《迷茫的旅行商》——一个无处不在的计算机算法问题

在图书馆遇到这本书的时候，我被它的标题吸引了。旅行商和算法之间有什么千丝万缕的关系呢？它们又会擦出什么样的火花呢？
其实，这本书是在研究一名旅行商如果要拜访一张城市列表中的所有城市，每座城市只去一次，最后回到出发地，怎么走才是最短路线的问题。这就是旅行商问题。通过这本书，William J. Cook将带领读者踏上一场数学之旅，跟随旅行商的脚步，从19世纪初爱尔兰数学家W. R. Hamilton最初定义该问题开始，一路奔向当今最前沿、最顶尖的解题尝试。
我在书中跟随作者回顾了旅行商问题的历史，探索了它的种种重要应用，比如基因组测序、设计计算机处理器、整理音乐等。书中分析了计算机如何抗衡规模宏大的旅行商问题，以及如何在不借助计算机的情况下独立破解难题。
这个问题就是求图的最短哈密尔顿回路问题，即令G=(V, E)是一个带权重的有向图，顶点集V=(v0, v1, …, vn-1)。从图中任一顶点vi出发，经图中所有其他顶点一次且只有一次，最后回到同一顶点vi的最短路径。
用动态规划的方式来解析，可以假设从顶点s出发，令d(i, V)表示从顶点i出发经过V(是一个点的集合)中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点s的最短路径长度。
那么：

1. 当V为空集，那么，表示直接从i回到s了，此时d(i,V)=cis且 i不等于s。
2. 如果V不为空，那么就是对子问题的最优求解。必须在V这个城市集合中，尝试每一个，并求出最优解，即d(i,V)=min(cik+d(k,V-k))。
   这样，我们就得到了动态规划的方程。

这里可以使用二维数组dp[N][M]来表示d(i,V)，N表示城市的个数，M表示集合的数量。在最短路径顶点的计算中，先计算dp[N][M]数组，然后用dp数组来反向推出其路径。
这样的算法时间复杂度为O(2ⁿn²)。
举个例子：

化为矩阵：

那么：

这里只画出了d(1,{2,3,4})的一部分，剩下的套路是一样的。
虽然这本书中作者讲述了很多轶事，将遍历路径求优算法发展的历史串联起来，而且提供了不少示意图帮助读者理解问题的实质，但是对于数学门外汉的我而言，学习曲线还是有点陡峭，有些关键知识点没有理解，仍然无法完全跟着作者的思路走一遍。读起来有点吃力。知其然，知道个大概思路和方向。如果让我自己建模，仍然会手足无措。但是跟着作者的思路并借助网络上的一些资料自己试着走一遍，那么对旅行商问题的理解就会更深一步。
《迷茫的旅行商》介绍了人类对于复杂性本质的理解与局限，将激励读者从此踏上求解这道迷人难题的漫漫征程。