20世纪末，很多科学家发现研究过的自然、社会和技术网络中，大都具有这些特征：高度的集群性、不均衡的度分布以及中心节点结构。这些特征的出现不是偶然的，为什么现实世界中的网络会具有这些特征呢？这是网络科学的主要问题，目前基本上已经通过建立网络的发展模型解决了。其中有两类模型被深入地进行了研究，分别是小世界网络和无尺度网络，这里结合原始论文谈谈对小世界网络的认识。

      1998年，邓肯·瓦特和斯托加茨在《自然》杂志上发表了关于小世界网络模型的论文Collectivedynamics of‘small-world’ networks，首次提出并从数学上定义了小世界概念，并预言它会在社会、自然、科学技术等领域具有重要的研究价值。

       所谓小世界网络，就是相对于同等规模节点的随机网络，具有较短的平均路径长度和较大的聚类系数特征的网络模型。以前，人们认为网络分为完全规则网和完全随机网，这两类网络具有各自的特征。规则网具有较大的特征路径长度，聚类系数也较大，而随机网络具有较小的特征路径长度，但是聚类系数较小。难道特征路径长度较大（小）一定伴随着较大（小）的聚类系数？另外，很多现实中的网络如电网，交通网络，脑神经网络，社交网络，食物链等都表现出小世界特性，即具有较小的特征路径长度。

Watt采用一种随机重连边的方法，以探求位于规则网和随机网的中间地带。如图：

  

        规则网有N个节点,每个节点与K个最近邻节点相连（K是偶数）。上图的规则网有20个节点，每个节点与相邻的4个节点互联。然后，对每条边进行以概率P进行随机重连（0<=P<=1）。P=0时对应规则网，P=1时对应完全随机网，通过调整P的值可以得到位于两种网络中间的网络模型，然后探究其特征。

 通过实验并统计网络呈现出的特征，得到下图（归一化处理后）。

          可见，在P较小时(P<0.01)，特征路径长度急剧下降，而聚类系数几乎没有变化。这样，我们发现这些网络具有较短的特征路径长度和较大的聚类系数，我们称其为“小世界网络”。为了验证试验结果的稳定性，作者采用了多种不同的规则网络和随机重连算法进行试验，得到了相同的结果.

       那么为什么会出现这种特征呢？关键是“捷径”的添加。所谓“捷径”，即随机重连过程中添加的长边。如试验中P<0.01时，规则网络中会添加极少量的长边，不仅使长边两端的节点（假定A和B）路径长度变小，而且A节点的和B节点的邻居乃至B的邻居的邻居之间距离都变小了。于此同时，随机重连对网络的聚类系数影响很小，至多是线性减少。于是，P较小时生成的网络具有小世界特征。当P较大时，随着长边的增多，网络的聚类系数开始迅速变小，向完全随机化网络演变。

     在论文中，通过对三个现实中的案例：美国西部的电力网络、电影演员的协作网络、蠕虫的神经网络分析，发现三者都具有小世界特征，如下图。

 

        人们发现在具有小世界特征的动力系统中，信息的传播能力、计算能力等都得到了增强。瓦茨认为;局部行为导致了全局性的结果，而局部动态特性和全局动态特性之间的关系，则主要依赖于网络的结构。在这篇论文中，作者利用人群中传染病的传播、博弈论中合作的演化、元胞自动机的计算能力、耦合相位振子的同步等具有小世界特征的动力系统进行了研究，并对小世界的前途进行了展望。

    为什么很多现实网络具有“小世界特征”？

结合现有假说和自己的理解，可能是以下原因;

1、由于现实的需要，如交流、效率、成本等原因，真实网络中存在着“捷径”。

2、“捷径”的数量与需求相匹配。

3、“捷径”的生成和维护往往需较高的“代价”。

 

附：文中图1的演变规则

任取一节点为起始点，设为A，对其顺时针方向的且与最近邻节点相连的边以概率P随机重连。重复对每个节点执行，直至到最后节点。要求任意2节点最多存在1条边且不能存在到自身的边，如果以P重新选择出现上述情况，则该边不重连。

然后，顺时针对与起始点A长度为2的边以概率P随机重连。对其余节点执行…

然后，顺时针对与起始点A长度为3的边以概率P随机重连。对其余节点执行…

直到所有的原始边别处理一次（规则图中共有NK/2条边，所以rewiring过程在K/2步后停止s）

特征路径长度L

又称为平均路径长度，全局特征量。

网络中任意两点的最短连通路径的边数成为2点的特征路径长度。网络中所有对节点的特征路径长度和的平均值成为网络的特征路径长度。

聚类系数C

局部特征量。

某节点的边数和该节点可构造的最多边数的比值。