信号完整性分析5——电容的物理基础

电容器实际上是由两个导体构成的，任意的两个导体之间都有一定量的电容。任意两个导体间的电容量本质上是对两个导体在一定电压下存储电荷能力的度量。

5.1 电容中的电流流动

理想电容器中，被分质材料隔离开的两个导体间没有直流通路。因为导体间是绝缘的介质，所以通常认为实际电容器中没有任何电流流过。那么，怎样才能使电流流过绝缘介质呢？如前所述，只有当两个导体间的电压变化时，才可能有电流流经电容器。

在两导体间的真空中怎么会有电流流过呢？真空中的两导体间没有真正的电流流过，然而却有明显的电流流动。例如，若增加两导体间的电压，就必须在一个导体上增加正电荷，并从另一个导体上取出正电荷。这看起来就像是把正电荷加到一个导体上，而这些正电荷又从另一个导体上出来。所以，当电压变化时，有等效电流 流经电容器。

“位移电流” ： 真空间的等效电流

5.2 球面电容

两导体间的实际电容旦与连接两导体的电力线的多少有关。两个导体离得越近，重叠的面积越大，两个导体间的电力线就越多，存储电荷的能力也就越强。

若导体的具体几何结构不同，则尺寸与电容量的关系式就不同。

一般来说，可以使用场求解器来精确计算一对任意组合的导体之间的电容量，如在接插件中的多个引脚之间的电容。还可以精确估算出几种特殊几何结构的电容，其中一种就是计算两个同心球面间（一个在里，一个在外）的电容量。

两个球面间的电容：
$C=4πε_0{\frac {rr_b}{r_b-r}}$
其中：
$C$ 表示电容量
$ε_0$表示自由空间的介电常数，为 0.089 pF/cm​ 或 ​0.225 pF/in​
$r$ 表示内球而半径，单位为m 或cm
$r_b$ 表示外球面半径，单位为m 或cm

当外球面半径大于内球面半径的10 倍时，球面电容可近似表示为：
$C≈4π×ε_0×r$

这个关系式说明相对于某表面（ 包括地球表面，空间中的任何孤立导体都有一些电容。这个电容量不一定很小，而是有个与直径相关的最小值。导体距附近某个表面越近，它的电容量就越大。

5.3 平行板近似

如上图所示的两块平板，间距为h，总面积为A , 它们之间为空气，电容量可表示为：
$C=ε_0{\frac Ah}$
其中：
$C$ 表示电容量
$ε_0$表示自由空间的介电常数，为 0.089 pF/cm 或 0.225 pF/in
$A$ 表示平板的面积
$h$ 表示平板间距

一般来说，平行板近似有点低估了电容植，由于板周围边缘场的作用，实际电容量要大千近似值。平行板间距等于其侧向尺寸时，它看起来就像是个立方体，这时两板间的实际电容量约等于平行板近似预测的电容量的两倍，这是个经验法则。也就是说当平行板间距与板宽相当时，板周围的边缘场产生的电容量与平行板近似预测的电容呈相等。

5.4 介电常数

导体间的绝缘材料会增加它们之间的电容量，这一引起电容增大的材料特性称为相对介电常数，通常用希腊字母 $ε$ 加下标 $r$ (即 $ε_r$ ) 来表示。它是相对于空气（其介电常数为 1 )的介电常数。所以作为一个比值，它没有单位。通常都省略掉”相对“这个词，简称为介电常数。

介电常数是绝缘材料的固有特性

绝缘材料介电常数的度量方法是：比较一对导体被空气包围时的电容量 $C_0$ 和被绝缘材料包围时的电容量 $C$ , 定义如下：
$ε_r={\frac C{C_0}}$
介电常数越大，导体间的电容量的增加就越大。如果在导体周围的空间中均匀填充绝缘材料，则介电常数会使得导体间的电容量增大，这与导体的形状（不管是平行板、两根圆杆，还是邻近宽平面的导体）完全无关。

• 材料的介电常数大数与偶极子数和偶极子的大小有关。材料分子的偶极子数越多，则介电常数就越大
• 介电常数有时随频率而变化，为了消除不确定因素，有必要指明测量介电常数时的频率。

5.5 电源、地平面和去耦电容

平行板近似最重要的一个应用就是分析IC或多层印制电路板中电源和地平面间的电容最。

为了减小电源分布系统中的电压轨道塌陷，就要在电源和地之间加上多个去耦电容。在一定时间 $\delta t$ 内，电容 C 可以阻止电源电压的下降。如果芯片的功率损耗为 P , 则由于去耦电容的作用，电压的下降量达到电源电压5% 时的时间近似为：
$\delta t = C×0.05×{\frac {V^2}P}$
其中：
$\delta t$ 表示电压下降量达到电源电压的5% 时的时间，单位为s
$C$ 表示去耦电容量，单位为F
$0.05$ 表示允许的5% 的电压下降量
$P$ 表示芯片的平均功率损耗，单位为W
$V$ 表示电源电压，单位为V

