谱分析——连续傅里叶变换
傅里叶变换(连续谱)
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部分内容摘录自Wiki
主要内容
- 连续傅里叶变换
- 连续傅里叶变换的性质
连续傅里叶变换
傅里叶变换源自对傅里叶技术的研究。在对傅里叶级数的研究中,复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦、余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展,由它表示的周期函数趋近于无穷。(即非周期函数)
1 推导
- 在之前提到过,对于一个周期为 的周期函数 ,假若它满足狄利克雷条件,那么它就可以展开为傅里叶级数其中。
- 对于一般的非周期函数,我们可以认为它的周期为无穷大,即 ,此时将会有 ,此时的频谱将会非常的稠密。即
- 将(1-1)式进行化简,有
令即有显然,(1-2)满足定积分的定义式1 - 令,当积分存在时,有
- 同理,当积分存在时,有
2 定理
- 若 在无限区间 上有:
则有其中 - (1-2-1a)称为的傅里叶正变换, 称为 的象函数,记作 。
- (1-2-1b)称为的傅里叶逆变换,称为的象原函数,记作。
3 解释
- 与周期函数展开成傅里叶级数的本质相同,傅里叶变换也是将函数在时域和频域之间进行转换,其中对应了在时域中函数的模型,则对应了在频域中的模型。
- 由于,因此在频域中是连续的,而不是若干个狄拉克函数的线性组合。
- 可以将傅里叶变换看作是傅里叶展开的拓展情况。
- 因为公式中带有了,因此可以使用复平面的思路来理解傅里叶变换:把看作是角速度为的逆时针旋转轨迹,乘上后则变成了一个由决定的周期旋转轨迹。积分看作是把轨迹上所有的点进行累加。当旋转轨迹比较杂乱的时候,对应着较小(因为在这时可以看作轨迹中的点平均分布在复平面原点周围,因此它们将会相互抵消);当旋转轨迹比较规则的时候,会变得极大。
连续傅里叶变换的性质
傅里叶具有着许多优良的性质,这些性质使得它在工程中被广泛应用。2
1 线性性质
- 两个函数的傅里叶变换等于各自变换之和,即
1.1 证明
- 假设函数和的傅里叶变换和存在,和为任意常数,有:同理
- 因此有
1.2 拓展
- 傅里叶变换算符有着线性性质,因此具有线性代数里面的一点特征:如。
2 平移性质
- 若函数 存在傅里叶变换,则对任意实数 ,函数也存在傅里叶变换,且有
2.1 证明
- 对于函数,有
2.2 拓展
- 容易得到傅里叶变换的另一种平移性质
3 伸缩性质
3.1 证明
- 由积分区间的对称性可得
4 微分性质
- 如果在上连续或只有有限个可去间断点,且当时,,则
4.1 证明
(1) 由在复平面的函数求导等于原方程乘以可以得出。
(2)
4.2 拓展
- 由(1)可得
- 对求导,有一般地,有
5 积分性质
- 如果当时,,则有
5.1 证明
(1)由在复平面的函数积分等于原方程乘以得出。
(2) 由微分性质可得所以有移项后得到
6 卷积性质
6.1 卷积
- 卷积是一种通过两个函数和生成第三个函数的一种算子,表征函数与经过翻转和平移的的乘积函数所围成的曲边梯形面积。
- 对于R上可积函数与,其卷积为
6.2 数学表达
6.3 解释
- 从(2-6-1a)可以看出,时域卷积在频域中表示为频域相乘。从(2-6-1b)可以看成,频域卷积能够表示为时域相乘。使用这种性质,可以制作出一些保留特定频率的滤波器;在卷积神经网络中的卷积层也是运用了这种思想来提取图像中特定的特征。
这里只是为了直观对比而进行了简化,实际上积分的定义有着非常复杂和严谨的过程! ↩︎
在这里使用了和两种表述,前者为傅里叶变换后的象函数,后者为傅里叶变换运算符,不严谨的来讲在某些地方两者表达的是同一个内容,因此在这里可能会出现混用的情况。 ↩︎
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钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57