数据依赖的公理系统

在说公理系统前，要理解函数依赖的概念（可以看我博客里面讲范式的文章也有提到函数依赖的定义）

一 函数依赖

理解是，我们在R里面任意找一个r关系，对于这个关系的元组s和t，当s和t在属性（组）X上面相等，则s和t在Y属性（组）上也相等。这样被称为，X函数确定Y函数或者说Y函数依赖于X函数（X->Y).

二 逻辑蕴含

理解是，在R关系模式里面，U是属性集，F是函数依赖集（一些函数依赖组成），在这个关系模式里面，如果所有关系都满足 X->Y这一个函数依赖，则成为F逻辑蕴含X->Y。

例如
R<U,F>: U = {A,B,C} F={A->B,B->C}
则有，F逻辑蕴含A->B，AB->B，A->C

理由是：A->B是在F函数依赖集里面显式给出的，AB->B B属性式AB的一个子集，所以AB必然决定B， A->C则是通过函数依赖传递得到的。

Armstrong(阿姆斯特朗)公理系统

它是一套推理规则，是模式分解算法的理论基础，
以下是公理系统的重要规律和推论

规律

1. 自反律（Reflexivity）：若Y X  U，则X →Y为F所蕴含。
   //X包含Y，即Y是X的子集，所以必然有X决定Y
2. 增广律（Augmentation）：若X→Y为F所蕴含，且Z  U，则XZ→YZ为F所蕴含。
   //可以在函数依赖两边加一样的属性。
3. 传递律（Transitivity）：若X→Y及Y→Z为F所蕴含，则X→Z为F所蕴含。

导出推论：

1. 合并规则：由X→Y，X→Z，有X→YZ
2. 伪传递规则：由X→Y，WY→Z，有XW→Z。
3. 分解规则：由X→Y及 Z含于Y，有X→Z。

性质

有效性/确定性：函数依赖集F根据公理推出的每一条函数依赖都是正确的，而且都在F的闭包中。
完备性：函数依赖集F闭包中所有的函数依赖都可以用公理导出。

三 函数依赖的闭包

定义：若F为关系模式R(U)的函数依赖集，我们把F以及所有被F逻辑蕴涵的函数依赖的集合称为F的闭包，记为F+。

函数依赖的闭包指F所逻辑蕴含的所有成立的函数依赖，而对于平凡函数依赖（如 （A,B）—>A ）都被F所逻辑蕴含，即便F是一个空集，其闭包也包含很多函数依赖

这样把闭包的所有成员全部罗列出来通常是没有很大意义的。

属性集的闭包

定义：设F位属性集U上的一组函数依赖，X含于U，则

称为是属性集X关于函数依赖集F的闭包
在F确定的情形下，也可以写成X+

*例如
R<U,F>: U ={A,B,C} F={A->B,B->C}
则X关于函数依赖集F的闭包是ABC({A,B,C}的简写)
因为A->A,A->B,A->C都可以直接或者间接得出

前面提及是罗列出闭包的所有成员是不实际的，有很多，而且是意义不大的一件事情。但是我们如果真的要表示一个闭包时该怎么办呢？或者说我们在要判断一个函数依赖是否成立（是否在一个函数依赖集里面）时，我们要怎么求解呢？

接下来的定理，它将函数依赖是否成立 转化为 属性集闭包的问题

说明：X决定Y当且仅当Y时X属性集闭包的一个子集 或者可以说， Y要在X属性集闭包里面，才可以说X确定Y.

这样我们就把本来要计算一个函数依赖闭包的问题，转化位了一个属性集闭包的问题。

对于属性集闭包的求解
我们提供一套算法：

例题：

解