样,其中在总体中k个元素属于一组,剩余N-k个元素属于另一组,假定从总体中抽取n次,其中包含x个第一组的概率为
P{X=n}=CkxCNknxCNnP{X=n}=CkxCNknxCNn P\lbrace X= n \rbrace = \frac {C_{k}^{x} C_{N-k}^{n-x}} {C_{N}^{n}}P\lbrace X= n \rbrace = \frac {C_{k}^{x} C_{N-k}^{n-x}} {C_{N}^{n}}

2. 连续型

PDF(probability density function):连续型随机变量,使用概率密度函数。(取任何固定值的概率都为0)

CDF:(cumulative distribution function): 累积分布函数 ,在数学上CDF是PDF的积分形式。

例: 假定连续型随机变量X,f(x)为概率密度函数, 对于任意实数范围如[a,b],有P{aXb}=abf(x)dxP \lbrace a\leq X \leq b\rbrace = \int ^b_a f(x) {\rm d}x

用到PDF的例子:均匀分布,正态分布,指数分布

均匀分布 (Uniform distribution)

均匀分布指的是一类在定义域内概率密度函数处处相等的统计分布。若X是服从区间[a,b]上的均匀分布,则记作X~U[a,b]。均匀分布X的概率密度函数为

f(x)={1ba,axb0,others f(x)=\begin{cases}\frac {1} {b-a} , & a \leq x \leq b \\0, & others\end{cases}
分布函数为:
F(x)={0,x<a(xa)(ba),axb1,x>b F(x)=\begin{cases}0 , & x< a \\(x-a)(b-a), & a \leq x \leq b \\1, & x>b\end{cases}
E(X)=a+b2E(X)=\frac{a+b}2 D(X)=(ba)212D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}

均匀分布的一些例子:

  • 一个理想的随机数生成器
  • 一个理想的圆盘以一定力度旋转后静止时的角度

正态分布 (Normal distribution)

正态分布,也叫做高斯分布,是最为常见的统计分布之一,是一种对称的分布,概率密度呈现钟摆的形状,其概率密度函数为
f(x)=12πσe(xu)22σ2 f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}\sigma}e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma^2}}
记为X ~ N(μ, σ2σ^2) , 其中μ为正态分布的均值,σ为正态分布的标准差

有了一般正态分布后,可以通过公式变换将其转变为标准正态分布 Z ~ N(0,1),
Z=Xμσ Z=\frac {X-μ} {σ}
E(X)=μE(X)=μ D(X)=σ2D(X)=σ^2

正态分布的一些例子:

  • 成人的身高
  • 不同方向的气体分子的运动速度
  • 测量物体质量时的误差

正态分布在现实生活有着非常多的例子,这一点可以从中心极限定理来解释,中心极限定理说的是一组独立同分布的随机样本的平均值近似为正态分布,无论随机变量的总体符合何种分布。

指数分布 (Exponential distribution)

指数分布通常被广泛用在描述一个特定事件发生所需要的时间,在指数分布随机变量的分布中,有着很少的大数值和非常多的小数值。

指数分布的概率密度函数为
f(x)={λeλx,x00,x<0 f(x)=\begin{cases}λe^{-λx} , & x \geq 0 \\0, & x < 0\end{cases}
记为 X~E(λ), 其中λ被称为率参数(rate parameter),表示每单位时间发生该事件的次数。

分布函数为
F(a)=P{Xa}=1eλa,a0 F(a) = P\{X \leq a\} = 1-e^{-λa}, a\geq 0
E(X)=1λE(X)=\frac{1}{λ} D(X)=1λ2D(X)=\frac{1}{λ^2}

指数分布的一些例子:

  • 顾客到达一家店铺的时间间隔
  • 从现在开始到发生地震的时间间隔
  • 在产线上收到一个问题产品的时间间隔

关于指数分布还有一个有趣的性质的是指数分布是无记忆性的,假定在等候事件发生的过程中已经过了一些时间,此时距离下一次事件发生的时间间隔的分布情况和最开始是完全一样的,就好像中间等候的那一段时间完全没有发生一样,也不会对结果有任何影响,用数学语言来表述是
P{X>s+tX>t}=P{X>s} P\{X>s+t | X> t\} =P\{X>s\}

其他连续分布

Γ\Gamma分布: 常用来描述某个事件总共要发生n次的等待时间的分布

威布尔分布 (Weibull distribution): 常用来描述在工程领域中某类具有“最弱链”对象的寿命

常见分布的均值和方差汇总:

