1 初识计算机代数系统Maple

1.1 Maple简说

1980年9月, 加拿大Waterloo大学的符号计算机研究小组成立, 开始了符号计算在计算机上实现的研究项目, 数学软件Maple是这个项目的产品. 目前, 这仍是一个正在研究的项目.

Maple的第一个商业版本是1985年出版的. 随后几经更新, 到1992年, Windows系统下的Maple 2面世后, Maple被广泛地使用, 得到越来越多的用户. 特别是1994年, Maple 3出版后, 兴起了Maple热. 1996年初, Maple 4问世, 1998年初, Maple 5正式发行. 目前广泛流行的是Maple 7以及2002年5月面市的Maple 8.

Maple是一个具有强大符号运算能力、数值计算能力、图形处理能力的交互式计算机代数系统(Computer Algebra System). 它可以借助键盘和显示器代替原来的笔和纸进行各种科学计算、数学推理、猜想的证明以及智能化文字处理.

Maple这个超强数学工具不仅适合数学家、物理学家、工程师, 还适合化学家、生物学家和社会学家, 总之, 它适合于所有需要科学计算的人.

1.2 Maple结构

Maple软件主要由三个部分组成: 用户界面(Iris)、代数运算器(Kernel)、外部函数库(External library). 用户界面和代数运算器是用C语言写成的, 只占整个软件的一小部分, 当系统启动时, 即被装入, 主要负责输入命令和算式的初步处理、显示结果、函数图象的显示等. 代数运算器负责输入的编译、基本的代数运算(如有理数运算、初等代数运算等)以及内存的管理.Maple的大部分数学函数和过程是用Maple自身的语言写成的, 存于外部函数库中. 当一个函数被调用时, 在多数情况下, Maple会自动将该函数的过程调入内存, 一些不常用的函数才需要用户自己调入, 如线性代数包、统计包等, 这使得Maple在资源的利用上具有很大的优势, 只有最有用的东西才留驻内存, 这保证了Maple可以在较小内存的计算机上正常运行. 用户可以查看Maple的非内存函数的源程序, 也可以将自己编的函数、过程加到Maple的程序库中, 或建立自己的函数库.

1.3 Maple输入输出方式

为了满足不同用户的需要, Maple可以更换输入输出格式: 从菜单“Options | Input Display和Out Display下可以选择所需的输入输出格式.

Maple 7有2种输入方式: Maple语言(Maple Notation)和标准数学记法(Standard Math Notation). Maple语言是一种结构良好、方便实用的内建高级语言, 它的语法和Pascal或C有一定程度的相似, 但有很大差别. 它支持多种数据操作命令, 如函数、序列、集合、列表、数组、表, 还包含许多数据操作命令, 如类型检验、选择、组合等. 标准数学记法就是我们常用的数学语言.

启动Maple, 会出现新建文档中的“[>”提示符, 这是Maple中可执行块的标志, 在“>”后即可输入命令, 结束用“;”(显示输出结果)或者“:”(不 显示输出结果). 但是, 值得注意的是, 并不是说Maple的每一行只能执行一句命令, 而是在一个完整的可执行块中健入回车之后,Maple会执行当前执行块中所有命令(可以是若干条命令或者是一段程序). 如果要输入的命令很长, 不能在一行输完, 可以换行输入, 此时换行命令用“shift+Enter”组合键, 而在最后一行加入结束标志“;”或“:”, 也可在非末行尾加符号“\”完成.

Maple 7有4种输出方式: Maple语言、格式化文本(Character Notation)、固定格式记法(Typeset Notation)、标准数学记法(Standard Math Notation). 通常采用标准数学记法.

