一、关于卡特兰数

卡特兰数是一种经典的组合数,经常出现在各种计算中,其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

二、卡特兰数的一般公式

卡特兰数满足以下性质:

令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式。h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2)。也就是说,如果能把公式化成上面这种形式的数,就是卡特兰数。

当然,上面这样的递推公式太繁琐了,于是数学家们又求出了可以快速计算的通项公式。h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,…)。这个公式还可以更简单得化为h(n)=C(2n,n)/(n+1)。后一个公式都可以通过前一个公式经过几步简单的演算得来,大家可以拿起笔试试,一两分钟就可以搞定。

三、卡特兰数的应用

卡特兰数经常出现在OI以及ACM中,在生活中也有广泛的应用。下面举几个例子。

1、进出栈问题:栈是一种先进后出(FILO,First In Last Out)的数据结构.如下图1,1,2,3,4顺序进栈,那么一种可能的进出栈顺序是:1In→2In→2Out→3In→4In→4Out→3Out→1Out, 于是出栈序列为1,3,4,2。

那么一个足够大的栈的进栈序列为1,2,3,⋯,n时有多少个不同的出栈序列?

我们可以这样想,假设k是最后一个出栈的数。比k早进栈且早出栈的有k-1个数,一共有h(k-1)种方案。比k晚进栈且早出栈的有n-k个数,一共有h(n-k)种方案。所以一共有h(k-1)*h(n-k)种方案。显而易见,k取不同值时,产生的出栈序列是相互独立的,所以结果可以累加。k的取值范围为1至n,所以结果就为h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0)。

出栈入栈问题有许多的变种,比如n个人拿5元、n个人拿10元买物品,物品5元,老板没零钱。问有几种排队方式。熟悉栈的同学很容易就能把这个问题转换为栈。值得注意的是,由于每个拿5元的人排队的次序不是固定的,所以最后求得的答案要n!。拿10元的人同理,所以还要n!。所以这种变种的最后答案为h(n)*n!*n!。

2、二叉树构成问题。有n个结点,问总共能构成几种不同的二叉树。

我们可以假设,如果采用中序遍历的话,根结点第k个被访问到,则根结点的左子树有k-1个点、根结点的右指数有n-k个点。k的取值范围为1到n。讲到这里就很明显看得出是卡特兰数了。这道题出现在2015年腾讯实习生的在线笔试题中。

3、凸多边形的三角形划分。一个凸的n边形,用直线连接他的两个顶点使之分成多个三角形,每条直线不能相交,问一共有多少种划分方案。

这也是非常经典的一道题。我们可以这样来看,选择一个基边,显然这是多边形划分完之后某个三角形的一条边。图中我们假设基边是p1pn,我们就可以用p1、pn和另外一个点假设为pi做一个三角形,并将多边形分成三部分,除了中间的三角形之外,一边是i边形,另一边是n-i+1边形。i的取值范围是2到n-1。所以本题的解c(n)=c(2)*c(n-1)+c(3)*c(n-2)+…c(n-1)*c(2)。令t(i)=c(i+2)。则t(i)=t(0)*t(i-1)+t(1)*t(i-2)…+t(i-1)*t(0)。很明显,这就是一个卡特兰数了。

4、有n+1个叶子的满二叉树的个数?事实上,向左记为+1,向右记为−1,按照向左优先的原则,从根节点开始遍历.例如第一个图记为+1,+1,+1,−1,−1,−1,于是由卡特兰数的含义可得满二叉树的个数为Cn。

5、在n*n的格子中,只在下三角行走,每次横或竖走一格,有多少中走法?其实向右走相当于进栈,向左走相当于出栈,本质就是n个数出栈次序的问题,所以答案就是卡特兰数。(利用这个模型,我们解决这个卡特兰问题的变形问题,并顺便给进出栈问题的解法一个几何解释.)

6、将一个凸n+2边形区域分成三角形区域的方法数?(答案卡特兰数)

解 先介绍两个关于卡特兰数Cn的小引理,将问题一中的+1和−1分别看成左括号和右括号,我们得到

引理一 由nn对括号形成的合法括号表达式的个数为C.

比如n=3时,所有合法的括号表达式有 ?(())),(())(),()(()),()()(),(()()),共5个.

考虑n+1个数相乘,不同的相乘顺序的数目.我们可以给出每一个合法的括号表达式和一种可能的相乘顺序的对应方式.如n=3时,先取44个数a,b,c,d,然后在第一个数下设一个指针,将一个左括号看成是指针右移一格,而将右括号看成是将指针当前指向的数与其左侧的一个数作乘积,并删除左侧的那个数,那么当执行完括号表达式,就得到了一种可能的相乘顺序,如图.