在这里插入图片描述

Python 代码实战

生成一组符合特定分布的随机数

在Numpy库中,提供了一组random类可以生成特定分布的随机数

import numpy# 生成大小为1000的符合b(10,0.5)二项分布的样本集
s = numpy.random.binomial(n=10,p=0.5,size=1000)# 生成大小为1000的符合P(1)的泊松分布的样本集
s = numpy.random.poisson(lam=1,size=1000)# 生成大小为1000的符合U(0,1)均匀分布的样本集,注意在此方法中边界值为左闭右开区间
s = numpy.random.uniform(low=0,high=1,size=1000)# 生成大小为1000的符合N(0,1)正态分布的样本集,可以用normal函数自定义均值,标准差,也可以直接使用standard_normal函数
s = numpy.random.normal(loc=0,scale=1,size=1000)
s = numpy.random.standard_normal(size=1000)# 生成大小为1000的符合E(1/2)指数分布的样本集,注意该方法中的参数为指数分布参数λ的倒数
s = numpy.random.exponential(scale=2,size=1000)
# 除了Numpy,Scipy也提供了一组生成特定分布随机数的方法
# 以均匀分布为例,rvs可用来生成一组随机变量的值
from scipy import stats
stats.uniform.rvs(size=10)

计算统计分布的PMF和PDF

Scipy库提供了一组用于计算离散型随机变量PMF和连续型随机变量PDF的方法。

from scipy import stats# 计算二项分布B(10,0.5)的PMF
x=range(11)
p=stats.binom.pmf(x, n=10, p=0.5)# 计算泊松分布P(1)的PMF
x=range(11)
p=stats.poisson.pmf(x, mu=1)# 计算均匀分布U(0,1)的PDF
x = numpy.linspace(0,1,100)
p= stats.uniform.pdf(x,loc=0, scale=1)# 计算正态分布N(0,1)的PDF
x = numpy.linspace(-3,3,1000)
p= stats.norm.pdf(x,loc=0, scale=1)# 计算指数分布E(1)的PDF
x = numpy.linspace(0,10,1000)
p= stats.expon.pdf(x,loc=0,scale=1)

计算统计分布的CDF

类似计算概率质量/密度函数的方法,只需将上节中的pmf或pdf替换为cdf,即可得到分布函数的值

# 以正态分布为例,计算正态分布N(0,1)的CDF
x = numpy.linspace(-3,3,1000)
p = stats.norm.cdf(x,loc=0, scale=1)

统计分布可视化

二项分布
# 比较n=10,p=0.5的二项分布的真实概率质量和10000次随机抽样的结果
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as snsx = range(11)  # 二项分布成功的次数(X轴)
t = stats.binom.rvs(10,0.5,size=10000) # B(10,0.5)随机抽样10000次
p = stats.binom.pmf(x, 10, 0.5) # B(10,0.5)真实概率质量fig, ax = plt.subplots(1, 1)
sns.distplot(t,bins=10,hist_kws={'density':True}, kde=False,label = 'Distplot from 10000 samples')
sns.scatterplot(x,p,color='purple')
sns.lineplot(x,p,color='purple',label='True mass density')
plt.title('Binomial distribution')
plt.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1))

在这里插入图片描述

泊松分布

比较λ=2的泊松分布的真实概率质量和10000次随机抽样的结果

from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
x=range(11)
t= stats.poisson.rvs(2,size=10000)
p=stats.poisson.pmf(x, 2)fig, ax = plt.subplots(1, 1)
sns.distplot(t,bins=10,hist_kws={'density':True}, kde=False,label = 'Distplot from 10000 samples')
sns.scatterplot(x,p,color='purple')
sns.lineplot(x,p,color='purple',label='True mass density')
plt.title('Poisson distribution')
plt.legend()

在这里插入图片描述

比较不同参数λ对应的概率质量函数,可以验证随着参数增大,泊松分布开始逐渐变得对称,分布也越来越均匀,趋近于正态分布

x=range(50)
fig, ax = plt.subplots()
for  lam in [1,2,5,10,20] :p=stats.poisson.pmf(x, lam)sns.lineplot(x,p,label='lamda= '+ str(lam))
plt.title('Poisson distribution')
plt.legend()

在这里插入图片描述

均匀分布

比较U(0,1)的均匀分布的真实概率密度和10000次随机抽样的结果

from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
x=numpy.linspace(0,1,100)
t= stats.uniform.rvs(0,1,size=10000)
p=stats.uniform.pdf(x, 0, 1)fig, ax = plt.subplots(1, 1)
sns.distplot(t,bins=10,hist_kws={'density':True}, kde=False,label = 'Distplot from 10000 samples')sns.lineplot(x,p,color='purple',label='True mass density')
plt.title('Uniforml distribution')
plt.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1))