Maple会认识一些输入的变量名称, 如希腊字母等. 为了使用方便, 现将希腊字母表罗列如下，输入时只需录入相应的英文，要输入大写希腊字母, 只需把英文首字母大写:  

alpha	beta	gamma	delta	epsilon	zeta	eta	theta	iota	kappa	lambda	mu
nu	xi	omicron	pi	rho	sigma	tau	upsilon	phi	chi	psi	omega

有时候为了美观或特殊需要，可以采用Maple中的函数或程序设计方式控制其输出方式，如下例：

> for i to 10 do

printf("i=%+2d and i^(1/2)=%+6.3f", i, eval(sqrt(i)));

od;

i=+1 and i^(1/2)=+1.000i=+2 and i^(1/2)=+1.414i=+3 and i^(1/2)=+1.732i=+4 and i^(1/2)=+2.000i=+5 and i^(1/2)=+2.236i=+6 and i^(1/2)=+2.449i=+7 and i^(1/2)=+2.646i=+8 and i^(1/2)=+2.828i=+9 and i^(1/2)=+3.000i=+10and i^(1/2)=+3.162

+2d的含义是带符号的十进位整数，域宽为2. 显然，这种输出方式不是我们想要的，为了得到更美观的输出效果，在语句中加入换行控制符“\n”即可：

> for i to 10 do

printf("i=%+2d and i^(1/2)=%+6.3f\n", i, eval(sqrt(i)));

od;

i=+1 and i^(1/2)=+1.000

i=+2 and i^(1/2)=+1.414

i=+3 and i^(1/2)=+1.732

i=+4 and i^(1/2)=+2.000

i=+5 and i^(1/2)=+2.236

i=+6 and i^(1/2)=+2.449

i=+7 and i^(1/2)=+2.646

i=+8 and i^(1/2)=+2.828

i=+9 and i^(1/2)=+3.000

i=+10 and i^(1/2)=+3.162

再看下例：将输入的两个数字用特殊形式打印：

> niceP:=proc(x,y)

printf("value of x=%6.4f, value of y=%6.4f",x,y);

end proc;

> niceP(2.4,2002.204);

value of x=2.4000, value of y=2002.2040

1.4 Maple联机帮助

学会寻求联机帮助是掌握一个软件的钥匙. Maple有一个非常好的联机帮助系统, 它包含了90%以上命令的使用说明. 要了解Maple的功能可用菜单帮助“Help”, 它给出Maple内容的浏览表, 这是一种树结构的目录表, 跟有…的词条说明其后还有子目录, 点击这样的词条后子目录就会出现(也可以用Tab键和up, down选定). 可以从底栏中看到函数命令全称, 例如, 我们选graphics…, 出现该条的子目录,从中选2D…, 再选plot就可得到作函数图象的命令plot的完整帮助信息. 一般帮助信息都有实例, 我们可以将实例中的命令部分拷贝到作业面进行计算、演示, 由此可了解该命令的作用.

在使用过程中, 如果对一个命令把握不准, 可用键盘命令对某个命令进行查询. 例如, 在命令区输入命令“?plot”(或help(plot);), 然后回车将给出plot命令的帮助信息, 或者将鼠标放在选定的要查询的命令的任何位置再点击菜单中的“Help”即可.

2 Maple的基本运算

2.1 数值计算问题

算术是数学中最古老、最基础和最初等的一个分支, 它研究数的性质及其运算, 主要包括自然数、分数、小数的性质以及他们的加、减、乘、除四则运算. 在应用Maple做算术运算时, 只需将Maple当作一个“计算器”使用, 所不同的是命令结束时需加“;”或“:”.

在Maple中, 主要的算术运算符有“+”(加)、“–”(减)、“*”(乘)、“/”(除)以及“^”(乘方或幂，或记为**), 算术运算符与数字或字母一起组成任意表达式, 但其中“+”、“*”是最基本的运算, 其余运算均可归诸于求和或乘积形式. 算述表达式运算的次序为: 从左到右, 圆括号最先, 幂运算优先, 其次是乘除，最后是加减. 值得注意的是, “^”的表达式只能有两个操作数, 换言之, 是错误的, 而“+”或“*”的任意表达式可以有两个或者两个以上的操作数.

Maple有能力精确计算任意位的整数、有理数或者实数、复数的四则运算, 以及模算术、硬件浮点数和任意精度的浮点数甚至于矩阵的计算等等. 总之, Maple可以进行任意数值计算.

