平稳时间序列模型的统计性质

1、AR模型的统计性质；2、MA模型的统计性质；3、ARMA模型的统计性质
统计性质包括5个：（1）均值；（2）方差；（3）协方差；（4）自相关系数；（5）偏自相关系数。

ARMA模型的相关性特征：

1、AR模型的统计性质

（1）均值
如果AR§模型满足平稳，均值为常数。


（2）方差
求解思路：首先把序列转化为传递形式，再求解方差；不能直接求解，把序列变成白噪声的线性组合，因为白噪声的很多统计性质是已知的。
传递形式的目的：把AR模型对应的时间序列表示成关于白噪声的线性相关组合形式；传递形式里面包括Green函数，Green函数的原理包括原始模式以及期待形式，用待定系数法进行求解，其中白噪声互不相关，并且需要满足同方差假定。
（3）协方差
两种求解协方差（方差）的方式：

• 利用AR§模式的传递形式来求；
• 利用自协方差函数之间的递推函数来求。
  （4）自相关系数
  自相关系数的定义：
  
  求解方法：
  1.用自相关系数的定义结合自协方差函数可以求解；
  2.基于传递形式直接求解自相关系数；
  3.基于自相关系数的递推公式求解。
  自相关系数有拖尾性，原因是该序列值所对应过去时刻的序列值都会影响它。
  自相关图里拖尾的原因有两个：
• 用样本估计总体参数时有误差；
• 本身自相关系数具有拖尾性，不恒等于0。

（5）偏自相关系数
定理：零均值平稳序列为AR§序列的充要条件是平稳序列的偏自相关系数P步截尾。
求解方法：
基于Yule-Walker方程组以及行列式来求解；
利用偏自相关系数递推公式来求解。

2、MA模型的统计性质

（1）均值
常数均值。
（2）方差
常数方差，利用白噪声项互不相关的假定。
（3）协方差
基于自协方差函数的定义，直接利用模型表达式来求。
（4）自相关系数
自相关系数以及自协方差的计算相同，都是基于白噪声的序列以及假定来计算的。
自协方差函数、自相关系数q阶截尾，自协方差函数只与时间间隔有关。
不同的MA（1）模型，相同的自相关系数，也就是说自相关系数具有非唯一性，自相关系数和模型之间不是一一对应的关系，为了解决这个问题，增加一个约束条件，而这个约束条件是模型的可逆条件，这就形成了一一对应关系，一个自相关系数与可逆MA模型一一对应。
（5）偏自相关系数

• 基于Yule-Walker方程和克莱姆法则求解；
• 首先求出自相关系数，然后基于偏自相关系数递推公式求解。
  偏自相关系数具有拖尾性

3、ARMA模型的统计性质

ARMA模型生成的序列的统计性质：均值、自协方差、自相关系数以及偏自相关系数的计算均可参考AR和MA模型的情形。
ARMA（p,q）传递形式（平稳条件）与逆转形式（可逆条件），即无穷阶MA模型与无穷阶AR模型。
ARMA模型相关性特征：