在这里插入图片描述

正态分布

比较N(0,1)的正态分布的真实概率密度和10000次随机抽样的结果

from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
x=numpy.linspace(-3,3,100)
t= stats.norm.rvs(0,1,size=10000)
p=stats.norm.pdf(x, 0, 1)fig, ax = plt.subplots(1, 1)
sns.distplot(t,bins=100,hist_kws={'density':True}, kde=False,label = 'Distplot from 10000 samples')sns.lineplot(x,p,color='purple',label='True mass density')
plt.title('Normal distribution')
plt.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1))

在这里插入图片描述

比较不同均值和标准差组合的正态分布的概率密度函数

x=numpy.linspace(-6,6,100)
p=stats.norm.pdf(x, 0, 1)
fig, ax = plt.subplots()
for  mean, std in [(0,1),(0,2),(3,1)]: p=stats.norm.pdf(x, mean, std)sns.lineplot(x,p,label='Mean: '+ str(mean) + ', std: '+ str(std))
plt.title('Normal distribution')
plt.legend()

在这里插入图片描述

指数分布

比较E(1)的指数分布的真实概率密度和10000次随机抽样的结果

from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
x=numpy.linspace(0,10,100)
t= stats.expon.rvs(0,1,size=10000)
p=stats.expon.pdf(x, 0, 1)fig, ax = plt.subplots(1, 1)
sns.distplot(t,bins=100,hist_kws={'density':True}, kde=False,label = 'Distplot from 10000 samples')sns.lineplot(x,p,color='purple',label='True mass density')
plt.title('Exponential distribution')
plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1))

在这里插入图片描述

比较不同参数的指数分布的概率密度函数

x=numpy.linspace(0,10,100)
fig, ax = plt.subplots()
for  scale in [0.2,0.5,1,2,5] :p=stats.expon.pdf(x, scale=scale)sns.lineplot(x,p,label='lamda= '+ str(1/scale))
plt.title('Exponential distribution')
plt.legend()

在这里插入图片描述

3 假设检验

基本概念

假设检验问题时统计推断中的一类重要问题,在总体的分布函数完全未知或只知其形式,不知其参数的情况,为了推断总体的某些未知特性,提出某些关于总体的假设,这类问题被称为假设检验。

一个假设检验问题可以分为5步: 。

  1. 陈述研究假设,包含原假设(null hypothesis)和备择假设(alternate hypothesis)
  2. 为验证假设收集数据
  3. 构造合适的统计测试量并测试 : 统计检验量有很多种类,但是所有的统计检验都是基于组内方差和组间方差的比较,如果组间方差足够大,使得不同组之间几乎没有重叠,那么统计量会反映出一个非常小的P值,意味着不同组之间的差异不可能是由偶然性导致的。
  4. 决定是接受还是拒绝原假设 通常我们会以P=0.05作为临界值(单侧检验)
  5. 展示结论

统计量的选择

最常用的统计检验包括回归检验(regression test),比较检验(comparison test)和关联检验(correlation test)三类。

回归检验

回归检验适用于预测变量是数值型的情况,根据预测变量的数量和结果变量的类型又分为以下几种。

预测变量 结果变量
简单线性回归 单个,连续数值 连续数值
多重线性回归 多个,连续数值 连续数值
Logistic回归 连续数值 二元类别

比较检验

比较检验适用于预测变量是类别型,结果变量是数值型的情况,根据预测变量的分组数量和结果变量的数量又可以分为以下几种。

预测变量 结果变量
Paired t-test 两组,类别 组来自同一总体,数值
Independent t-test 两组,类别 组来自不同总体,数值
ANOVA 两组及以上,类别 单个,数值
MANOVA 两组及以上,类别 两个及以上,数值

关联检验

关联检验常用的只有卡方检验一种,适用于预测变量和结果变量均为类别型的情况。

非参数检验

此外,由于一般来说上述参数检验都需满足一些前提条件,样本之间独立,不同组的组内方差近似和数据满足正态性,所以当这些条件不满足的时候,我们可以尝试用非参数检验来代替参数检验。

非参数检验 用于替代的参数检验
Spearman 回归和关联检验
Sign test T-test
Kruskal–Wallis ANOVA
ANOSIM MANOVA
Wilcoxon Rank-Sum test Independent t-test
Wilcoxon Signed-rank test Paired t-test

两类错误

事实上当我们进行假设检验的过程中是存在犯错误的可能的,并且理论上来说错误是无法完全避免的。根据定义,错误分为两类,一类错误(type I error)和二类错误(type II error)。

  • 一类错误:拒绝真的原假设

  • 二类错误:接受错误的原假设

一类错误可以通过α值来控制,在假设检验中选择的 α(显著性水平)对一类错误有着直接影响。α可以认为是我们犯一类错误的最大可能性。以95%的置信水平为例,a=0.05,这意味着我们拒绝一个真的原假设的可能性是5%。从长期来看,每做20次假设检验会有一次犯一类错误的事件发生。