但是, 任何软件或程序毕竟只是人们进行科学研究的一种必要的辅助, 即便它有很多优点, 但也有它的局限性, 为了客观地认识数学软件、认识Maple, 下面通过两个简单例子予以说明.

第一个简单的数值计算实例想说明Maple数值计算的答案的正确性:  

> 3!!!;

2601218943565795100204903227081043611191521875016945785727541837850835631156947382240678577958130457082619920575892247259536641565162052015873791984587740832529105244690388811884123764341191951045505346658616243271940197113909845536727278537099345629855586719369774070003700430783758997420676784016967207846280629229032107161669867260548988445514257193985499448939594496064045132362140265986193073249369770477606067680670176491669403034819961881455625195592566918830825514942947596537274845624628824234526597789737740896466553992435928786212515967483220976029505696699927284670563747137533019248313587076125412683415860129447566011455420749589952563543068288634631084965650682771552996256790845235702552186222358130016700834523443236821935793184701956510729781804354173890560727428048583995919729021726612291298420516067579036232337699453964191475175567557695392233803056825308599977441675784352815913461340394604901269542028838347101363733824484506660093348484440711931292537694657354337375724772230181534032647177531984537341478674327048457983786618703257405938924215709695994630557521063203263493209220738320923356309923267504401701760572026010829288042335606643089888710297380797578013056049576342838683057190662205291174822510536697756603029574043387983471518552602805333866357139101046336419769097397432285994219837046979109956303389604675889865795711176566670039156748153115943980043625399399731203066490601325311304719028898491856203766669164468791125249193754425845895000311561682974304641142538074897281723375955380661719801404677935614793635266265683339509760000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

上述运算结果在IBM PC机(1G, 128M)上计算只需要0.01秒, 得到如此复杂的结果(1747位), 一个自然的问题是: 答案正确吗？

为了回答这个问题, 我们借助于数值分析方法, 由Stiring公式

可得: , 前三位数字与Maple输出结果相同, 且两者结果均为1747位. 另外, 在720!的计算中, 5的因子的个数为:  

这些5与足够多的2相乘将得到178个0, 而Maple的输出结果中最后178位数为零. 由此, 可以相信Maple结果的正确性.

另一个例子则想说明Maple计算的局限性:  

Maple在处理问题时, 为了避免失根, 从不求算术式的近似值, 分数则化简为既约分数. 因此, 在Maple中很容易得到:  

显然这是错误的. 这一点可以从代数的角度予以分析.

不妨设 , 则 , 即 , 显然 有3个结果, -2是其实数结果.

另一方面, 设 , 则 , 即:

显然 有6个结果, -2、2是其实数结果.

这个简单的例子说明了Maple在数值计算方面绝对不是万能的, 其计算结果也不是完全正确的, 但是, 通过更多的实验可以发现: Maple只可能丢失部分结果, 而不会增加或很少给出完全错误的结果(如上例中Maple的浮点数结果皆为 ). 这一点提醒我们, 在利用Maple或其他任何数学软件或应用程序进行科学计算时, 必须运用相关数学基础知识校验结果的正确性.

尽管Maple存在缺陷(实际上, 任何一个数学软件或程序都存在缺陷), 但无数的事实说明Maple仍然不失为一个具有强大科学计算功能的计算机代数系统. 事实上, Maple同其他数学软件或程序一样只是科学计算的一个辅助工具, 数学基础才是数学科学中最重要的.

2.1.1 有理数运算

作为一个符号代数系统, Maple可以绝对避免算术运算的舍入误差. 与计算器不同, Maple从来不自作主张把算术式近似成浮点数, 而只是把两个有公因数的整数的商作化简处理. 如果要求出两个整数运算的近似值时, 只需在任意一个整数后加“.”(或“.0”), 或者利用“evalf”命令把表达式转换成浮点形式, 默认浮点数位是10 (即: Digits:=10,据此可任意改变浮点数位, 如Digits:=20).

