利用OPENCV中基于张友正标定法的camera_calibration进行单目相机标定

• 张友正标定法简介

（整合自https://blog.csdn.net/u010128736/article/details/52860364 ）
（整合自https://www.jianshu.com/p/9d2fe4c2e3b7）

”张正友标定”是指张正友教授1998年提出的单平面棋盘格的摄像机标定方法。文中提出的方法介于传统标定法和自标定法之间，但克服了传统标定法需要的高精度标定物的缺点，而仅需使用一个打印出来的棋盘格就可以。同时也相对于自标定而言，提高了精度，便于操作。因此张氏标定法被广泛应用于计算机视觉方面。

其中limmmy写的非常好，这是地址https://blog.csdn.net/limmmy/article/details/89239916
但是出于个人学习目的，我还是自己进行二次书写。

请看上图，以第一个等号左右为例，S是尺度因子代表着长度；（u、v、1）是某一个特征点在像素坐标系下的坐标，1是齐次化的结果；

等式右边（X、Y、Z、1）是此特征点所代表的实物点在世界坐标系下的位置，1是齐次化的结果；

右边倒数第二个是变化矩阵，由旋转变换R和平移变换t组成，到这里为止，从世界坐标X变成了相机坐标x；

右边倒数第三个和第四个分别是投影矩阵和畸变矩阵，前者是由小孔成像几何原理推导，后者是相机真正的内参，即X\Y轴的拉伸畸变程度，αβ，关于X\Y方向的位置偏移程度，cx,cy。两个矩阵共同组成第二个等号后的第一个矩阵——相机内参矩阵K。

下面真正进入张友正标定法
将上面式子中的相机内参矩阵K和变换矩阵T矩阵相乘，得到单应性矩阵H，H=【h1,h2,h3】,同时变换矩阵T是4×4的矩阵可以表示为T=【r1,r2,r3,t】 （都是用新参数表示原矩阵的列向量）
将投影关系定义为棋盘位于Z=0,则KT=【r1,r2,r3,t】【 X,Y,0,1】T可化简为T=【r1,r2,t】[X,Y,1]T，（括号外的T代表转置）。
所以得到以下关系，其中A即为相机内参矩阵K去掉最右边全是0的那一列。

A中包含4个畸变参数，在A外有一个尺度因子，和r1,r2,t这三个变换系数，所以H矩阵一共有8个未知数，所以有8个自由度，需要4对匹配点进行求解，高翔博士的是《视觉SLAM十四讲》中是使用直接线性变换法，把H元素（9维）一个一个提取出来变成线性向量——x，和4对匹配点的像素坐标（已知数）——从中提取出a和b，组成aX=b，对X进行求解。得到H。

计算内参矩阵！！！！！

此式是加入了尺度因子的H=AT‘，由于变换矩阵T中的旋转矩阵R是一个正交阵，所以r1,r2正交即内积为0，R的模为1，则r1,r1的模也为1. 将h用r表示。

同时由于r具有正交的特点，用上面两式做内积有：r1与r2的内积

现在开始为最终的计算准备式子：

把B的定义带到hAAh那个式子中得到hBh=vb的左边，hBh=vb中得到右边vb的过程和前面求H矩阵中的h一样，有一个配凑的过程，就是把左边完全列出来，在从里面提取b组成一个向量，那剩下的另一个向量就是v了，把复杂矩阵分解成向量的内积。

此时v知道了，它是由h组成的，而h之前已经利用H求出来了。这个时候注意红框里的式子，上面的是前面说过的两个正交向量的内积——为约束一，下面的的是两个正交向量分别与自身的内积，由于模为1且相等所以成为——约束二

二者联立：（根据上图中第二个式子hi B hj = vij b, 和红框中第一个式子 分析得 h1 A A h2 =h1 B h2 = v12 b =0——得到了最终解析式得第一式；同理红框第二式右边移到左边后做相同处理得到解析式第二式。），

经过整理得到

Vij全部式由已知得h表示，未知数只有b,则相当于求其次方程ax=0

结果为

以上推导图片整合自https://www.jianshu.com/p/9d2fe4c2e3b7

下面是我在利用opencv3.1.0中提供得camera_calibration中得标定程序进行标定时得心得

1.配置文件。
1.1 配置文件中，下面分别时棋牌得横纵方向黑白块得交点数

<!-- Number of inner corners per a item row and column. (square, circle) --><BoardSize_Width> 7</BoardSize_Width><BoardSize_Height>7</BoardSize_Height>

然后下面第一个是方块得边长单位是mm,下面得是要求得图像输入，只输入数字则代表系统相机代号，不过一般虚拟机里刚开始是没有相机的；如果是图像和视频就需要给出绝对地址。

<!-- The size of a square in some user defined metric system (pixel, millimeter)--><Square_Size>17</Square_Size><!-- The type of input used for camera calibration. One of: CHESSBOARD CIRCLES_GRID ASYMMETRIC_CIRCLES_GRID --><Calibrate_Pattern>"CHESSBOARD"</Calibrate_Pattern><!-- The input to use for calibration. To use an input camera -> give the ID of the camera, like "1"To use an input video  -> give the path of the input video, like "/tmp/x.avi"To use an image list   -> give the path to the XML or YAML file containing the list of the images, like "/tmp/circles_list.xml"-->

图片是需要生成IMAGELIST得，可以手动输入到example给得VID5.XML中，也可以在opencv源文件里找到imagelist_creator.cpp进行编译自己制作任意数量图片得image list。

我使用了15张上面那样类似得笔记本电脑拍摄得图片。

最终得到得结果如下

<?xml version="1.0"?>
<opencv_storage>
<calibration_time>"Mon 01 Jun 2020 08:05:54 PM PDT"</calibration_time>
<nr_of_frames>11</nr_of_frames>
<image_width>640</image_width>
<image_height>480</image_height>
<board_width>7</board_width>
<board_height>7</board_height>
<square_size>17.</square_size>
<fix_aspect_ratio>1.</fix_aspect_ratio>
<!-- flags: +fix_aspectRatio +fix_principal_point +zero_tangent_dist -->
<flags>6158</flags>
<fisheye_model>0</fisheye_model>
<camera_matrix type_id="opencv-matrix"><rows>3</rows><cols>3</cols><dt>d</dt><data>8.4969512886687153e+02 0. 3.1950000000000000e+02 0.8.4969512886687153e+02 2.3950000000000000e+02 0. 0. 1.</data></camera_matrix>

即fx为 8.4969512886687153e+02，cx为3.1950000000000000e+02，fy为 8.4969512886687153e+02，cy为2.3950000000000000e+02

以上内容均属于本人学习记录所用，不希望产生收益。