二类错误通常是由小样本或高样本方差导致的,二类错误的概率可以用β来表示,和一类错误不同的是,此类错误是不能通过设置一个错误率来直接控制的。对于二类错误,可以从功效的角度来估计,首先进行功效分析(power analysis)计算出功效值1-β,进而得到二类错误的估计值β。

一般来说这两类错误是无法同时降低的,在降低犯一类错误的前提下会增加犯二类错误的可能性,在实际案例中如何平衡这两类错误取决于我们更能接受一类错误还是二类错误。

Python代码实战

正态检验

Shapiro-Wilk Test是一种经典的正态检验方法。

H0: 样本总体服从正态分布

H1: 样本总体不服从正态分布

import numpy as np
from scipy.stats import shapiro
data_nonnormal = np.random.exponential(size=100)
data_normal = np.random.normal(size=100)def normal_judge(data):stat, p = shapiro(data)if p > 0.05:return 'stat={:.3f}, p = {:.3f}, probably gaussian'.format(stat,p)else:return 'stat={:.3f}, p = {:.3f}, probably not gaussian'.format(stat,p)# output
normal_judge(data_nonnormal)
# 'stat=0.850, p = 0.000, probably not gaussian'
normal_judge(data_normal)
# 'stat=0.987, p = 0.415, probably gaussian'

卡方检验

目的:检验两组类别变量是相关的还是独立的

H0: 两个样本是独立的

H1: 两组样本不是独立的

from scipy.stats import chi2_contingency
table = [[10, 20, 30],[6,  9,  17]]
stat, p, dof, expected = chi2_contingency(table)
print('stat=%.3f, p=%.3f' % (stat, p))
if p > 0.05:print('Probably independent')
else:print('Probably dependent')# output
#stat=0.272, p=0.873
#Probably independent

T-test

目的:检验两个独立样本集的均值是否具有显著差异

H0: 均值是相等的

H1: 均值是不等的

from scipy.stats import ttest_ind
import numpy as np
data1 = np.random.normal(size=10)
data2 = np.random.normal(size=10)
stat, p = ttest_ind(data1, data2)
print('stat=%.3f, p=%.3f' % (stat, p))
if p > 0.05:print('Probably the same distribution')
else:print('Probably different distributions')# output
# stat=-1.382, p=0.184
# Probably the same distribution

ANOVA

目的:与t-test类似,ANOVA可以检验两组及以上独立样本集的均值是否具有显著差异

H0: 均值是相等的

H1: 均值是不等的

from scipy.stats import f_oneway
import numpy as np
data1 = np.random.normal(size=10)
data2 = np.random.normal(size=10)
data3 = np.random.normal(size=10)
stat, p = f_oneway(data1, data2, data3)
print('stat=%.3f, p=%.3f' % (stat, p))
if p > 0.05:print('Probably the same distribution')
else:print('Probably different distributions')# output
# stat=0.189, p=0.829
# Probably the same distribution

Mann-Whitney U Test

目的:检验两个样本集的分布是否相同

H0: 两个样本集的分布相同

H1: 两个样本集的分布不同

from scipy.stats import mannwhitneyu
data1 = [0.873, 2.817, 0.121, -0.945, -0.055, -1.436, 0.360, -1.478, -1.637, -1.869]
data2 = [1.142, -0.432, -0.938, -0.729, -0.846, -0.157, 0.500, 1.183, -1.075, -0.169]
stat, p = mannwhitneyu(data1, data2)
print('stat=%.3f, p=%.3f' % (stat, p))
if p > 0.05:print('Probably the same distribution')
else:print('Probably different distributions')# output
# stat=40.000, p=0.236
# Probably the same distribution

参考资料

  1. Ross S . 概率论基础教程[M]. 人民邮电出版社, 2007.
  2. 盛骤, 谢式千, 潘承毅, 等. 概率论与数理统计 (第四版)[J]. 2008.
  3. https://machinelearningmastery.com/statistical-hypothesis-tests-in-python-cheat-sheet/
  4. https://www.scipy.org/
  5. https://www.thoughtco.com/difference-between-type-i-and-type-ii-errors-3126414
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    2024/3/14 18:10:56
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    回调函数callback 不立即执行的函数调用,满足一定条件时执行或者由别的代码调用执行 用法: 调用时只写函数名,没有小括号和参数 应用: 事件绑定 函数参数 <!DOCTYPE html> <html lang="en"><head><meta charset="UTF-8"><t…...

