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3 正态性与异常值

学习前提：懂得偏度、峰度与正态分布（normal distribution）的含义，具备基础的SPSS操作能力。

许多参数估计方法均要求数据分布为正态（normality），且期望不存在异常值（outlier）。

3.1 简介

3.1.1 概念

（1）正态分布

正态分布（或称“常态分布”，normal distribution）是一种分布频次从中间往两边递减的形态。由于其形状酷似一口倒挂的钟，也常被人们称为“钟形曲线”。假如某个连续变量符合正态分布，我们就可以通过个案的标准差来判断个案在总体中的大致位置。

图3.1-1 正态分布

除了单个变量的正态分布，多个变量同时符合正态分布被称为“多元正态（multivariate normality）”。

（2）异常值

关于异常值的定义较多，Aguinis等人（2013）收集整理了14种与异常值有关的定义，除去某些与特定分析方法相关的异常值定义（例如元分析中的异常值），其余定义主要可分为3类。

其一，认为异常值是一种错误值。例如，认为异常值是由观测误差、记录误差或者计算误差产生的值。

其二，认为异常值是一种“有趣”的值。该观点认为，异常值与其他数据点较远，提供了丰富的信息，并非错误的数据，值得我们进一步探索其形成原因。

其三，认为异常值就是对模型拟合或者参数估计具有影响力的数据。该观点认为，有一部分数据即使个数很少也能影响分析结果，我们需要进一步查看其影响力的大小。

此外，从前两种观点视角出发，异常值一般与数据分布有关，而正态分布是所有数据分布中应用最广泛的一种形式，所以异常值往往与正态分布挂钩。比如，有的研究者会将超过3个标准差的数据判断为异常值（正态分布中，正负3个标准差能包含约99.7%的数据）。

3.1.2 数据分布非正态的原因与处理

（1）原因

数据非正态分布的原因有很多，但我们首先需要明白的是：正态分布并不是数据分布的唯一形式；数据往往不是正态与否的二元判断，而是“在多大程度上不那么正态”。一方面，数据也可以有其它的分布，比如，统计上常见的χ2分布、t分布和F分布；又或者，掷色子时获得每种点数的概率都是相同的，属于均匀分布。在许多领域，甚至非正态的数据分布才是常态，比如生存领域，多为指数分布。另一方面，完美的正态分布在现实中几乎是不可能的，每一批数据多多少少都会“有点”偏离正态分布。

其次，数据可能存在某些异常值。比如，篮球明星姚明小时候在学校，身高就远远超过同龄人，这种偶然的极端数据可能会导致样本数据并非正态分布。在数据采集过程中，我们总是希望自己刚好能采集到足够好的数据，但我们也不要忘记，即使是统计上经常采用的显著性水平“α=0.05”也暗含着每20次事件中就会包含1次小概率事件，数据中的异常点可能是我们无法避免的。样本数过少的时候，发生小概率事件的可能越大。

再者，抽样方式也会影响收集到的数据分布，这在问卷调查中并不少见。比如，某情绪量表（分数在20至100分之间，分数越高，则情绪越差）主要应用于普通人施测，对于普通人而言，平均分为60分。然而，我们使用该量表对一批抑郁症患者进行施测，可想而知，结果是普遍高分。对于普通人进行施测，数据呈正态分布，但是对于抑郁症患者进行施测，则遭遇天花板效应（ceiling effect），导致数据分布不如意。这是经验不足的研究者容易遇到的问题。

图3.1-2 不同人群的分数分布

此外，假如我们将图3.1-2中的两个分布合并到一起，可能会产生双峰分布（图3.1-3）。在实际研究中，部分研究者拥有较多资源，能够针对不同人群进行取样，但不同人群的分数分布并不一定很接近，当两个群体差异较大时，合并数据就可能产生意外结果。

图3.1-3 两个群体数据合并后的双峰分布

数据没有呈现出正态分布的原因还有很多，读者在实际研究中需要多方考虑，也勿理所当然的认为所有数据都必须是正态分布。

（2）处理

面对非正态数据的时候，有许多应对的方法。

其一，部分研究者会不做处理，直接进行分析，这对应两种理由。第一，样本量足够大。并非说样本量足够大数据就能满足正态分布，而是因为样本量足够大之后，非正态性的影响就小了很多。统计领域存在一些谣传：“当样本量超过30的时候数据就近似于正态分布，不需要做正态检验”。其实正态分布与样本量无关，但是样本量足够大的时候，根据中心极限定理（Central
Limit Theorem），样本均值（不是样本）会服从正态分布。第二，许多检验对非正态性数据的抵抗力并没有想象中的差。基于这些原因，当我们翻阅文献时，会发现问卷调查领域的文献有许多都未进行正态检验。

