数值线性代数Cholesky分解法解线性方程组MATLAB实现
算法思想
如何利用电子计算机来快速、有效地求解线性方程组是数值线性代数研究的核心问题,而且也是目前人在继续研究的重大课题之一。
Cholesky分解法又叫做平方根法,是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。A是一个对称正定的矩阵,则存在一个对角元均为正数的下三角阵L,使得A=LL’,称为Cholesky分解,而后我们可以由下面三步求解:
(1)计算A的Cholesky分解:A=LL’;
(2)求解Ly=b得y;
(3)求解L’x=y得x。
矩阵创建
function [A,b]=creatMaxtrix(n)T=zeros(n-1,n-1);for i=1:n-1T(i,i)=2;endfor i=1:n-2T(i,i+1)=-1;T(i+1,i)=-1;endI=eye(n-1,n-1);k=(n-1)^2;A=zeros(k,k);b=ones(k,1);j=1;for i=1:n-1A(j:j+n-2,j:j+n-2)=T+2*I;j=j+n-1;endj=1;for i=1:n-2A(j:j+n-2,j+n-1:j+2*n-3)=-I;A(j+n-1:j+2*n-3,j:j+n-2)=-I;j=j+n-1;end
end
该矩阵是一个(n-1)2 阶的矩阵,其具有这样几个特点,
(1)A是块三对角阵,共有五条对角线上有非零元素;
(2)A是不可约对角占优的;
(3)A是对称正定的,而且是稀疏的。
矩阵的形式如下
可通过spy来观察矩阵的分布,一个n=11时的矩阵分布情况如下
Cholesky分解
function []=Cholesky(n)
[A,b]=creatMaxtrix(n);
[n,~]=size(b);
x=A\b;
%Cholesky分解
for k=1:nA(k,k)=sqrt(A(k,k));A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);for j=k+1:nA(j:n,j)=A(j:n,j)-A(j:n,k)*A(j,k);end
end
%计算时将y,x存在b的存储单元里
%解下三角形方程组:前代法
L=tril(A,0);
for j=1:n-1b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);
end
b(n)=b(n)/L(n,n);
%解上三角形方程组:回代法
U=L';
for j=n:-1:2b(j)=b(j)/U(j,j);b(1:j-1)=b(1:j-1)-b(j)*U(1:j-1,j);
end
b(1)=b(1)/U(1,1);
%用二范数来衡量误差
norm(x-b)
总结
运行结果如下
>> Cholesky(11)
ans =1.9304e-14
与Gauss消去法对比,函数中只有对于矩阵的分解部分变动较大。运行结果表明算法的准确性,但是像前一篇文章中所说,由于实际问题的复杂,往往需要考虑更多。
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前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57