    2024/3/28 9:11:39
  12. 单例模式volatile

    java实现单例模式的方式有很多种,常见的有通过枚举,饿汉式,懒汉式。懒汉式一般需要double check。需要注意的事情,这种单例模式,单例对象声明的时候需要加volatile关键字,确保在单例对象实例化的过程中不会发生重排序导致其他线程获取到一个未完成初始化的对象,原理如下图…...

    2024/3/14 18:10:54
  13. 同步IO、异步IO、阻塞IO、非阻塞IO的区别

    文章出处:https://blog.csdn.net/historyasamirror/article/details/5778378 这篇文章个人觉得作者写得非常好,之前看过好几篇讲这几种IO区别的文章,但看过之后还是觉得一知半解,但是这篇文章看过之后就对这几种IO有了质的认识。只能说强! 同步(synchronous) IO和异步(…...

    2024/3/14 18:10:55
  14. 信息资源管理--头疼篇

    一看就让你头疼的经文。。。不行你们试试?我就看不下去,想知道我是怎么偷懒的吗?欲知详情,请见下次详解。。。 第一章信息资源管理基础 1.1信息技术:(informationtechnology,简称IT)是应用信息科学的原理和方法研究信息产生、传递、处理的技术,具体包括有关信息的产生…...

    2024/3/14 18:10:52
  15. 游戏同步方案——帧同步

    游戏同步方案——帧同步帧同步(Lockstep)和状态同步(State Synchronization)状态同步帧同步帧同步的关键运行环境一致显示与逻辑分离防作弊 帧同步(Lockstep)和状态同步(State Synchronization) 所谓同步,就是要多个客户端表现效果是一致的,例如我们玩王者荣耀的时候…...

    2024/3/14 18:10:51
  16. 自编码器

    自编码器 自编码器是一种数据压缩算法。数据压缩与解压缩函数是数据相关的,即只能压缩与训练数据类似的数据;压缩有损,即解压缩的输出与原始输入相比是退化的;压缩方式从数据样本中自动学习的,即很容易对指定类的输入训练出一种特定编码器。自编码器的损失函数可以用来衡量…...

    2024/3/13 21:52:04
  17. 一 基础原理:第05讲:大厂面试题:得心应手应对 OOM 的疑难杂症

    在前面几个课时中,我们不止一次提到了堆(heap),堆是一个巨大的对象池。在这个对象池中管理着数量巨大的对象实例。而池中对象的引用层次,有的是很深的。一个被频繁调用的接口,每秒生成对象的速度,也是非常可观的。对象之间的关系,形成了一张巨大的网。虽然 Java 一直在…...

    2024/3/13 21:52:04
  18. arm pwn 初探

    学习网站azeria-labs,这个网站里蛮多arm教程,有基础的arm汇编,还有arm exploit,还有如何使用ubuntu 构建树莓派虚拟机。 如何搭建arm pwn环境和下面要讲的如何利用arm pwn参考这篇文章 ARM64 调试环境搭建及 ROP 实战 题目地址 pwn 环境搭建 可以使用 apt 安装 arm 的动态库…...

    2024/3/13 21:52:02
  19. 红黑树的自我实现

    概念:红黑树是一棵二叉搜索树,每个节点是红色或黑色。通过对每条从根节点到叶子结点路径上的节点的颜色限制,确保没有一条路径长度会超过其他路径长度的两倍,因而是接近平衡的。所以AVL树比红黑树更集中。红黑树的特点:每个节点不是红色就是黑色根节点是黑色的如果一个节点…...

    2024/3/13 21:52:01
  20. C# 运算符的重载(学习心得 21)

    可以重定义或重载 C# 中内置的运算符。 也可以使用用户自定义类型的运算符。 通过关键字 operator 后跟运算符的符号来定义的。 文章目录一、运算法重载的实现二、可重载和不可重载运算符 一、运算法重载的实现 例:重载 + 运算符,把我们需要的对象属性相加 using System;name…...

    2024/3/28 18:50:19

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  1. 实践笔记-harbor搭建(版本:2.9.0)

    harbor搭建 1.下载安装包&#xff08;版本&#xff1a;2.9.0&#xff09;2.修改配置文件3.安装4.访问harbor5.可能用得上的命令: 环境&#xff1a;centos7 1.下载安装包&#xff08;版本&#xff1a;2.9.0&#xff09; 网盘资源&#xff1a;https://pan.baidu.com/s/1fcoJIa4x…...

    2024/3/29 17:26:15
  2. 梯度消失和梯度爆炸的一些处理方法

    在这里是记录一下梯度消失或梯度爆炸的一些处理技巧。全当学习总结了如有错误还请留言&#xff0c;在此感激不尽。 权重和梯度的更新公式如下&#xff1a; w w − η ⋅ ∇ w w w - \eta \cdot \nabla w ww−η⋅∇w 个人通俗的理解梯度消失就是网络模型在反向求导的时候出…...

