MATLAB学习笔记(七)——MATLAB解方程与函数极值
(一)线性方程组求解
包含n个未知数,由n个方程构成的线性方程组为:
其矩阵表示形式为:
其中
一、直接求解法
1、左除法
x=A\b;
如果A是奇异的,或者接近奇异的。MATLAB会发出警告信息的。
2、利用矩阵的分解来求解线性方程组(比单单进行左除速度快)
(1)LU分解(只有方阵可以使用)
LU分解就是分解成一个交换下三角矩阵(也就是说进行一定的操作后才是下三角矩阵)和一个上三角矩阵(不需要变换)的乘积形式。只要A是非奇异的,就可以进行LU分解。
MATLAB提供的LU分解函数对于矩阵进行LU分解:
[L,U]=lu(X); %X必须是方阵
[L,U,P]=lu(X); %PX=LU。X必须是方阵
实现LU分解之后,线性方程组Ax=b的解就为x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)、
(2)QR分解(A是非奇异的)
QR分解就是分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。只要A是非奇异的,就可以进行QR分解。QR只能对方阵进行分解。
[Q,R]=qr(X); %X=QR
[Q,R,E]=qr(X); %XE=QR
实现QR分解之后,解为x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。
(3)Cholesky分解(X是正定的)
如果X是正定的。则将矩阵分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。上三角矩阵为R,下三角矩阵为其转置,X=R’R.
MATLAB进行CHolesky分解方法:
R=chol(X); [R,p]=chol(X); %p=0则为正定矩阵,返回一个R,或者p为一个正整数q=p-1,满足R'R=X(1:q,1:q)
则线性方程组的解为x=R\(R’\b)
二、迭代法求解(求解大型系数矩阵的方程组)
1、Jacobi迭代法
(1)原理解释
对于Ax=b,如果A为非奇异,那么A就可以分解成一个对角阵D,一个下三角阵L和一个上三角阵U,使得A=D-L-U。则
然后得到迭代公式为
如果收敛的话,就可得到方程的解。
(2)MATLAB编程求解(= =,很简单的迭代。但是如果没有解的话,会得到NAN= = )
function [y,n]=jacobi(A,b,x0,eps) %A为系数矩阵,b为向量,x0为初值。if nargin==3 %输入参数至少为3个eps=1.0e-6; elseif nargin<3errorreturn endD=diag(diag(A)); %求A得对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵(没有对主对角线),由于是拆成A=D-L-U,所以前面加了“-”号,下同 U=-triu(A,1); %求A的上三角阵(没有对主对角线)。B=D\(L+U); f=D\b; y=B*x0+f; n=1; %迭代次数while norm(y-x0)>=epsx0=y;y=B*x0+f;n=n+1; end
(3)一个demo
x =0.99580.95790.7916n =11
2、Gauss-Serdel迭代法
(1)原理说明
由于每一次的x都已经算出来了,就没比较再从头算一次了。就是省略了无效的迭代次数,然后我们就得到一个新的迭代公式。
(2)MATLAB编程求解
function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps) %A为系数矩阵,b为列向量,x0为初值。if nargin==3eps=1.0e-6; elseif nargin<3errorreturn endD=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵 U=-triu(A,1); %求A的上三角阵 G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; y=G*x0+f; n=1;while norm(y-x0)>=epsx0=y;y=G*x0+f;n=n+1; end
PS:
使用迭代法,一般只能找到一组解(离初值最近的解)。然后使用迭代法,一定要能收敛才能够使用。
(三)——常微分方程初值问题的数值解法
一般是比较难解出来解析解,所以一般求得离散解就很不错了。
一、龙格——库塔法简介
1、由中值定理可得:
所以,根据上述递推式之后能够计算未知函数y在点,i=0,1,……,n的一列的数值解。
当然,使用的递推公式都会有一个误差累计的问题,所以我们使用龙格——库塔公式:
2、MATLAB封装的龙格——库塔法实现
[t,y]=ode23('fname',tspan,y0); [t,y]=ode45('fname',tspan,y0);
其中,fname是定义f(t,y)的函数文件名,该函数文件必须返回一个列向量。
tspan形式为[t0,tf],表示求解区间。
y0是初始状态列向量。
t,y分别给出求解的相应向量。
然后自己会自动采用步长大小,所以效率还是不错的。
3、demo1
MATLAB编程求解
t0=0;tf=10; y0=2; [t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0); %龙格——库塔法的离散解y1=sqrt(t+1)+1; %精确解plot(t,y,'-b*'); hold on; plot(t,y1,':ro');
红色是精确解,蓝色是离散解,可以得到差距不大。
4、demo2
对于高阶的常微分方程。首先要转换为一阶常微分方程组。即状态方程(上面有两点表示二次导数= =)
令:,则原式化为
MATLAB求解
t0=0;tf=20; x0=[0;0.25]; [t,x]=ode23('funt',[t0,tf],x0)subplot(1,2,1);plot(t,x); subplot(1,2,2);plot(x(:,1),x(:,2));
(四)函数极值
1、MATLAB求解方法
x=fmin('fname',x1,x2); %求单变量函数的最小值 x=fmins('fname',x0); %求多变量函数的最小值
2、没有求最大值的方法,但是我们可以通过求-fmin(-f(x))的方法求最大值
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有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57