COMSOL Multiphysics能求解多大的模型是我们最常碰到的问题之一。这个问题其实很难直接回答，因此在本篇博客中，我们将讨论内存需求、模型大小、以及用户如何预测在求解大型三维有限元问题时所需的内存量。

先看一些数据
下图按照模型中自由度（DOF）数显示了求解不同三维有限元问题时所需的内存量。各种典型案例中自由度对应的内存需求（二次多项式曲线拟合）

在这里，我们介绍了五个不同的实例：

实例1：球壳中的传热问题，在所有面间均存在辐射传热现象。模型使用缺省迭代求解器求解。
实例2：悬臂梁中的结构力学问题，使用缺省直接求解器求解。
实例3：电磁波问题，使用缺省迭代求解器求解。
实例4：与实例2相同的结构力学问题，但使用迭代求解器求解。
实例5： 一块材料中的传热问题，只考虑热传导，使用缺省迭代求解器求解。
如图所示，在一台配置 64 GB 随机存取存储器 (RAM) 的计算机上，您可以求解模型 DOF 数从 26,000（最低） 到接近 1,400 万（最高）的问题。为什么数量范围这么大？让我们了解一下如何解读这些数据…

自由度的解释
在大多数问题中，COMSOL Multiphysics 通过有限元方法求解一系列偏微分控制方程组，它会使用您的 CAD 模型，并将域细分为由边界上的一组节点所定义的单元。

每个节点中至少会包含一个未知数，具体未知数的数量取决于您正在求解的物理场。举个例子，在求解温度时，每个节点中只有一个未知数（缺省名称为T）。在求解结构力学问题时，我们需要计算应变以及它所带来的应力，因此你需要求解三个未知数（u,v,w），即每个节点在xyz空间中的位移。

对于湍流流体流动问题，我们需要求解流体流速（缺省名称为u,v,w）、压力（p）以及其他用于描述湍流的未知数。如果正在求解含多种成分的扩散问题，未知数的数量就等于化学物质的种类。此外，即使同一个模型中，不同的物理场也可能有不同的缺省离散阶数，意味着在单元边缘和内部会有额外的节点。求解二阶四面体单元中的温度场时，每个单元共有 10 个未知数，当使用一阶单元求解层流Navier-Stokes 方程的速度和压力时，每个单元共有16个未知数。

COMSOL Multiphysics 使用物理场、材料属性、边界条件、单元类型和单元形状等信息来组装方程组（ 方阵），并求解它来得到有限元问题的解。这个矩阵的大小就是模型的自由度（DOF）数，其中 DOF 数是单元数、每个物理场中使用的离散阶数，以及所求解变量数的函数。

这些方程组是典型的稀疏方程组，即方阵中的大部分项为零。对于大部分类型的有限元模型，网格中的每个节点仅与邻近节点相连。请注意，单元形状也会有影响：比如在分别由四面体单元和六面体（块体）单元构成的网格中，矩阵的稀疏程度就有差别。

一些模型中会包含节点间的非局部耦合，从而会出现一个相对密集的系统矩阵。辐射传热是拥有密集型系统矩阵的典型问题。在任何互相可见的面之间，都存在辐射传热现象，因此辐射表面上的每个节点都连接至其他每个节点。在本篇博客开头的图片中，我们可以清楚地看到这一点。相对不包含辐射的传热模型，热辐射模型有更高的内存需求。

此时，您应该已经发现，除了DOF数，系统矩阵的稀疏程度同样也会影响求解 COMSOL Multiphysics 模型所需的内存数量。现在让我们来看一下电脑是如何管理内存的。

操作系统如何管理内存
COMSOL Multiphysics 会调用您使用的操作系统 （OS）的内存管理算法。无论您正在使用哪个 OS，在所支持的最新 OS 版本中，这些算法的表现都极其相似。

OS 会创建一个虚拟内存堆栈，COMSOL 软件会将这部分视为连续的空闲内存。这一连续的虚拟内存块可以映射到不同的物理位置，因此一部分数据会被存储在 RAM 中，其余部分则会被存储到硬盘上。OS 将对数据的实际存储位置（RAM 或 硬盘）进行管理，缺省情况下，用户对此没有控制权。虚拟内存的数量由 OS 控制，通常情况下，用户也不会更改此项设定。

理想情况下，COMSOL Multiphysics 所需的数据将完全在 RAM 中存储，一旦 RAM 空间不足，部分数据就会被存储到硬盘中。此时，所有正在这台电脑上运行的程序都会受到明显影响。
如果 COMSOL 软件请求的内存量过大，OS 将确定它当前已无法有效地管理内存（即使通过硬盘），并通知 COMSOL Multiphysics 当前已无内存可用。此时，您会收到内存不足的提示，COMSOL Multiphysics 也会停止尝试求解模型。

