五、量子纠错编码

1.编码的背景

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       前面我们讲述了量子密钥分配、量子高密度编码、量子隐形传态等概念及其相关内容，它们都需要传送 qubit 信息，或者需要共同拥有纠缠状态，因此我们需要无失真传送 qubit 信息的量子信道。但是现实中在量子信道上和量子存储设备中，由于各种噪声和量子自身的相干性，极易引发量子信息出错。为了克服由此引发的信息出错，量子信息学引入了经典信息学中的信道编码体系，即通过构造信息状态的自身重复、增加冗余方法达到系统能够自动纠正出错信息的目的，确保信息无误。

2.经典纠错编码

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       首先我们先了解一下经典纠错码的重复码。对于传送比特的信道，在信道中传输时会以一定的概率出现比特错误，比如将比特 1 翻转为 0 ，或将比特 0 翻转为 1 。为了提高传送信息的可信度，我们通过在传送 1 bit 信息时将要传送的信息重复 3 次再发出去（信道编码），也就是按照下面的方式发送信息：

要发送的信息	送往信道的 bit 列
0	000
1	111

       接收者在接收到信道的信息后，必须判断接收的信息是 0 还是 1 ，这个时候只需要数一下接收到的信息中 0 和 1 出现的次数，并采用多数决定法解码，即次数多的一方决定该信息是什么。例如若收到的信息为 {000，001，010，100} 中的某一个，我们就判断该信息为 0 ，若收到的信息属于 {011，101，110，111}，则判定该信息为 1 。通过这种方式可以极大的降低信息传送过程中发生错误的概率。

3.解决bit反转错误的信道编码

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       在量子信道中最容易发生的错误是 bit 反转错误，即一个量子比特 $|0\rangle$ 在信道传输后变成了 $|1\rangle$。与经典的纠错码一样，作为最单纯的编码，考虑将 1 qubit 用 3 qubit 列编码，也就是用以下的方式编码：

qubit	编码
$\vert0\rangle$	$\vert0\rangle\vert0\rangle\vert0\rangle=\vert000\rangle$
$\vert1\rangle$	$\vert1\rangle\vert1\rangle\vert1\rangle=\vert111\rangle$

并且设编码保持线性，即 $|\varphi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 编码后的形式为
$|\varphi\rangle=\alpha|000\rangle+\beta|111\rangle$ 实际的编码器如下图所示：

通过该编码器我们可以发现当输入的状态是 $|0\rangle$ 时，输出 $|000\rangle$ ；若输入状态为 $|1\rangle$ ，输出 $|111\rangle$。

       接收者收到的 qubit 列是以量子状态叠加的方式来表述的：$|x_1x_2x_3\rangle$ ，我们可以测出 $x_1、x_2、x_3$ 中 0 或 1 出现的个数，根据以下的方式进行解码：

接收到的消息	解码结果
$\begin{matrix}\vert000\rangle \\ \vert001\rangle\\\vert010\rangle\\\vert100\rangle\end{matrix}$	$\vert000\rangle$
$\begin{matrix}\vert110\rangle \\ \vert101\rangle\\\vert110\rangle\\\vert111\rangle\end{matrix}$	$\vert111\rangle$

       解码操作是线性的，也就是说如果 $|\varphi\rangle$ 解码为 $D|\varphi\rangle$ ，$|\varphi'\rangle$ 解码成 $D|\varphi'\rangle$ 那么叠加状态 $\alpha|\varphi\rangle+\beta|\varphi'\rangle$ 的解码就转变成由 $D|\varphi\rangle$ 和 $D|\varphi'\rangle$ 决定的叠加状态表示，即
$D(\alpha|\varphi\rangle+\beta|\varphi'\rangle)=\alpha D|\varphi\rangle+\beta D|\varphi'\rangle$
       例如，对于 qubit $|\varphi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ ,我们先对它按上图进行编码，可以得到量子比特列 $\alpha|000\rangle+\beta|111\rangle$ ，将该量子比特列在信道中传输。假设在信道中第二个 qubit 发生了 bit 反转错误，即接受端收到的量子比特列为 $\alpha|010\rangle+\beta|101\rangle$ 。这时我们通过解码可以得到
$D(\alpha|010\rangle+\beta|101\rangle)=\alpha(D|010\rangle)+\beta(D|101\rangle)=\alpha|000\rangle+\beta|111\rangle$ 可以看到通过 D 变换我们就可以得到经过纠正的正确的信道信息。