> 12!+(7*8^2)-12345/125;

> 123456789/987654321;

> evalf(%);

> 10!; 100*100+1000+10+1; (100+100)*100-9;

> big_number:=3^(3^3);

> length(%);

上述实验中使用了一个变量“big_number”并用“:=”对其赋值, 与Pascal语言一样为一个变量赋值用的是“:=”. 而另一个函数“length”作用在整数上时是整数的十进制位数即数字的长度. “%”是一个非常有用的简写形式, 表示最后一次执行结果, 在本例中是上一行输出结果. 再看下面数值计算例子:  

    1)整数的余(irem)/商(iquo)

命令格式:  

irem(m,n);        ＃求m除以n的余数

irem(m,n,'q');    ＃求m除以n的余数, 并将商赋给q

iquo(m,n);        ＃求m除以n的商数

iquo(m,n,'r');    ＃求m除以n的商数, 并将余数赋给r

其中, m, n是整数或整数函数, 也可以是代数值, 此时, irem保留为未求值.

> irem(2002,101,'q'); # 求2002除以101的余数, 将商赋给q

> q; #显示q

> iquo(2002,101,'r'); # 求2002除以101的商, 将余数赋给r

> r; ＃显示r

> irem(x,3);

2)素数判别(isprime)

素数判别一直是初等数论的一个难点, 也是整数分解问题的基础. Maple提供的isprime命令可以判定一个整数n是否为素数. 命令格式: isprime(n);

    如果判定n可分解, 则返回false, 如果返回true, 则n“很可能”是素数.

> isprime(2^(2^4)+1);

> isprime(2^(2^5)+1);

上述两个例子是一个有趣的数论难题。形如 的数称为Fermat数, 其中的素数称为Fermat素数, 显然, F₀=3、F₁=5、F₂=17、F₃=257、F₄=65537都是素数.Fermat曾经猜想所有的F_n都是素数, 但是Euler在1732年证明了F₅=641?6700417不是素数. 目前, 这仍是一个未解决的问题, 人们不知道还有没有Fermat素数, 更不知道这样的素数是否有无穷多.

3) 确定第i个素数(ithprime)

若记第1个素数为2，判断第i个素数的命令格式: ithprime(i);   

> ithprime(2002);

> ithprime(10000);

4) 确定下一个较大(nextprime)/较小(prevprime)素数

当n为整数时，判断比n稍大或稍小的素数的命令格式为:  

nextprime(n);

prevprime(n);

> nextprime(2002);

> prevprime(2002);

5) 一组数的最大值(max)/最小值(min)

命令格式: max(x1,x2,…,xn);   #求x₁,x₂,…,x_n中的最大值

             min(x1,x2,…,xn);   #求x₁,x₂,…,x_n中的最小值

> max(1/5,ln(3),9/17,-infinity);

> min(x+1,x+2,y);

6)模运算(mod/modp/mods)

命令格式: e mod m;    # 表达式e对m的整数的模运算

modp(e,m); ＃ e对正数m的模运算

mods(e,m); ＃ e对m负对称数(即 -m)的模运算

`mod`(e,m); # 表达式e对m的整数的模运算, 与e mod m等价

值得注意的是, 要计算i^n mod m(其中i是一整数), 使用这种“明显的”语法是不必要的, 因为在计算模m之前, 指数要先在整数(可能导致一个非常大的整数)上计算. 更适合的是使用惰性运算符“&^”即: i &^n mod m, 此时, 指数运算将由mod运算符智能地处理. 另一方面, mod运算符的左面优先比其他运算符低, 而右面优先高于+和-, 但低于*和/.

> 2002 mod 101;

> modp(2002,101);

> mods(49,100);

> mods(51,100);

> 2^101 mod 2002; # 同 2 &^101 mod 2002;

7)随机数生成器(rand)

命令格式:  

rand( );    ＃随机返回一个12位数字的非负整数

rand(a..b); ＃调用rand(a..b)返回一个程序, 它在调用时生成一个在范围[a, b]内的随机数

> rand();

> myproc:=rand(1..2002):

> myproc();

> myproc();

    注意, rand(n)是rand(0..n-1)的简写形式.