这样我们就从引理一出发得到了

引理二 n+1个数连乘,不同的乘法顺序数为Cn.

注 这样也是RPN模式的计算机的工作模式,可以无需括号完成计算,从而节省按键的次数.这种计算器在财务计算中大量使用,如图.接下来解决卡特兰问题,用1,2,3,⋯,n+2标记凸n+2边形的边,从标记为1的边的起点(按逆时针方向)开始按未标记的对角线均为向外标记方向,如图.(分别标记边和对角线)进而,逆时针读图,将出的箭头读为左括号,进的箭头读为右括号,就得到了剖分方式与连乘顺序的对应.上图中的两个图对应的连乘顺序表达式分别为 :1((2(34))5)6,(1(23))(45)6,
抛开6不计,每个连乘顺序表达式实际上就是规定了n+1个数连乘时,不同的乘法顺序,根据引理一,得到剖分方式的总数为Cn。

7、在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?和凸包切割一个原理。(答案卡特兰数)

为了解决这个问题,我们重新解释卡特兰数的推导方式.先解决下面的辅助问题:(+1表示向左,-1表示向右)圆周上有2n+1个点,其中n+1个点上标“+1”,n个点上标“−1”,如果可以找到某个标有“+1”的点作为起点,当顺时针沿圆周前进时将所遇到的点(包括起点)上标的数相加得到的和始终为正数,就称这种标记法是好标记法.求好标记法的总数(注意考虑圆排列).辅助问题的解 对于任何一种标记法,我们将顺时针相邻的“+1”“−1”(指顺时针前进时先遇到“+1”后遇到“−1”)同时抹去,可以证明抹去的前后对标记法的好坏没有影响.不停的重复这一过程,则最后只剩一个标有“+1”的点,显然此时标记法为好的.因此所有的标记法都是好标记法,显然其数目为 (1/2n+1)C(2n+1,n)-(1/n+1)C(2n,n)问题的解 通过对辅助问题的进一步探索可知,每一种将圆周上2n+1个点标记为n+1个+1点,和n个−1点的方法唯一确定一个顺时针前进的方案(即起点).我们将这个起点删去,剩下的2n个点在顺时针方向上一定为“+1”“−1”“+1”“−1”,…,此时将顺时针相邻的这些“+1”“−1”点用弦连接起来,就得到互不相交的n条弦.这样我们就建立了从好标记法到弦的连法的单射.反过来,如果我们有了一种弦的连法,就可以从某条弦的端点出发顺时针前进,对每条弦的两个端点都是先遇到的端点标上“+1”,后遇到的端点标上“−1”,然后在最后回到出发点时添上一个标有“+1”的点.这样我们就建立了从弦的连法到好标记法的单射.

综上,所求的不同连法数为(1/n+1)C(2n,n).

7、n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数?把包含左上角的矩形去掉,就很容易由递推公式二推得所有填充方法数就是卡特兰数。
代码实现:

int main()
{ios::sync_with_stdio(false);long long Catalan[100],ans;//范围自行高精度或者取模int n;Catalan[0] = 1;for(int i = 1;i < n;++i) Catalan[i] = Catalan[i - 1] * i;while(cin >> n){ans = Catalan[n << 1] / (Catalan[n] * Catalan[n + 1]);cout << ans << endl;}return 0;
}
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    原标题:扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客!当行业里的某一品项火爆了,就会有很多商家蹭热度,装逼忽悠,最近火爆朋友圈的医用面膜,被沾上了污点,到底怎么回事呢? “比普通面膜安全、效果好!痘痘、痘印、敏感肌都能用…...

    2024/3/24 20:11:13
  21. 「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜

    原标题:「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜丽彦妆铁皮石斛医用面膜|石斛多糖无菌修护补水贴19大优势: 1、铁皮石斛:自唐宋以来,一直被列为皇室贡品,铁皮石斛生于海拔1600米的悬崖峭壁之上,繁殖力差,产量极低,所以古代仅供皇室、贵族享用 2、铁皮石斛自古民间…...

    2024/3/26 11:21:23
  22. 丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者

    原标题:丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者【公司简介】 广州华彬企业隶属香港华彬集团有限公司,专注美业21年,其旗下品牌: 「圣茵美」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「圣仪轩」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「花茵莳」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「丽彦妆」专注医学护…...

    2024/3/28 18:26:34
  23. 广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!

    原标题:广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM流程及注意事项解读: 械字号医用面膜,其实在我国并没有严格的定义,通常我们说的医美面膜指的应该是一种「医用敷料」,也就是说,医用面膜其实算作「医疗器械」的一种,又称「医用冷敷贴」。 …...

    2024/3/28 12:42:28
  24. 械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?

