《统计预测与决策》第五版_徐国祥

一、干预分析模型

干预的含义：
时间序列经常会受到特殊事件及态势的影响，诸如国内经济政策或经济规则的变更、国际政治局势的骤变，以及节假日、罢工、贱卖、促销之类事件的影响等。

干预分析广泛用于描述经济政策的变化或突发事件对经济环境、经济过程或结果的具体影响的定量分析。

研究干预分析的目的：从定量分析的角度来评估政策干预或突发事件对经济环境和经济过程的具体影响。

一般来讲，干预分析模型是与时间序列模型结合起采进行研究的。

干预分析模型所要解决的问题：在干预事件发生后，序列是否存在任何事实上的变化？若有影响，其影响程度又如何？

干预分析模型是传递函数模型的一种推广，当不存在干预影响时，这两种模型没有本质上的区别。由传递函数发展到干预分析的过程，类似于从多元回归分析发展到虚拟变量的应用。

干预分析与回归分析中虚拟变量之间的主要差别是：前者为动态模型，后者为静态模式；前者是一个过程，后者是单个或多个变量。因此，干预分析模型的研究，无论从内容上还是方法上，都要比虚拟变量复杂得多。

二、干预分析模型的基本形式

（1）干预变量形式

干预分析模型的基本变量是干预变量，有两种常见的干预变量。

• 持续性的干预变量，表示 T 时刻发生以后, 一直有影响，这时可以用阶跃函数表示,形式是：
  $S_{t}^{T}=\left\{ \begin{array}{c}0,\ \text{干预事件发生之前\ }t<T\\1,\ \text{干预事件发生之后\ }t\ge T\\ \end{array} \right.$

• 短暂性的干预变量，表示在某时刻发生, 仅对该时刻有影响, 用单位脉冲函数表示，形式是：
  $P_t^T=\left\{ \begin{array}{l}0\text{，干预事件发生时\ }t=T\\1\text{，其他时间\ }t\ne T\\ \end{array} \right.$

（2）干预事件形式

不管经济系统如何受到多种干预的影响，也不管这些影响是多么复杂，都可以用这四种形式或者是它们的某种组合来表示。同时，也可以用这种组合去模拟多个干预事件所产生的影响。

• 干预事件的影响突然开始，长期持续下去

设干预对因变量的影响是固定的，从某一时刻T开始，但影响的程度是未知的，即因变量的大小是未知的。这种影响的干预模型可写为：
$Y_t=\omega S_{t}^{T}$ω 表示干预影响强度的未知参数。$Y_t$ 不平稳时可以通过差分化为平稳序列，则干预模型可调整为：
$\left( 1-B \right) Y_t=\omega S_{t}^{T}$其中，B为后移算子。如果干预事件要滞后若干个时期才产生影响，如 b 个时期，那么，干预模型可进一步调整为

$Y_t=\omega B^bS_{t}^{T}$

• 干预事件逐渐开始，长期持续下去

有时候干预事件突然发生，并不能立刻产生完全的影响，而是随着时间的推移，逐渐地感到这种影响的存在。这种形式的最简单情形的模型方程为：
$Y_t=\frac{\omega B}{1-\delta B}S_{t}^{T}\text{，}0<\delta <1$更一般的模型是 ：

$Y_t=\frac{\omega B^b}{1-\delta _1B-\cdots -\delta _rB^r}S_{t}^{T}\text{，}0<\delta <1$

• 干预事件突然开始，产生暂时的影响
  $Y_t=\frac{\omega B^b}{1-\delta B}P_{t}^{T}\text{，}0<\delta <1$