其二，一部分研究者会考虑更换统计方法以应对数据的非正态。比如，在数据符合正态分布时使用独立样本t检验，但是数据不符合正态分布时可更换成Mann-Whitney U检验，本书后续部分将会讲述此内容。在许多分析中，我们也不一定会更换分析的直接方法，而是进行分析的优化，比如将Bootstrap与普通分析方法进行结合。由于Bootstrap对非正态数据的估计具有良好的稳健性（Efron & Tibshirani, 1994），加上计算机性能的普遍提高，近年来已经广泛应用。

其三，许多领域会对数据进行转换，使其符合正态分布，再进行相应的分析。但不是每一类数据都适合进行转换，有的数据转换后也依然非正态，而且难以解释。该部分内容见本书数据转换章节。

其四，如果是由于小样本而导致的数据非正态分布（小样本具有随机性），在条件允许的情况下可适当增加样本量。

3.1.3 数据存在异常值的原因与处理

（1）原因

当数据中心存在异常值时，可能会扭曲统计分析的结果，而这是每个数据分析工作者都将面对的问题。以笔者经验而言，最常见的异常值产生原因有5种。

其一，输入错误。假如我们在问卷中询问学生身高，结果出现了1150cm的回答，则很明显属于输入错误。输入问题不仅在回答问题时会发生，在录入数据时也经常出现，为此，部分研究者可能会使用诸如EpiData软件进行双录入，避免该错误发生。

其二，抽样错误。统计分析总是立足于某些特定群体而得到结论，假如调查目标为小学三年级学生，但是有一名高中生填写了问卷，则该数据可能会体现为异常值（仅仅是可能）。

其三，异常因素的影响。假如我们对某个群体进行视力测量，但其中某人提前对视力表进行背诵，在测量中就会显示出异常的分数。在一些生物和地理科学中，自然因素造成的异常值并不少见（比如台风与降水）。

其四，数据本身的特性。某些数据由于自身特点，必定会包含“异常值”。比如，对某个小公司的工资数据进行采集，则公司高层的薪水必然远远大于员工，但这个“异常值”属于数据的内在特点。

其五，正常概率下的异常值。正态分布告诉我们，正负3个标准差能包含约99.7%的数据，从宏观角度而言，这意味着每收集大约333个数据必然会遭遇1个异常数据。当然，在每一次抽样中遭遇这类异常值的概率并不相同，即使是十几个数据的小样本也可能存在这类异常值，我们需要明白这是数据分布的正常结果。

（2）处理

由于异常值的判断标准与原因界定往往是多样化的，同一批数据在不同研究者手上可能得出不同结论，因此本书不准备提供与Aguinis等人（2013）一样的流程，而是从几种主要的处理方式出发，给出建议。

其一，不做任何处理，正常分析。异常值的比例往往较小，对于一个大样本来说，即使存在异常值，对分析结果的影响也是极小的，这种时候，我们可能无需删除异常值，也不用做任何处理。该视角下的异常值往往是自然概率下产生的异常值。

其二，删除异常值。当我们判断某些值属于异常值，并且是错误的异常值时，在情况允许下对其进行校正，否则应该进行删除处理（Kutner，2004）。为了避免这类异常值的发生，我们需要在调查的全流程中做好记录，才能在问题发生后进行回溯式的复查，寻找异常值产生的原因。当我们存在许多数据，异常值的影响并不大的时候，也可以对异常值进行剔除。

其三，不删除异常值，更换统计方法。假如我们的数据中存在大量异常值（比例较高），则我们没有理由进行删除，这或许是该数据的真实分布；对于某些研究来说，即使是微小的变化也非常重要，则我们也不应该删除异常值。面对这类情况时，我们可以同面对非正态数据时一般，选择更为稳健的分析方法（例如非参数的方法、Bootstrap方法等）。这些方法往往对数据分布不苛刻，对于异常值具有很好的抵抗力。

其四，对数据进行转换后再分析。例如经济领域经常会对数据作缩尾（winsorize）处理。由于异常值经常与正态分布挂钩，部分研究者会对数据采取正态转换以减少异常值的影响。

此外，还有许多异常值处理方法。部分学者会同时报告完整数据与删除异常值后的数据结果，通过对比两个结果，来阐明异常值的影响力大小；当存在大量异常值时，对异常值进行另外的分析，对比异常值与“正常值”的子样本结果，进一步挖掘数据信息；使用平均值替换异常值进行分析；或者将异常值视为缺失值，采用缺失值的分析方法进行处理。

不同的处理方法可能并没有绝对的对错之分，更多的是合适与不合适的问题。读者在使用某些统计方法判断出异常值后，仍需探究其形成原因，并进一步检查异常值带来的影响，才能决定如何更好的处理异常值问题。

参考文献

Aguinis, H., Gottfredson, R. K., & Joo, H. (2013). Best-practice recommendations for defining, identifying, and handling outliers. Organizational Research Methods, 16(2), 270-301.

Efron, B., & Tibshirani, R. J. (1994). An introduction to the bootstrap. CRC
press.

Kutner, M. H., Nachtsheim, C. J., Neter, J., & Li, W. (2004). Applied linear
statistical models (5th ed.). Boston:McGraw-Hill/Irwin.