正交镜像滤波器组（QMFB）

两通道正交镜像滤波器组(QMFB,Quadrature Mirror Filter Banks）是基于多抽样率技术的滤波系统，一个QMFB可以用如下的流程图表示：

在分析滤波器一侧，输入信号（设为宽带信号）被分为k个子带信号（窄带信号），对子带信号进行抽取，以降低采样率；在综合滤波器一侧，经过零值内插和带通滤波可以重建原来的信号。

若重建的信号 $X'(nT)$ 与输入信号 $X'(nT)$ 满足以下关系：

$X'(nT)=cX[(n-n_o)T]$
其中 $c$ 与 $n_o$ 均为常数，即满足重建的信号为输入信号的时延，二者只在幅度上相差 $c$ 倍，便可称为完全重建的QMFB。

要减小信号经过滤波器组所产生的误差，消除混叠失真的一种方法为：

$F_0(z）=H_0(z)\\\\F_1(z）=-H_1(z)$

当分析滤波器组满足：
$H_1(z）=H_0(-z)$
该滤波器便称为正交镜像滤波器组，其幅频特性有：
$H_1(e^{jw}）=H_0(e^{j(w-\pi)})$

可以看出 $H_1(e^{jw}）$ 与 $H_0(e^{jw}）$ 关于 $w=\frac{\pi}{2}$ 呈镜像对称，这便是QMFB的名称由来。

所以在QMFB系统中，分析滤波器与综合滤波器均由 $H_0(z）$ 决定，若 $H_0(z）$ 为低通滤波器，则 $H_1(z）$ 、 $G_0(z）$ 、 $G_1(z）$ 分别为高通、低通、高通滤波器。

MABLAB实现完全重建QMFB

对于完全重建QMFB的MATLAB实现，所需要得到的参数有：

• 各滤波器的阶数N，N必须为奇数
• 滤波器 $H_0$ 的通带截止频率 $w$, $w$ 需小于0.5以减小误差

为了得到最佳参数，先选定 $w$ ，对于不同的输入信号 ，改变N，求出均方误差MSE，通过比较得到最优的N值；其次，固定N，对于不同的输入信号 ，改变 $w$ 的大小求出mse，通过比较得到最优的 $w$ 值。

经过实验得出，最佳的N=41，最佳的 $w$=0.43
MATLAB代码如下：

N=41;
w=0.43;
[h0,h1,g0,g1]=firpr2chfb(N,w);
[H1z,w]=freqz(h0,1,512);
H1_abs=abs(H1z);H1_db=20*log10(H1_abs);
[H2z,w]=freqz(h1,1,512);
H2_abs=abs(H2z);H2_db=20*log10(H2_abs);
%%%%%%%%%%滤波器h0和h1的幅度响应%%%%%%%%%%
figure(1); 
plot(w/pi,H1_db,'-',w/pi,H2_db,'--'); 
axis([0,1,-100,10]); 
grid 
xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度,dB'); 
sum1=H1_abs.*H1_abs+H2_abs.*H2_abs; 
d=10*log10(sum1);
%%%%%%%%%%%%幅度响应关系误差%%%%%%%%%%%%%
figure(2) 
plot(w/pi,d);grid; 
xlabel('\omega/\pi');ylabel('误差,dB'); 
axis([0,1,-0.04,0.04]); 
%%%%%%%%%%%%%x1(n)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x=zeros(1,500);
x(2)=1;x(3)=1;
x(6)=2;x(7)=2;x(8)=2;
x(17)=1.5;x(18)=1.5;x(19)=1.5;
x(24)=1;x(25)=1;
x(33)=3;x(34)=3;x(35)=3;
%%%%%%%%%%%%%%x2(n)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x=zeros(1,500);
x(1)=1;x(2)=1;x(3)=1;
x(9)=2;x(10)=2;x(11)=2;
x(16)=3;x(17)=3;x(18)=3;
x(24)=4;x(25)=4;x(26)=4;
x(33)=3;x(34)=3;x(35)=3;
x(41)=2;x(42)=2;x(43)=2;
x(49)=1;x(50)=1;x(51)=1;
%%%%%%%%%%%%%%x3(n)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
n=1:500;
T=0.2;
x=sin(n*T);
hlp=mfilt.firdecim(2,h0);
hhp=mfilt.firdecim(2,h1);
glp=mfilt.firinterp(2,g0);
ghp=mfilt.firinterp(2,g1);
x0=filter(hlp,x);
x0=filter(glp,x0);
x1=filter(hhp,x);
x1=filter(ghp,x1);
xidle=x0+x1;
xshift=[zeros(1,N) x(1:end-N)];
e=xidle-xshift;
mes=sum(abs(e).^2)/length(e)
fvtool(h0)
%%%%%%%%%%%%输入信号%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure(4);
plot(x);
%%%%%%%%%%理想输出信号与重建输出信号%%%%%%%
figure(5);
plot(xshift,'r');hold on;
plot(xidle,'-');
%%%%%%%理想输出信号与重建输出信号的偏差%%%%%%
figure(6);
plot(xshift-xidle);

结果分析：
1、$H_0(z）$ 与 $H_1(z）$ 的幅度响应：

从幅频响应也可以看出两个滤波器的镜像关系

2、幅度响应关系误差

理论公式为：$|H_1(e^{jw})|^2+|H_0(e^{j(w-\pi)})|^2≈1$ ，$10log|H_1(e^{jw})|^2+|H_0(e^{j(w-\pi)})|^2≈0$

从结果可以看出，重建后的误差几乎为0，在 $w=\frac{\pi}{2}$ 处有少量凸起，但也非常小，可以忽略不计。

3、输入信号图像与重建信号图像

图左为输入信号图像，图右为重建的信号图像，可以看出二者几乎没有差别，仅有部分时延，符合理论上的完全重建条件。

4、理想输出信号与重建输出信号的偏差

两个信号的误偏差值非常小。