下面，我们将介绍 COMSOL Multiphysics 在进行哪些操作时系统会提示内存不足，以及用户能做些什么。

COMSOL 何时使用的内存最多？
当您建立并求解有限元问题时，有三个大量使用内存的步骤：网格剖分、装配和求解。

网格剖分：在网格剖分这一步，CAD 几何被细分为有限元。缺省网格剖分算法会在大部分模型空间中使用自由剖分四面体网格。对于复杂的大型结构，自由剖分四面体网格需要大量的内存。事实上，它有时请求的内存量会高于实际求解方程组所需的内存量，因此即使在这个步骤，也可能遇到内存不足的问题。如果您确实发现网格剖分占用的时间和内存过高，就应该将几何细分（或分割）为更小的子域。一般而言，子域越小，剖分所需的内存就越少。相对一次性完成全部的剖分工作，将它分解为一系列的操作，可以降低内存占用量。本博客中，假定没有模型简化方法来简化模型或降低网格尺寸，比如利用对称、或薄层边界条件等。
装配: 在装配这一步，COMSOL Multiphysics 会生成系统矩阵，以及一个用于描述载荷的矢量。对该矩阵的装配和存储需要大量内存，可能高于网格剖分步骤，但总是低于求解步骤。如果在本步骤中内存不足，则应增加系统的 RAM 量。
求解：在求解这一步，COMSOL Multiphysics 会采用非常通用而鲁棒的算法来求解非线性问题，其中可以包含任意耦合的物理场。不过，在这些算法的最核心部分，系统会使用直接或迭代方法来求解线性方程组。下面让我们来看一下应该在什么情况下采用这两种方法，以及它们所需的内存。
直接求解器
直接求解器非常鲁棒，几乎可以求解在有限元仿真中可能出现的任何问题。COMSOL Multiphysics 中使用的稀疏矩阵直接求解器包括 MUMPS、PARDISO 和 SPOOLES 求解器。也包括一个密集矩阵求解器，不过用户仅应在明确系统矩阵确为密集矩阵时才应使用这一求解器。

所有这些求解器都有一个缺点，随着DOF数和矩阵密度的增加，所需内存量和求解时间也会急剧增长。其比例接近于DOF数的二次方。

写作本文时，COMSOL 软件中的 MUMPS 和 PARDISO 直接求解器均提供了核外选项。该选项会覆盖 OS 中的内存管理，让 COMSOL Multiphysics 直接控制多少数据将存储在 RAM 中，以及何时开始与如何向硬盘写入数据。这一做法要优于 OS 的内存管理算法，但仍慢于完全在 RAM 中求解问题。

如果您可以访问集群超级计算机，比如 Amazon Web Service™、 Amazon Elastic Compute Cloud™ ，也可以通过 MUMPS 求解器将问题分配到集群的多个节点上。虽然我们可以通过这种方法求解大型问题，不过同样需要了解，通过集群求解的速度可能要慢于单机求解。

由于直接求解器的求解会随问题规模增长而急剧变化（大约二次方），它们通常只作为少数几个三维物理场接口的缺省求解器，不过二维模型中一般都会使用直接求解器，它们在二维模型中的增长比例情况会好很多。

缺省使用直接求解器的最常见情况是三维结构力学问题。虽然这一选择是出于鲁棒性的考虑，在许多结构力学问题中，也可以使用迭代求解器。在扳手中应力的实例模型中，介绍了切换求解器设定的方法。

迭代求解器
相对直接求解器，迭代求解器需要的内存较低，但需要较多的定制化设定以保证它们正常运行。

软件中预定义物理场接口的迭代求解器设定很合理，出于鲁棒性的考虑，提供了一些缺省迭代求解器的建议。这些设定会自动完成，不需要用户进行任何操作，因此只要您使用了预定义物理场接口，就无需为这些设定担心。

对相同问题，迭代求解器所需的时间和内存远低于直接求解器，因此在适用情况下，应尽量使用这类求解器。随着问题规模变大，此类求解器的求解时间和内存需求变化之间成线性关系，而非直接求解器典型的二次方关系。

至今为止，迭代求解器应该用于有足够 RAM 来求解问题的计算机，所以若在使用迭代求解器时系统提示内存不足，就应升级计算机的RAM 量。

我们同样也可以在集群计算机上通过域分解法来使用迭代求解器。最近软件中新增了此类迭代方法，敬请关注未来将发布的更多相关细节信息。

预测内存需求
虽然上文中的数据提供了内存需求的上下限，但这些界限相当宽泛。我们已经发现对模型的细微调整，例如引入一个辐射传热类的非局部耦合，就会极大地改变内存需求。因此，我们将介绍一个通用的预测内存需求的方法。

首先建立一个典型模型，其中包含希望求解的物理场组合，且近似于真实几何的复杂程度。开始时将网格尽量粗化，然后逐渐细化网格。或者，从一个较小的典型模型开始，然后逐渐增加尺寸。

求解每个模型，并监测内存需求。观察正在使用的缺省求解器。对于直接求解器，在测试中选择核外选项，或考虑是否可以使用迭代求解器。根据数据拟合二阶多项式，使用该曲线并根据最终希望求解的大型问题尺寸判断所需内存。这是判断大型、复杂、三维多物理场模型所需内存的最可靠方法。

现在我们已经了解到，所需内存（至少）取决于几何、网格、单元类型、正在求解的物理场组合、物理场之间的耦合、以及任何非局部模型耦合的范围。我们也清楚了通常不可能预测所有情况中的内存需求。根据对模型进行的更改，可能需要将上述步骤重复几次。

公平地说，要最有效地建立和求解大型模型，不仅要深刻理解求解器设定，也要深刻理解普通有限元模拟。如果您对具体模拟问题有疑问，请随时联系您的 COMSOL 技术支持团队。
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