    2024/3/20 10:50:27
  3. 前端项目(vue3)自动化部署(Gitlab CI/CD)

    天行健&#xff0c;君子以自强不息&#xff1b;地势坤&#xff0c;君子以厚德载物。 每个人都有惰性&#xff0c;但不断学习是好好生活的根本&#xff0c;共勉&#xff01; 文章均为学习整理笔记&#xff0c;分享记录为主&#xff0c;如有错误请指正&#xff0c;共同学习进步。…...

    2024/3/29 1:44:17
  4. 【STL】stack栈容器与list链表容器

    目录 1.栈stack 2.list链表容器 1.栈stack 栈具有先进后出的特性&#xff0c;最先进入的数据压在最底下&#xff0c;最后出来 2.list链表容器 list链表容器是一种双向链表&#xff0c;两端都可插入与删除&#xff0c;是双向访问迭代器&#xff0c;与vertor随机访问迭代器有不…...

    2024/3/25 12:20:13
  5. 【外汇早评】美通胀数据走低,美元调整

    原标题:【外汇早评】美通胀数据走低,美元调整昨日美国方面公布了新一期的核心PCE物价指数数据,同比增长1.6%,低于前值和预期值的1.7%,距离美联储的通胀目标2%继续走低,通胀压力较低,且此前美国一季度GDP初值中的消费部分下滑明显,因此市场对美联储后续更可能降息的政策…...

    2024/3/27 10:21:24
  6. 【原油贵金属周评】原油多头拥挤,价格调整

    原标题:【原油贵金属周评】原油多头拥挤,价格调整本周国际劳动节,我们喜迎四天假期,但是整个金融市场确实流动性充沛,大事频发,各个商品波动剧烈。美国方面,在本周四凌晨公布5月份的利率决议和新闻发布会,维持联邦基金利率在2.25%-2.50%不变,符合市场预期。同时美联储…...

    2024/3/24 20:11:25
  7. 【外汇周评】靓丽非农不及疲软通胀影响

    原标题:【外汇周评】靓丽非农不及疲软通胀影响在刚结束的周五,美国方面公布了新一期的非农就业数据,大幅好于前值和预期,新增就业重新回到20万以上。具体数据: 美国4月非农就业人口变动 26.3万人,预期 19万人,前值 19.6万人。 美国4月失业率 3.6%,预期 3.8%,前值 3…...

    2024/3/29 2:45:46
  8. 【原油贵金属早评】库存继续增加,油价收跌

    原标题:【原油贵金属早评】库存继续增加,油价收跌周三清晨公布美国当周API原油库存数据,上周原油库存增加281万桶至4.692亿桶,增幅超过预期的74.4万桶。且有消息人士称,沙特阿美据悉将于6月向亚洲炼油厂额外出售更多原油,印度炼油商预计将每日获得至多20万桶的额外原油供…...

    2024/3/29 16:26:39
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    原标题:【外汇早评】日本央行会议纪要不改日元强势近两日日元大幅走强与近期市场风险情绪上升,避险资金回流日元有关,也与前一段时间的美日贸易谈判给日本缓冲期,日本方面对汇率问题也避免继续贬值有关。虽然今日早间日本央行公布的利率会议纪要仍然是支持宽松政策,但这符…...

    2024/3/29 5:19:52
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    原标题:【原油贵金属早评】欧佩克稳定市场,填补伊朗问题的影响近日伊朗局势升温,导致市场担忧影响原油供给,油价试图反弹。此时OPEC表态稳定市场。据消息人士透露,沙特6月石油出口料将低于700万桶/日,沙特已经收到石油消费国提出的6月份扩大出口的“适度要求”,沙特将满…...

    2024/3/28 17:01:12
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    原标题:【外汇早评】美欲与伊朗重谈协议美国对伊朗的制裁遭到伊朗的抗议,昨日伊朗方面提出将部分退出伊核协议。而此行为又遭到欧洲方面对伊朗的谴责和警告,伊朗外长昨日回应称,欧洲国家履行它们的义务,伊核协议就能保证存续。据传闻伊朗的导弹已经对准了以色列和美国的航…...

    2024/3/29 11:11:56
  12. 【原油贵金属早评】波动率飙升,市场情绪动荡

    原标题:【原油贵金属早评】波动率飙升,市场情绪动荡因中美贸易谈判不安情绪影响,金融市场各资产品种出现明显的波动。随着美国与中方开启第十一轮谈判之际,美国按照既定计划向中国2000亿商品征收25%的关税,市场情绪有所平复,已经开始接受这一事实。虽然波动率-恐慌指数VI…...

