一个例子

求方程$y^{\prime \prime}+y=0$的通解。
设方程的解为如下幂级数形式
$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\tag{1}$

代入方程，得$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}+\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=0\tag{2}$重新整理得
$\sum_{n=0}^{\infty}\left((n+2)(n+1) a_{n+2}+a_{n}\right) x^{n}=0\tag{3}$

要使等式相等，则上式中$x$各次幂的系数均为零。则有$a_{n+2}=-\frac{a_{n}}{(n+2)(n+1)}, \quad n=0,1,2, \ldots\tag{4}$

  由式可知，奇数和偶数项系数是各自成列的。具体的，对于偶数项系数有
$a_{0}, \quad a_{2}=-\frac{1}{2} a_{0}, \quad a_{4}=-\frac{1}{4 \cdot 3} a_{2}=\frac{1}{4 !} a_{0}\tag{5}$

对于奇数项系数有
$a_{1}, \quad a_{3}=-\frac{1}{3 \cdot 2} a_{1}, \quad a_{5}=-\frac{1}{5 \cdot 4} a_{3}=\frac{1}{5 !} a_{1}\tag{6}$

则幂级数解为
$\begin{aligned} y(x) &=a_{0}\left(1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\ldots\right)+a_{1}\left(x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\ldots\right) \\ &=a_{0} \cos x+a_{1} \sin x \end{aligned}\tag{7}$

  这与解析方法得到的结果是一致的。
注：幂级数解的核心就是待定系数。