       实际的 D 解码器如下图所示：

1. 首先假设量子信道不失真，接收到的信息与发送的信息完全相等，接收的信息添加 2 位 qubit 辅助信息后状态如下：
   $(\alpha|000\rangle+\beta|111\rangle)|00\rangle=\alpha|00000\rangle+\beta|11100\rangle$ 将上面的状态依次通过 D 解码器的 4 个控制非门，其状态将顺序发生如下变化：

   通过第几个	通过后的状态
   通过第一个控制非门后	$\alpha\vert00000\rangle+\beta\vert11110\rangle$
   通过第二个控制非门后	$\alpha\vert00000\rangle+\beta\vert11100\rangle$
   通过第三个控制非门后	$\alpha\vert00000\rangle+\beta\vert11101\rangle$
   通过第四个控制非门后	$\alpha\vert00000\rangle+\beta\vert11100\rangle$

   最后的状态 $\alpha\vert00000\rangle+\beta\vert11100\rangle$ 对应于上图中 D 解码器的点线状态，若以状态的最后 2 位 qubit 以 $\{|00\rangle、|01\rangle、|10\rangle、|11\rangle \}$ 为基底进行测量，以概率 $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ 获得 $|00\rangle$ 。

2. 如果信息在传送过程中发生了失真，即若接收到的信息变成了 $\alpha|100\rangle+\beta|011\rangle$ ，再加上 2 位 qubit 辅助信息，其状态变为
   $(\alpha|100\rangle+\beta|011\rangle)|00\rangle=\alpha|10000\rangle+\beta|01100\rangle$ 经过解码器的状态变换过程为：

   通过第几个	通过后的状态
   通过第一个控制非门后	$\alpha\vert10010\rangle+\beta\vert01100\rangle$
   通过第二个控制非门后	$\alpha\vert10010\rangle+\beta\vert01110\rangle$
   通过第三个控制非门后	$\alpha\vert10010\rangle+\beta\vert01111\rangle$
   通过第四个控制非门后	$\alpha\vert10010\rangle+\beta\vert01110\rangle$

   对后两位进行测量，以概率 $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ 获得 $|10\rangle$。以同样的方式对发生在其他位置的 bit 反转错误的状态进行变换，会发现如下的规律：

   对后两位的测定结果	错误的位置
   $\vert00\rangle$	没有发生错误
   $\vert10\rangle$	第一位
   $\vert11\rangle$	第二位
   $\vert01\rangle$	第三位

3. 这样我们就知道当错误发生在不同的位置，其测定的结果就完全不一样，对于接收者，我们可以根据测出的结果在相应的 qubit 位上实施 bit 反转 X - Gate 演算就能够纠正错误。

4.解决位相翻转错误的信道编码

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       在量子比特的信道传输中还有可能发生位相反转错误，即发送端发送的信息 $|\varphi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ ，在接收端变成了 $|\varphi'\rangle=\alpha|0\rangle-\beta|1\rangle$ ，那么只用前面的编码和解码方式是不行的，下面我们来讨论针对这种错误的编码方式。

       在讲述量子逻辑门时我们有一个 Hadamard 变换，即通过酉矩阵对量子的状态做变换，这个酉矩阵为：
$H=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right]$ 显然下面的等式成立：
$H*H=H^2=\frac{1}{2} \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]$ 也就是对一个量子状态连续做两次 H - Gate 变换，实际就是一次恒等变换。

而对于一个发生了位相反转的量子状态 $|\varphi\rangle$，我们可以用 Z - Gate 表示为
$Z|\varphi\rangle=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right]|\varphi\rangle$ 如果我对一个 Z - Gate 进行如下的两次 H - Gate 变换
$HZH=\frac{1}{2}\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right]=X$ 可以看到该 Z - Gate 就变成了 X - Gate ，如果将这种变换应用到量子比特上，就将位相翻转的错误变换成了 bit 翻转错误。

通过上面的讨论，我们可以设计一种这样的编码方式，

1. 对要传送的 qubit $|\varphi\rangle$ 先进行 H - Gate 变换为 $H|\varphi\rangle$ ，将变换后的消息在量子信道上传输，在信道上会发生以下两种情况：

   是否发生位相翻转错误	传输后的状态
   发生了位相翻转	$ZH\vert\varphi\rangle$
   没有发生位相翻转	$H\vert\varphi\rangle$