在多层电路板中，电源平面和地平面是相邻的，于是就可以估计出这两个平面间每平方英寸面积的电容，如下所示：
$C=ε_0ε_r{\frac Ah}$
其中：
$C$ 表示电容量
$ε_0$表示自由空间的介电常数，为 0.089 pF/cm 或 0.225 pF/in
$ε_r$ 表示 FR4 的相对介电常数，典型值为4
$A$ 表示平面的面积
$h$ 表示平面间的距离

一般来说，虽然多层电路板中存在平面电容，但它太小了，在电源管理中起不到很明显的作用。电源与地平面的实际作用就是为芯片和去耦电容间提供低电感路径，而不是提供去耦电容，这将在以后说明。

5.6 单位长度电容

大多数互连线都有横截面固定的新号路径和返回路径。这样，信号路径和返回路径间的电容与互连线的长度成比例如果可连线长度加倍，则线条间的总电容也加倍，所以用单位长度电容能方便地描述线条间的电容， 只要横截面是均匀的，单位长度电容就保持不变。

在均匀横截面的互连线中．信号路径与返回路径间的电容为：
$C = C_L×Len$
其中
$C$ 表示互连线的总电容
$C_L$ 表示中位长度电容
$Len$ 表示互连线的长度

对于横截面的单位长度电容，对3 种横截面有精确的近似：

同轴电缆是由两根同心圆柱异体组成、中间填充人介质材料的互连线．通常把中心的内导体称为信号路径．而把外导体称为返回路径，内导体和外导体间的单位长度电容的精确表示式为：
$C={\frac {2\piε_0ε_r}{ln({\frac ba})}}$
其中：
$C_L$ 表示单位长度电容
$ε_0$ 表示自由空间的介电常数，为 0.089 pF/cm 或 0.225 pF/in
$ε_r$表示绝缘材料的相对介电常数
$a$ 表示内部信号导体的半径
$b$ 表示外部返回导体的半径

第二个精确关系式是两个平行圆杆之间的电容，如下所示：
$C_L={\frac {\piε_0ε_r}{ln\{{\frac s{2r}}[1+\sqrt[]{1-({\frac {2r}s})^2}]\}}}$
其中：
$C_L$ 表示单位长度电容
$ε_0$ 表示自由空间的介电常数，为 0.089 pF/cm 或 0.225 pF/in
$ε_r$表示绝缘材料的相对介电常数
$s$ 表示两根棒的中心距
$r$ 表示圆杆的半径

如果杆间距离远大于它的半径（即 $s»r$ ), 则这个相对复杂的关系式可近似为：
$C_L={\frac {\piε_0ε_r}{ln\{{\frac sr}\}}}$
这两种情况都假设两根圆杆周围的介质材料是处处均匀的。但遗憾的是，情况并不总是这样。这种近似不是很有用，只有空气中的键合线这类特殊情况才是可以的。

第三种是平面与平面上圆杆之间的电容的近似，当圆杆远离平面时（即 $h»r$ ), 电容近似为：
$C_L={\frac {\piε_0ε_r}{ln\{{\frac {2h}{r}}\}}}$
$h$ 表示平面表面与棒中心之间的距离

带状线和微带线

什么是带状线和微带线？：

**带状线：**走在内层(stripline/double stripline),埋在PCB内部的带状走线，如下图所示

蓝色部分是导体，绿色部分是PCB的绝缘电介质，stripline是嵌在两层导体之间的带状导线。

因为stripline是嵌在两层导体之间，所以它的电场分布都在两个包它的导体（平面）之间，不会辐射出去能量，也不会受到外部的辐射干扰。但是由于它的周围全是电介质（介电常数比1大），所以信号在stripline 中的传输速度比在microstrip line中慢！

微带线：是走在表面层(microstrip),附在PCB表面的带状走线，如下图所示

蓝色部分是导体，绿色部分是PCB的绝缘电介质，上面的蓝色小块儿是microstrip line。

其中黄色部分是环氧有机材料。

由于microstrip line（微带线）的一面裸露在空气里面（可以向周围形成辐射或受到周围的辐射干扰），而另一面附在PCB的绝缘电介质上，所以它形成的电场一部分分布在空中，另一部分分布在PCB的绝缘介质中。但是microstrip line中的信号传输速度要比stripline中的信号传输速度快，这是其突出的优点！

