如何用matlab来求解简单的微分方程？举例来说明吧。

• 求解三阶常微分方程。我们知道，求解高阶常微分方程可以化为求解一阶常微分方程组。编写函数eq3.m：

%解常微分方程 3*y'''+5*y''+6*sin(t)*y=cost
function ydot = eq3(t,y) 
ydot=[y(2);y(3);(cos(t)-5*y(3)-6*sin(t)*y(1))/3]; 

其中，ydot为一个列向量，值分别表示y‘（1）、y‘（2）、y‘（3）的取值，t自因变量，y为因变量，一个y就可以表示因变量组了。事实上，说白了，这个函数就是申明一下变量使t和y，以及y一阶导的右端项为那三个。
接着，编写主函数如下：

%解常微分方程 3*y'''+5*y''+6*sin(t)*y=cost
[t23,y23]=ode23(@eq3,[0,5],[0,1,3]) 

[0,5]表示自变量（这里是t）取值范围，[0,1,3]表示初始条件，也就是$y_0，y’_0，和y''_0$,计算出来的结果又三列数，分别表示$y，y’，和y''$在[0,5]中的取值。如图：

• 二阶常微分方程
  编写函数eq2.m

function ydot= eq2(t,y)
ydot=[y(2);-3-cos(2*t) + 2*sin(t)+t-3.8]; 

主函数

clc
clear
[t,y]=ode23('eq2',[0,20],[0,1]); 
plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.')

• 求解微分方程，以上matlab内部用的是欧拉折现法，或者是单步法的改进，得不到一个解析解。那么如何求带初值问题的解析解呢？如下：

y=dsolve('D3y-D2y=x','y(1)=8,Dy(1)=7,D2y(1)=4','x') 

一目了然，就不多解释了。

• 方程组解析解，以及带初始条件的解析解。

clc,clear
equ1='D2f+3*g=sin(x)'; 
equ2='Dg+Df=cos(x)'; 
[general_f,general_g]=dsolve(equ1,equ2,'x') 
[f,g]=dsolve(equ1,equ2,'Df(2)=0,f(3)=3,g(5)=1','x') 

• 非齐次线性方程组：

编写vdp1.m

function dy=vdp1(t,y); 
dy=[y(2);(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]; 

主函数：

[T,Y]=ode45('vdp1',[0 20],[2;0]); 
%观察结果。利用plot输出解的结果：
plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'--') 
title('Solution of van der Pol Equation,mu=1');
xlabel('time t'); 
ylabel('solution y'); 
legend('y1','y2');

绘图：

- 求解高阶微分方程
1、编写F.m函数，并保存

 function dy=F(t,y);
dy=[y(2);y(3);3*y(3)+y(2)*y(1)];

2、主函数

[T,Y]=ode45('F',[0 1],[0;1;-1]) %求解y'''-3y'-yy'=0 y(0)=0 y'(0)=1 y''(0)=-1

• 求无初始条件的微分方程的解析通解各项

clc
clear
syms x y 
diff_equ='x^2+y+(x-2*y)*Dy=0'; 
dsolve(diff_equ,'x') 
%求无初始条件的微分方程的解析通解各项

• 求线性系统的解析解并画相图

clc,clear
equ1='Dx1 - x2 = 0'; 
equ2='Dx2 + x1 + 2*x2 =0'; 
%[general_f,general_g]=dsolve(equ1,equ2,'t') 
[x1,x2]=dsolve(equ1,equ2,'x1(0)=1,x2(0)=0','t') 
x1_fun = matlabFunction(x1)
x2_fun = matlabFunction(x2)
t = 0:0.01:100
plot(x1_fun(t),x2_fun(t))
plot(t,x1_fun(t))
hold on;
plot(t,x2_fun(t))
hold off;

好吧，就说这么多了。这里介绍的是matlab内置的算法，知道原理自己动手编也是很快的啦。