2. 只考虑位相翻转时，在接收端得到的可能结果就是上面两种情况，接收方对接收到的 qubit 再进行 H - Gate 变换会得到下面两种情况

   是否发生位相翻转错误	再次变换后的状态
   发生了位相翻转	$HZH\vert\varphi\rangle=X\vert\varphi\rangle$
   没有发生位相翻转	$HH\vert\varphi\rangle=\vert\varphi\rangle$

       至此我们发现，如果只考虑位相翻转错误，我们通过上面的两步变换，可以得到两种状态 $X\vert\varphi\rangle$ 和 $\vert\varphi\rangle$ ，通过这种变换，我们就将发生的位相翻转错误转换成了 bit 反转错误。这时我们可以用上面解决 bit 反转错误的编码方式来解决位相反转的错误。具体的操作如下。

1. 在发送端设置如下的编码器
   
2. 在接收端做如下的解码回路

例如，我们要传送的 qubit 为 $\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$，在发送端首先编码为 $\alpha|+++\rangle+\beta|---\rangle$ ，然后将其在信道中传输。我们假设第 2 个 qubit 上发生位相翻转错误，因为：
$Z|+\rangle=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right]=|-\rangle\ \ \ \ Z|-\rangle=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{-1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right]=|+\rangle$ 所以收到的 qubit 列为 $\alpha|+-+\rangle+\beta|-+-\rangle$ ，再对其做 Hadamard 变换：
$H|+\rangle=H(H|0\rangle)=|0\rangle$ $H|-\rangle=H(H|1\rangle)=|1\rangle$ 收到的信息变换为 $\alpha|010\rangle+\beta|101\rangle$ ，再用上面的 bit 反转 D 解码器：
$D(\alpha|010\rangle+\beta|101\rangle)=>\alpha|000\rangle+\beta|111\rangle$ 所以得知发送的 qubit 消息为 $\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 。

5.一般性的量子纠错编码

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       前面我们讨论的都是针对在信道中只发生一种错误的编码方案。这里我们讨论一下对于 bit 反转错误、位相反转错误 和 bit 反转与位相反转同时发生 这三种情况中任意一种发生时的纠错编码方案。

       首先假设 X 为 bit 反转演算、Z 为位相翻转演算，那么 bit 反转和位相反转同时发生时会有两种情况：
$XZ=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right]$ $ZX= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right]$ 这里显然有 $XZ=-ZX$，而 qubit 与其定数倍被认为是同一状态，因此用以上的两种演算作用在同一 qubit 上会得到同一结果状态。这里我们选择 $XZ$ 作为 bit 反转和位相反转同时发生时的演算。

       下面我们讨论对任何一个 qubit 位出现 $X , Z$ 或 $XZ$ 演算中的任何一种错误时，实现纠错编码的方法。

       Shor提出一种被称为 Shor 编码 的方法，它是一种 3 位 qubit 的 bit 反转纠错编码与位相翻转编码的组合编码。具体的编码方式如下：

1. 首先将 qubit 进行 bit 反转纠错编码，得到
   $|0\rangle => |000\rangle$$|1\rangle => |111\rangle$

2. 再将 qubit 按照位相翻转编码方法进行编码
   状态 $|0\rangle$编码得到 $|+++\rangle$：
   $(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}})(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}})(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}})$
   状态 $|1\rangle$编码得到 $|---\rangle$：
   $(\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}})(\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}})(\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}})$

3. 然后再对每一个 qubit 进行 bit 反转纠错编码，得到

          状态 $|+\rangle=(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}})$编码得到$\frac{|000\rangle+|111\rangle}{\sqrt{2}}$
          状态 $|-\rangle=(\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}})$编码得到$\frac{|000\rangle-|111\rangle}{\sqrt{2}}$
   将上面的两种编码组合起来，就可以得到 Shor 编码，即
          状态 $|0\rangle$编码得到:
   $\frac{(|000\rangle+|111\rangle)(|000\rangle+|111\rangle)(|000\rangle+|111\rangle)}{2\sqrt{2}}$
          状态 $|1\rangle$编码得到:
   $\frac{(|000\rangle-|111\rangle)(|000\rangle-|111\rangle)(|000\rangle-|111\rangle)}{2\sqrt{2}}$
   实际的 Shor 编码的编码和解码器如下图所示：
   

