引言

本文尽量以直白易懂的方式介绍椭圆拟合法，椭球拟合法在此基础上升维即可得到，只要把握了其推导思想即可。

最小二乘法

本文涉及到最小二乘法的运用，此处不多赘述原理和推导，读者只需了解如何使用即可。
设系数矩阵为：
$A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\\end{bmatrix}$常数矩阵为：$b=\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_m \end{bmatrix}$
待求量为：$X=\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix}$
组成方程组：$AX=b$
要求方程数≥未知数，即：$m\geq n$
利用最小二乘法可以得到解为：$X={(A^TA)}^{-1}A^Tb$

椭圆拟合算法

定义

椭圆拟合法的基本思路是：对于给定平面上的一组样本点，寻找一个椭圆，使其尽可能靠近这些样本点。

目标

椭圆的一般方程表示为：$x^2+ay^2+bx+cy+dxy+e=0$
现给出6个点坐标如下：

x	y
0	2.0000
0.5130	1.8794
0.9642	1.5321
1.2990	1.0000
1.4772	0.3473
1.4772	-0.3473

绘制如图：

我们希望找到一个椭圆方程，使得这6个点尽可能都在椭圆上，如下图所示。

如何拟合

首先我们需要考虑的是，如何量化上述提到的“尽可能”。

在最理想的情况下，如果一组数据$\begin{pmatrix} x_0,y_0\end{pmatrix}$正好在椭圆上，则可表示为：
$f(x_0,y_0)=x_0^2+ay_0^2+bx_0+cy_0+dx_0y_0+e=0$
否则，
$f(x_0,y_0)=x_0^2+ay_0^2+bx_0+cy_0+dx_0y_0+e=err$
这边的$err$就可以用来量化一个数据点与椭圆方程之间的偏差，$err$越大，说明数据点与椭圆方程之间的偏差越大。于是我们构造一个新的损失函数用以量化所有数据点与椭圆方程之间的偏差：
$F=\sum_{i=1}^{m}err_i^2， err_i=f(x_i,y_i)=x_i^2+ay_i^2+bx_i+cy_i+dx_iy_i+e$
上述构造的函数$F$中$x,y$为数据点集，$a,b,c,d,e$为待定量，那么现在问题转化为：
求一组$a,b,c,d,e$，使得$F$达到最小值，即，使得所有数据点尽可能都在椭圆上。

求解系数

令$F$关于$a,b,c,d,e,=e$的一阶微分为0，即：
$\frac{\partial F}{\partial a} =0 ， \frac{\partial F}{\partial b} =0 ， \frac{\partial F}{\partial c} =0 ， \frac{\partial F}{\partial d} =0 ， \frac{\partial F}{\partial e} =0$
以第一个偏微分为例,
$\frac{\partial F}{\partial a} =\sum_{i=1}^{m}(2err_i\frac{\partial err_i}{\partial a})=\sum_{i=1}^{m}2(x_i^2+ay_i^2+bx_i+cy_i+dx_iy_i+e)*y_i^2=0$
$\implies \sum_{i=1}^{m}y_i^2*\begin{bmatrix} y_i^2&x_i&y_i&x_iy_i&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\\e\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^{m}y_i^2*x_i^2$
同理可得方程组：
$\begin{cases} \sum_{i=1}^{m}y_i^2*\begin{bmatrix} y_i^2&x_i&y_i&x_iy_i&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\\e\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^{m}y_i^2*x_i^2\\ \sum_{i=1}^{m}x_i*\begin{bmatrix} y_i^2&x_i&y_i&x_iy_i&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\\e\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^{m}x_i*x_i^2\\\sum_{i=1}^{m}y_i*\begin{bmatrix} y_i^2&x_i&y_i&x_iy_i&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\\e\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^{m}y_i*x_i^2\\ \sum_{i=1}^{m}x_iy_i*\begin{bmatrix} y_i^2&x_i&y_i&x_iy_i&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\\e\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^{m}x_iy_i*x_i^2\\ \sum_{i=1}^{m}1*\begin{bmatrix} y_i^2&x_i&y_i&x_iy_i&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\\e\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^{m}1*x_i^2\\\end{cases}$
令$t_i=\begin{bmatrix} y_i^2&x_i&y_i&x_iy_i&1\end{bmatrix},K=\begin{bmatrix} a&b&c&d&e\end{bmatrix}^T$并去掉求和符号，可将上述方程组整合为以下形式：
$diag(t_i)*E_{n*1}*t_i*K=diag(t)*E_{n*1}*x_i^2 \text{ ,(*)}$
令$A=\sum_{i=1}^{m}(diag(t_i)*E_{n*1}*t_i),b=\sum_{i=1}^{m}(diag(t)*E_{n*1}*x_i^2)$,可将方程组转化为：
$AK=b$
运用最小二乘法，最后得到：
$K={(A^TA)}^{-1}A^Tb$

总结

本文仅仅介绍椭圆拟合法，只要了解了推导过程，椭球拟合法仅仅只需要在此基础上加了几个变量。

在网上看过很多椭圆/球拟合法的程序，代码段非常冗长，并没有为了缩减程序而继续化简下去，因此这里特地化简成(*)式，利用循环将代码段大幅度缩减，仅需要简单几行即可实现椭圆/球拟合法。

如有错误，欢迎指出，非常感谢。