    2024/3/29 1:13:26
  13. 【原油贵金属周评】伊朗局势升温,黄金多头跃跃欲试

    原标题:【原油贵金属周评】伊朗局势升温,黄金多头跃跃欲试美国和伊朗的局势继续升温,市场风险情绪上升,避险黄金有向上突破阻力的迹象。原油方面稍显平稳,近期美国和OPEC加大供给及市场需求回落的影响,伊朗局势并未推升油价走强。近期中美贸易谈判摩擦再度升级,美国对中…...

    2024/3/29 8:28:16
  14. 【原油贵金属早评】市场情绪继续恶化,黄金上破

    原标题:【原油贵金属早评】市场情绪继续恶化,黄金上破周初中国针对于美国加征关税的进行的反制措施引发市场情绪的大幅波动,人民币汇率出现大幅的贬值动能,金融市场受到非常明显的冲击。尤其是波动率起来之后,对于股市的表现尤其不安。隔夜美国股市出现明显的下行走势,这…...

    2024/3/29 7:41:19
  15. 【外汇早评】美伊僵持,风险情绪继续升温

    原标题:【外汇早评】美伊僵持,风险情绪继续升温昨日沙特两艘油轮再次发生爆炸事件,导致波斯湾局势进一步恶化,市场担忧美伊可能会出现摩擦生火,避险品种获得支撑,黄金和日元大幅走强。美指受中美贸易问题影响而在低位震荡。继5月12日,四艘商船在阿联酋领海附近的阿曼湾、…...

    2024/3/24 20:11:18
  16. 【原油贵金属早评】贸易冲突导致需求低迷,油价弱势

    原标题:【原油贵金属早评】贸易冲突导致需求低迷,油价弱势近日虽然伊朗局势升温,中东地区几起油船被袭击事件影响,但油价并未走高,而是出于调整结构中。由于市场预期局势失控的可能性较低,而中美贸易问题导致的全球经济衰退风险更大,需求会持续低迷,因此油价调整压力较…...

    2024/3/29 9:57:23
  17. 氧生福地 玩美北湖(上)——为时光守候两千年

    原标题:氧生福地 玩美北湖(上)——为时光守候两千年一次说走就走的旅行,只有一张高铁票的距离~ 所以,湖南郴州,我来了~ 从广州南站出发,一个半小时就到达郴州西站了。在动车上,同时改票的南风兄和我居然被分到了一个车厢,所以一路非常愉快地聊了过来。 挺好,最起…...

    2024/3/29 0:49:46
  18. 氧生福地 玩美北湖(中)——永春梯田里的美与鲜

    原标题:氧生福地 玩美北湖(中)——永春梯田里的美与鲜一觉醒来,因为大家太爱“美”照,在柳毅山庄去寻找龙女而错过了早餐时间。近十点,向导坏坏还是带着饥肠辘辘的我们去吃郴州最富有盛名的“鱼头粉”。说这是“十二分推荐”,到郴州必吃的美食之一。 哇塞!那个味美香甜…...

    2024/3/24 20:11:15
  19. 氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!

    原标题:氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 啊……啊……啊 两…...

    2024/3/27 7:12:50
  20. 扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!

    原标题:扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客!当行业里的某一品项火爆了,就会有很多商家蹭热度,装逼忽悠,最近火爆朋友圈的医用面膜,被沾上了污点,到底怎么回事呢? “比普通面膜安全、效果好!痘痘、痘印、敏感肌都能用…...

    2024/3/24 20:11:13
  21. 「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜

    原标题:「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜丽彦妆铁皮石斛医用面膜|石斛多糖无菌修护补水贴19大优势: 1、铁皮石斛:自唐宋以来,一直被列为皇室贡品,铁皮石斛生于海拔1600米的悬崖峭壁之上,繁殖力差,产量极低,所以古代仅供皇室、贵族享用 2、铁皮石斛自古民间…...

    2024/3/26 11:21:23
  22. 丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者

    原标题:丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者【公司简介】 广州华彬企业隶属香港华彬集团有限公司,专注美业21年,其旗下品牌: 「圣茵美」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「圣仪轩」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「花茵莳」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「丽彦妆」专注医学护…...

    2024/3/28 18:26:34
  23. 广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!

    原标题:广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM流程及注意事项解读: 械字号医用面膜,其实在我国并没有严格的定义,通常我们说的医美面膜指的应该是一种「医用敷料」,也就是说,医用面膜其实算作「医疗器械」的一种,又称「医用冷敷贴」。 …...

    2024/3/28 12:42:28
  24. 械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?