下面我们假设在信道上传输通过 Shor 编码的量子信息，当一个 bit 反转错误和一个位相翻转错误同时发生时我们怎么进行订正。例如要发送信息的状态为 $|\varphi\rangle=\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ 。

1. 先将状态转换为 Shor 编码
   $|\varphi\rangle = \frac{\alpha(|000\rangle+|111\rangle)(|000\rangle+|111\rangle)(|000\rangle+|111\rangle)}{2\sqrt{2}}$ $+ \frac{\beta(|000\rangle-|111\rangle)(|000\rangle-|111\rangle)(|000\rangle-|111\rangle)}{2\sqrt{2}}$

2. 将其在量子信道中传输，假设第 1 位 qubit 发生 bit 反转、第 7 位发生位相反转，则接收者收到如下状态的比特列
   $|\varphi'\rangle =\frac{\alpha(|100\rangle+|011\rangle)(|000\rangle+|111\rangle)(|000\rangle-|111\rangle)}{2\sqrt{2}}$ $+\frac{\beta(|100\rangle-|011\rangle)(|000\rangle-|111\rangle)(|000\rangle+|111\rangle)}{2\sqrt{2}}$

3. 首先考虑第 1 位到第 3 位 qubit 的处理，把它们视为三位 qubit 的 bit 纠缠码，利用解码器 D 进行解码可以得到
   $D(|\varphi\rangle'_{1-3})=D(\frac{\alpha(|100\rangle+|011\rangle)}{\sqrt{2}}+\frac{\beta(|100\rangle-|011\rangle)}{\sqrt{2}})$$=\frac{\alpha(|000\rangle+|111\rangle)}{\sqrt{2}}+\frac{\beta(|000\rangle-|111\rangle)}{\sqrt{2}}$
   此时整体的状态变为
   $|\varphi''\rangle = \frac{\alpha(|000\rangle+|111\rangle)(|000\rangle+|111\rangle)(|000\rangle-|111\rangle)}{2\sqrt{2}}$ $+\frac{\beta(|000\rangle-|111\rangle)(|000\rangle-|111\rangle)(|000\rangle+|111\rangle)}{2\sqrt{2}}$
   可以发现已经纠正了第 1 位 qubit 发生的 bit 反转错误。同理，如果在第 4 位到第 6 位的 qubit 或者在第 7 位到第 9 位的 qubit 中发生了 bit 反转，我们同样可以用这种方法来纠正错误。

4. 为了纠正第 7 位的位相反转错误，我们从上面的状态中取出第 1 位、第 4 位和第 7 位三位 qubit 状态，如下所示：
   $\frac{\alpha(|0\rangle+|1\rangle)(|0\rangle+|1\rangle)(|0\rangle-|1\rangle)}{2\sqrt{2}}+\beta\frac{(|0\rangle-|1\rangle)(|0\rangle-|1\rangle)(|0\rangle+|1\rangle)}{2\sqrt{2}}$ 对此状态用状态 $|+\rangle$ 和 $|-\rangle$ 表示可以写成
   $\alpha|++-\rangle+\beta|--+\rangle$ 该状态可以看成是状态 $\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 经过位相翻转编码器编码后在信道中传输，之后发生了位相翻转错误。现在我们将这三位使用位相翻转解码器进行纠错，即可纠正该错误。从而得到最终结果
   $\alpha|000\rangle+\beta|111\rangle$
   从结果状态中取出任意一位 qubit 就能恢复发送信息的原始状态 $\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 。

证明表明，利用 Shor 编码能够订正 qubit 列中至多一位发生的任意量子错误。

6.无需测定的解码回路

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       前面我们讲述了利用 Controlled-NOT-Gate 演算和测量的方法来进行 bit 反转错误的纠正，这样我们不仅需要量子回路，还需要测量和对错误 qubit 位进行反转操作，所以仅仅使用量子演算的机理是不能构成解码器的。下面将讲述仅仅利用量子回路或者量子门电路，不用进行测量就可以进行解码的方法。

       首先我们对 Controlled-NOT-Gate 演算更一般化，改进为 “控制 · 控制非门”（Controlled·Controlled-NOT-Gate）。“控制 · 控制非门” 的意思就是用两位控制一位，也就是 3 输入和 3 输出的量子演算，其量子逻辑回路如下所示：