当 $\delta =0$ 时，干预的影响只存在一个时期
当 $\delta =1$ 时，干预的影响将长期存在

• 干预事件逐渐开始，产生暂时的影响

干预的影响逐渐增加，在某个时刻到达高峰，然后又逐渐减弱以至消失。这类干预现象可用以下模型描绘：

$Y_t=\frac{\omega _0}{1-\delta _1B-\cdots -\delta _rB^r}P_{t}^{T}$

综上，当选择恰当的干预变量后，干预分析模型可以较好的反映经济变量的波动情况。

三、单变量干预分析模型的识别与估计

单变量时间序列的干预模型，就是在时间序列模型中加进各种干预变量的影响。

（1）干预模型的构造

干预分析模型的主要目的是为了测度干预效应，就干预变量而言，剔除了干预影响后的序列，可以看作普通的时间序列。

设平稳化后的单变量序列满足下述模型：
$y_t=\frac{\theta \left( B \right)}{\phi \left( B \right)}a_t$又设干预事件的影响为：
$Z_t=\frac{\omega \left( B \right)}{\delta \left( B \right)}I_{t}^{T}$
其中 $I_{t}^{T}$ 为干预变量，它等于 $S_{t}^{T}$ 或 $P_{t}^{T}$ ，则单变量序列的干预模型为 ：$y_t=\frac{\omega \left( B \right)}{\delta \left( B \right)}I_{t}^{T}+\frac{\theta \left( B \right)}{\phi \left( B \right)}a_t=\psi \left( B \right) I_{t}^{T}+\varepsilon _t$这里：$\psi \left( B \right) =\frac{\omega \left( B \right)}{\delta \left( B \right)}\text{，}\varepsilon _t=\frac{\theta \left( B \right)}{\phi \left( B \right)}a_t$
在此模型的基础上，要根据序列变化的现实资料，对$\psi \left( B \right) \text{，}\frac{\theta \left( B \right)}{\phi \left( B \right)}$ 进行识别

（2）干预效应的识别

在对实际数据进行干预分析的过程中，一个主要的困难是，观察到的序列现实值是受到了干预变量影响的数据，不能保证自相关函数与偏自相关函数所反映的ARIMA模型是真实的。

两种应对方法

• 根据序列的具体情况和干预变量的性质进行识别

确定干预变量的影响是短暂的还是长期的，需要进行具体的识别工作。

利用干预变量产生影响之前或干预影响过后，也就是消除了干预影响或没有干预影响的净化数据，计算出自相关函数与偏自相关函数。首先识别ARIMA模型中的p和q，然后估计出 $\theta \left( B \right) \text{，}\phi \left( B \right)$ 中的参数。

假定
$\left\{ \begin{array}{l}\phi \left( B \right) =1-\phi _1\left( B \right)\\\\\theta \left( B \right) =1-\theta _1\left( B \right)\\ \end{array} \right.$
假定干预模型的模式为 ：
$\frac{\omega \left( B \right)}{\delta \left( B \right)}I_{t}^{T}=\frac{\omega _0}{1-\delta B}S_{t}^{T}$ 那么，组合这两个模型，便得到单变量序列的干预分析模型：
$y_t=\frac{\omega _0}{1-\delta _1B}S_{t}^{T}+\frac{1-\theta _1B}{1-\phi _1B}a_t$

• 已知干预影响的情形

假定在模型识别之前，对干预的影响已很清楚，以至于通过数据分析，能够确定干预变
量的影响部分$\frac{\omega \left( B \right)}{\delta \left( B \right)}$， 并估计出这部分的参数，然后计算出残差序列：
$\varepsilon _t=\text{y}_t-\frac{\hat{\omega}\left( B \right)}{\hat{\delta}\left( B \right)}I_{t}^{T}$这个序列 $\varepsilon _t$ 是一个消除了干预变量影响的序列，可计算出它的自相关与偏自相关函数，从而识别出ARIMA模型的阶数。

四、干预模型建模步骤

• 利用干预影响产生前的数据，建立单变量的时间序列模型。然后利用此模型进行外推预测，得到的预测值，作为不受干预影响的数值。

• 将实际值减去预测值，得到受干预影响的具体结果，利用这些结果求估干预影响的参数。

• 利用排除干预影响后的全部数据，识别与估计出一个单变量的时间序列模型。

• 求出总的干预分析模型。