2.1.2 复数运算

复数是Maple中的基本数据类型. 虚数单位i在Maple中用I表示. 在运算中, 数值类型转化成复数类型是自动的, 所有的算术运算符对复数类型均适用. 另外还可以用Re( )、Im( )、conjugate( )和argument( )等函数分别计算实数的实部、虚部、共轭复数和幅角主值等运算.试作如下实验:  

> complex_number:=(1+2*I)*(3+4*I);

> Re(%);Im(%%);conjugate(%%%);argument(complex_number);

值得注意的是上行命令中均以“;”结束, 因此不能将命令中的2个%或3个%(最多只能用3个%)改为1个%, 因为%表示上一次输出结果, 若上行命令改为“,”结束, 则均可用1个%.

为了在符号表达式中进行复数运算, 可以用函数evalc( ), 函数evalc把表达式中所有的符号变量都当成实数, 也就是认为所有的复变量都写成 的形式, 其中a、b都是实变量. 另外还有一些实用命令, 分述如下:  

1) 绝对值函数

命令格式: abs(expr);

当expr为实数时，返回其绝对值，当expr为复数时，返回复数的模.

> abs(-2002);    #常数的绝对值

> abs(1+2*I);   ＃复数的模

> abs(sqrt(3)*I*u^2*v); ＃复数表达式的绝对值

> abs(2*x-5);   ＃函数表达式的绝对值

2)复数的幅角函数

命令格式:   argument(x); ＃返回复数x的幅角的主值

> argument(6+11*I);

> argument(exp(4*Pi/3*I));

3)共轭复数

命令格式:   conjugate(x); ＃返回x的共轭复数

> conjugate(6+8*I);

> conjugate(exp(4*Pi/3*I));

2.1.3 数的进制转换

数的进制是数值运算中的一个重要问题. 而在Maple中数的进制转换非常容易, 使用convert命令即可.

命令格式:   convert(expr, form, arg3, ...);   

其中, expr为任意表达式, form为一名称, arg3, ... 可选项.

下面对其中常用数的转换予以概述. 而convert的其它功能将在后叙章节详述.

    1)基数之间的转换

命令格式:  

convert(n, base, beta);      #将基数为10的数n转换为基数为beta的数

    convert(n, base, alpha, beta);＃将基数为alpha的数字n转换为基数为beta的数

> convert(2003,base,7); #将10进制数2002转换为7进制数, 结果为: (5561)₇

> convert([1,6,5,5],base,7,10); ＃将7进制数5561转换为10进制数

> convert(2002,base,60);       ＃将十进制数2002转换为60进制数, 得33(分钟)22(秒)

   2)转换为二进制形式

命令格式: convert(n, binary);

其功能是将十进制数n转换为2进制数. 值得注意的是, 数可以是正的, 也可以是负的, 或者是整数, 或者是浮点数, 是浮点数时情况较为复杂.

> convert(2002,binary);  

> convert(-1999,binary);

> convert(1999.7,binary);

3)转换为十进制形式

其它数值转换为十进制的命令格式为:  

convert(n, decimal, binary);   #将一个2进制数n转换为10进制数

    convert(n, decimal, octal);    #将一个8进制数n转换为10进制数

    convert(string, decimal, hex); #将一个16进制字符串string转换为10进制数

> convert(11111010010, decimal, binary);   

> convert(-1234, decimal, octal);          

> convert("2A.C", decimal, hex);        

4) 转换为16进制数

将自然数n转换为16进制数的命令格式为: convert(n, hex);  

> convert(2002,hex); convert(1999,hex);

5)转换为浮点数

命令格式: convert(expr, float);

注意, convert/float命令将任意表达式转换为精度为全局变量Digits的浮点数, 且仅是对evalf的调用.

> convert(1999/2002,float);

> convert(Pi,float);