“控制 · 控制非门” 的量子演算为：
$|x_1x_2x_3\rangle=>|\ x_1x_2((x_1\ AND \ x_2)\oplus x_3)\ \rangle$ 从演算可以看出，$x_1$ 和 $x_2$ 先进行 与 运算，得到的结果再和 $x_3$ 进行控制非门演算，由控制非门的规则可以知道，只有 $x_1 \ AND \ x_2$ 为 1 时，$x_3$ 才会发生改变，因此我们可以得到如下的变化规则：

输入（$\vert x_1x_2x_3\rangle$）	输出 （$\vert x_1x_2x_3\rangle$）
$\vert 000\rangle$ $\vert 001\rangle$ $\vert 010\rangle$ $\vert 011\rangle$ $\vert100\rangle$ $\vert 101\rangle$	$\vert 000\rangle$ $\vert 001\rangle$ $\vert 010\rangle$ $\vert 011\rangle$ $\vert100\rangle$ $\vert 101\rangle$
$\vert 110\rangle$ $\vert 111\rangle$	$\vert 111\rangle$ $\vert 110\rangle$

从上表可以看出，只有第二行的两个输入状态对应的输出状态会发生改变。

       下面我们再来看一个对 bit 反转错误解码回路的改进：

       若发送方发送信息 $|\varphi\rangle = \alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$，和前面一样，还使用 3 qubit 列进行编码，则编为 $\alpha|000\rangle+\beta|111\rangle$ ，如果在信道中第 2 位发生了 bit 反转错误，则接收端收到的状态为 $\alpha|010\rangle+\beta|101\rangle$。

       将接收到的比特列输入上图所示的回路，经过虚线前的几个控制非门时它们状态的变化如下：

第几个逻辑门	经过后的状态
输入	$\alpha\vert\underline010\rangle\vert\underline00\rangle+\beta\vert\underline101\rangle\vert\underline00\rangle$
第一个	$\alpha\vert0\underline10\rangle\vert\underline00\rangle+\beta\vert1\underline01\rangle\vert\underline10\rangle$
第二个	$\alpha\vert0\underline10\rangle\vert1\underline0\rangle+\beta\vert1\underline01\rangle\vert1\underline0\rangle$
第三个	$\alpha\vert01\underline0\rangle\vert1\underline1\rangle+\beta\vert10\underline1\rangle\vert1\underline0\rangle$
第四个	$\alpha\vert010\rangle\vert11\rangle+\beta\vert101\rangle\vert11\rangle$

得到上图虚线处的状态为：
$\alpha|01011\rangle+\beta|10111\rangle=(\alpha|010\rangle+\beta|101\rangle)|11\rangle$ 辅助 qubit 对的状态变成了 $|11\rangle$。同理我们可以验证在不同位置发生错误时，辅助 qubit 对的错误如下所示：

错误发生的位置	辅助 qubit 的状态
没有错误	$\vert00\rangle$
第一位发生错误	$\vert10\rangle$
第二位发生错误	$\vert11\rangle$
第三位发生错误	$\vert01\rangle$

在上图的虚线后面有一个 “控制 · 控制非门” 的量子演算，根据演算规则和上面的推断，我们可以发现，如果在传输过程中第二位发生了错误，那么会让辅助位状态变为 $|11\rangle$ 再经过 “控制 · 控制非门” ，就会让第二位发生 bit 反转，从而实现对错误的回路更正。我们就可以根据上面的三个 qubit 对来获得传送的正确信息。同时我们还能发现，如果是其他位发生了 bit 反转，整个回路的输出保持原样。这就是 可以订正第 2 位 qubit 发生错误的回路。

       下面我们再来看看 可以订正第 1 位 qubit 发生错误的回路，其回路图如下所示：

从上面辅助 qubit 对的状态我们可以知道，当第一位发生错误时，辅助 qubit 对的状态为 $|10\rangle$ ，现在我们用上面虚线后面的逻辑门进行演算，从而实现对第一位的 qubit 进行 bit 反转。

       第三位 qubit 发生错误时，辅助 qubit 的状态为 $|01\rangle$，类比于第一位发生错误的情况，我们可以在订正第一位错误的回路上做一些改变就可以实现。

       另外，当我们实际进行解码时，并不需要将传送来的信息编码复原，我们利用多位编码是保证传送到接收者时利用三位复原，我们只要保证某一位一定是正确的就可以得到正确的信息。例如，对于第二位 qubit 错误进行订正的回路中，我们一定可以得到第二位的信息是正确的，所以可以判断第二位 qubit 的信息就是原信息。