    原标题:械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?医用眼膜/械字号眼膜/医用冷敷眼贴 凝胶层为亲水高分子材料,含70%以上的水分。体表皮肤温度传导到本产品的凝胶层,热量被凝胶内水分子吸收,通过水分的蒸发带走大量的热量,可迅速地降低体表皮肤局部温度,减轻局部皮肤的灼…...

    2024/3/28 20:09:10
  25. 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...

    解析如下&#xff1a;1、长按电脑电源键直至关机&#xff0c;然后再按一次电源健重启电脑&#xff0c;按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后&#xff0c;按住“winR”打开运行窗口&#xff0c;输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面&#xff0c;选中…...

    2022/11/19 21:17:18
  26. 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。

    %读入6幅图像&#xff08;每一幅图像的大小是564*564&#xff09; f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...

    2022/11/19 21:17:16
  27. 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...

    win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面&#xff0c;在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机&#xff0c;虽然这比较麻烦&#xff0c;但是对系统进行配置和升级…...

    2022/11/19 21:17:15
  28. 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...

    有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows&#xff0c;请勿关闭计算机”的提示&#xff0c;要过很久才能进入系统&#xff0c;有的用户甚至几个小时也无法进入&#xff0c;下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法&#xff1a;我们首先在左下角的“开始…...

    2022/11/19 21:17:14
  29. win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...

    置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题&#xff0c;电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update&#xff0c;请勿关机”(如下图所示)&#xff0c;而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢&#xff1f;一切都是正常操作的&#xff0c;为什么开时机呈现“正…...

    2022/11/19 21:17:13
  30. 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...

    Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示&#xff0c;没过几秒后电脑自动重启&#xff0c;每次开机都这样无法进入系统&#xff0c;此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一&#xff1a;开机按下F8&#xff0c;在出现的Windows高级启动选…...

    2022/11/19 21:17:12
  31. 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...

    有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况&#xff0c;就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机&#xff0c;碰到这样的问题该怎么解决呢&#xff0c;现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法&#xff1a;1、2、依次…...

    2022/11/19 21:17:11
  32. 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...

    今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后&#xff0c;每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面&#xff0c;提示请勿关闭计算机”&#xff0c;每次停留好几分钟才能正常关机&#xff0c;导致什么情况引起的呢&#xff1f;出现配置Windows Update…...

    2022/11/19 21:17:10
  33. 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...

    只能是等着&#xff0c;别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚&#xff0c;只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一&#xff1a;管理员运行cmd&#xff1a;net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...

    2022/11/19 21:17:09
  34. 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?

    原标题&#xff1a;电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办&#xff1f;win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢&#xff1f;一般的方…...

    2022/11/19 21:17:08
  35. 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...

    关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 &#xff0c;然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容&#xff0c;让我们赶快一起来看一下吧&#xff01;关机提示 windows7 正在配…...

    2022/11/19 21:17:05
  36. 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...

    钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...

    2022/11/19 21:17:05
  37. 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...

    前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了&#xff0c;具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面&#xff0c;长时间没反应&#xff0c;无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过&#xff0c;网上搜了不少资料&#x…...

    2022/11/19 21:17:04
  38. 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...

    本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法&#xff0c;并在最后教给你1种保护系统安全的好方法&#xff0c;一起来看看&#xff01;电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中&#xff0c;添加了1个新功能在“磁…...

    2022/11/19 21:17:03
  39. 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...

    许多用户在长期不使用电脑的时候&#xff0c;开启电脑发现电脑显示&#xff1a;配置windows更新失败&#xff0c;正在还原更改&#xff0c;请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢&#xff1f;下面小编就带着大家一起看看吧&#xff01;如果能够正常进入系统&#xff0c;建议您暂时移…...

    2022/11/19 21:17:02
  40. 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...

    配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#xff0c;电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容&#xff0c;让我们赶快一起来看一下吧&#xff01;配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...

    2022/11/19 21:17:01
  41. 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...

    不知道大家有没有遇到过这样的一个问题&#xff0c;就是我们的win7系统在关机的时候&#xff0c;总是喜欢显示“准备配置windows&#xff0c;请勿关机”这样的一个页面&#xff0c;没有什么大碍&#xff0c;但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机&#xff0c;非常…...

    2022/11/19 21:17:00
  42. 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...

    当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时&#xff0c;一般是您正对windows进行升级&#xff0c;但是这个要是长时间没有反应&#xff0c;我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了&#xff0c;来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...

    2022/11/19 21:16:59
  43. 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...

    我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况&#xff0c;当我们打开电脑之后&#xff0c;发现一直停留在一个界面&#xff1a;“配置Windows Update失败&#xff0c;还原更改请勿关闭计算机”&#xff0c;等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢&#xff0…...

    2022/11/19 21:16:58
  44. 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”

    Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...

    2022/11/19 21:16:57