    原标题:械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?医用眼膜/械字号眼膜/医用冷敷眼贴 凝胶层为亲水高分子材料,含70%以上的水分。体表皮肤温度传导到本产品的凝胶层,热量被凝胶内水分子吸收,通过水分的蒸发带走大量的热量,可迅速地降低体表皮肤局部温度,减轻局部皮肤的灼…...

    2024/3/28 20:09:10
  25. 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...

    解析如下&#xff1a;1、长按电脑电源键直至关机&#xff0c;然后再按一次电源健重启电脑&#xff0c;按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后&#xff0c;按住“winR”打开运行窗口&#xff0c;输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面&#xff0c;选中…...

    2022/11/19 21:17:18
  26. 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。

    %读入6幅图像&#xff08;每一幅图像的大小是564*564&#xff09; f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...

    2022/11/19 21:17:16
  27. 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...

    win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面&#xff0c;在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机&#xff0c;虽然这比较麻烦&#xff0c;但是对系统进行配置和升级…...

    2022/11/19 21:17:15
  28. 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...

    有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows&#xff0c;请勿关闭计算机”的提示&#xff0c;要过很久才能进入系统&#xff0c;有的用户甚至几个小时也无法进入&#xff0c;下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法&#xff1a;我们首先在左下角的“开始…...

    2022/11/19 21:17:14
  29. win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...

    置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题&#xff0c;电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update&#xff0c;请勿关机”(如下图所示)&#xff0c;而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢&#xff1f;一切都是正常操作的&#xff0c;为什么开时机呈现“正…...

    2022/11/19 21:17:13
  30. 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...

    Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示&#xff0c;没过几秒后电脑自动重启&#xff0c;每次开机都这样无法进入系统&#xff0c;此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一&#xff1a;开机按下F8&#xff0c;在出现的Windows高级启动选…...

    2022/11/19 21:17:12
  31. 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...

    有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况&#xff0c;就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机&#xff0c;碰到这样的问题该怎么解决呢&#xff0c;现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法&#xff1a;1、2、依次…...

    2022/11/19 21:17:11
  32. 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...

    今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后&#xff0c;每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面&#xff0c;提示请勿关闭计算机”&#xff0c;每次停留好几分钟才能正常关机&#xff0c;导致什么情况引起的呢&#xff1f;出现配置Windows Update…...

    2022/11/19 21:17:10
  33. 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...

    只能是等着&#xff0c;别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚&#xff0c;只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一&#xff1a;管理员运行cmd&#xff1a;net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...

    2022/11/19 21:17:09
  34. 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?

    原标题&#xff1a;电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办&#xff1f;win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢&#xff1f;一般的方…...

    2022/11/19 21:17:08
  35. 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...

    关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 &#xff0c;然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容&#xff0c;让我们赶快一起来看一下吧&#xff01;关机提示 windows7 正在配…...

    2022/11/19 21:17:05
  36. 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...

    钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...

    2022/11/19 21:17:05
  37. 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...

    前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了&#xff0c;具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面&#xff0c;长时间没反应&#xff0c;无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过&#xff0c;网上搜了不少资料&#x…...

    2022/11/19 21:17:04
  38. 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...

    本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法&#xff0c;并在最后教给你1种保护系统安全的好方法&#xff0c;一起来看看&#xff01;电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中&#xff0c;添加了1个新功能在“磁…...

    2022/11/19 21:17:03
  39. 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...

    许多用户在长期不使用电脑的时候&#xff0c;开启电脑发现电脑显示&#xff1a;配置windows更新失败&#xff0c;正在还原更改&#xff0c;请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢&#xff1f;下面小编就带着大家一起看看吧&#xff01;如果能够正常进入系统&#xff0c;建议您暂时移…...

    2022/11/19 21:17:02
  40. 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...

    配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#xff0c;电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容&#xff0c;让我们赶快一起来看一下吧&#xff01;配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...

    2022/11/19 21:17:01
  41. 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...

    不知道大家有没有遇到过这样的一个问题&#xff0c;就是我们的win7系统在关机的时候&#xff0c;总是喜欢显示“准备配置windows&#xff0c;请勿关机”这样的一个页面&#xff0c;没有什么大碍&#xff0c;但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机&#xff0c;非常…...

    2022/11/19 21:17:00
  42. 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...

    当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时&#xff0c;一般是您正对windows进行升级&#xff0c;但是这个要是长时间没有反应&#xff0c;我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了&#xff0c;来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...

    2022/11/19 21:16:59
  43. 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...

    我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况&#xff0c;当我们打开电脑之后&#xff0c;发现一直停留在一个界面&#xff1a;“配置Windows Update失败&#xff0c;还原更改请勿关闭计算机”&#xff0c;等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢&#xff0…...

    2022/11/19 21:16:58
  44. 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”

    Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...

    2022/11/19 21:16:57