还有其他两种对电路板互连线中常见横截而的近似，即针对微带线和带状线的近似

在微带线中．信号线在介质层上面．介质层下面是平面， 这是多层电路板中表面线条的常见几何结构。在带状线中，有两个平面提供返回路径。对于高频信号来说．不管两个平面之间是否直流相通，它们实际上都是短接在一起的，所以可以认为是相连的。相对于信号线，这两个平面是对称的，介质材料即电路板叠层完全包裹住了信号线。对于这两种互连线，信号路径和返回路径间的单位长度电容都可以计算出来。

微带线的单位长度电容为：
$C_L={\frac {0.67(1.41+ε_r)}{ln\{{\frac {5.98×h}{0.8×w+t}}\}}}≈{\frac {0.67(1.41+ε_r)}{ln\{7.5{\frac {h}{w}}\}}}$
其中：
$C_L$ 表示单位长度电容，单位为pF/in
$ε_r$表示绝缘材料的相对介电常数
$h$ 表示介质厚度，单位为mil
$w$ 表示线宽单位为mil
$t$ 表示导体的厚度．单位为mil

虽然在关系式中包含了线条厚度这个参数，但如果线条厚度在很大程度上影响着问题的精度，那么就不应再使用这个近似， 而是应该使用二维场求解器， 在各种情况下。如果假设线条厚度为零，则二维场求解器的精度就不会受到影响。

带状线的单位长度电容近似为：
$C_L={\frac {1.41ε_r}{ln\{{\frac {1.9×b}{0.8×w+t}}\}}}≈{\frac {1.41ε_r}{ln\{2.4({\frac {b}{w}})\}}}$
其中：
$C_L$ 表示单位长度电容，单位为pF/in
$ε_r$表示绝缘材料的相对介电常数
$b$ 表示介质总厚度，单位为mil
$w$ 表示线宽单位为mil
$t$ 表示导体的厚度．单位为mil

经验法则： FR4 板上50Ω 传输线的单位长度电容约为3.5pF/m,

5.7 二维场求解器

如果精度很重要，则计算任何两导体间单位长度电容的最好数值工具就是二维场求解器。这个工具认为导体的横截面在整条线上都是恒定的，在这种情况下，单位长度电容也是恒定的。

对于任意几何结构，用二维场求解器计算单位长度电容的绝对误差不大于1% 。

5.8 有效介电常数

如果导体的横截面被介质完全包裹， 位于导体间的电力线就会感受到相间的介电常数．例
如带状线。然而， 如微带线、双绞线或共面线．导体周围的介质不是均匀分布的，所以一些电
力线会穿过空气，而另一些则穿过介质。

与导体间没有介质材料时的电容量相比，绝缘材料的存在使得导体间的电容量增大了。**若导体之间及导体周围的绝缘材料是均匀分布的，如带状线，则材料使电容量增大的系数等于材料的介电常数。**在微带线中，一些电力线穿过空气，一些穿过叠层介质，于是由于信号路径和返回路径间材料的缘故，电容量将增大，但是，电容量会增大多少呢？

• 空气和部分填充介质的组合就产生了“有效介电常数”

  有效介电常数是导体间填充材料（不管材料如何分布）后的电容与导体之间及其周围仅有空气时电容的比值。

• 计算：

  首先要计算导体周围为空气时的单位长度电容$C_0$, 然后在导体周围按实际分布情况填充电介质，并计算此时导体间的单位长度电容$C_{filted}$，则有效介电常数为：
  $ε_{eff}={\frac {C_{filted}}{C_0}}$
  其中：
  $C_0$表示导体周围为空气时的电容
  $C_{filted}$ 表示有实际介质分布时的电容
  $ε_{eff}$ 表示有故介电常数

  使用二维场求解器可精确地计算出这两种情况下的电容，使用这一工具也是精确计算传输线有效介电常数的唯一方法。

如果在微带线的顶部加上介电材料．则空气中的边缘电力线穿过的介电常数会增大，微带线的电容也会增加。当微带线上面有介质时，称之为嵌入微带线。如果仅有一部分电力线穿过介质材料．则称为部分嵌入微带线，如阻焊涂层。若所有的电力线都在介质中， 则称为全嵌入微带线。这三种不同嵌入程度的微带线的电力线分布如下图所示：

若微带线顶层介质涂层的厚度增加，电容量也将增加。当涂层厚度与线宽相同时，涂层可以完全包裹住边缘场，这时电容量可增大20% 。