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读书笔记：

数字 0、1、10、111、100、1000001 都是有效的二进制。

二进制加法：1+0=1、1+1=10、11+10=101、111+111=1110

二进制减法：1-0=1、10-1=1、101-11=10、1100-111=101

八进制加法：3+4=7、5+6=13、75+42=137、2427+567=3216

八进制减法：6-4=2、52-27=23、307-141=146、7430-1451=5757

十六进制加法：6+7=D、18+BA=D2、595+792=D27、2F87+F8A=3F11

2. 十六进制减法：D-3=A、52-2F=23、E07-141=CC6、7CA0-1CB1=5FEF
   
   二进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易，就是“按权相加”。所谓“权”，也即“位权”。

假设当前数字是 N 进制，那么：
·对于整数部分，从右往左看，第 i 位的位权等于Ni-1
·对于小数部分，恰好相反，要从左往右看，第 j 位的位权为N-j。
更加通俗的理解是，假设一个多位数（由多个数字组成的数）某位上的数字是 1，那么它所表示的数值大小就是该位的位权。

1) 整数部分

例如，将八进制数字 53627 转换成十进制：（八进制，开头为8，按位置0、1、2、3、4、5）
53627 = 5×84 + 3×83 + 6×82 + 2×81 + 7×80 =22423（十进制）

从右往左看(从右向左增大），第1位的位权为 80=1，第2位的位权为 81=8，第3位的位权为 82=64，第4位的位权为 83=512，第5位的位权为 84=4096 …… 第n位的位权就为 8n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。

注意，这里我们需要以十进制形式来表示位权。
再如，将十六进制数字 9FA8C 转换成十进制：（16开头，0、1、2、3、4）
9FA8C = 9×164 + 15×163 + 10×162 + 8×161 + 12×160 = 653964（十进制）

从右往左看，第1位的位权为 160=1，第2位的位权为 161=16，第3位的位权为 162=256，第4位的位权为 163=4096，第5位的位权为 164=65536 …… 第n位的位权就为 16n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。

将二进制数字转换成十进制也是类似的道理：
11010 = 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 = 26（十进制）

从右往左看，第1位的位权为 20=1，第2位的位权为 21=2，第3位的位权为 22=4，第4位的位权为 23=8，第5位的位权为 24=16 …… 第n位的位权就为 2n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。

2) 小数部分

例如，将八进制数字 423.5176 转换成十进制：
423.5176 = 4×82 + 2×81 + 3×80 + 5×8^-1 + 1×8^-2 + 7×8^-3 + 6×8^-4 = 275.65576171875（十进制）

小数部分和整数部分相反，要从左往右（从左向右幂增大）看，第1位的位权为 8^-1 =1/8 ，第2位的位权为 8 ^-2=1/64，第3位的位权为 8 ^ -3=1/512，第4位的位权为 8 ^-4=1/4096 …… 第m位的位权就为 8 ^-m。

再如，将二进制数字 1010.1101 转换成十进制：
1010.1101 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 + 1×2-1 + 1×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 10.8125（十进制）

小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第1位的位权为 2 ^-1=1/2，第2位的位权为 2 ^-2=1/4，第3位的位权为 2 ^-3=1/8，第4位的位权为 2 ^-4=1/16 …… 第m位的位权就为 2 ^-m。

更多转换成十进制的例子：
二进制：1001 = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9（十进制）
二进制：101.1001 = 1×22 + 0×21 + 1×20 + 1×2-1 + 0×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.0625 = 5.5625（十进制）
八进制：302 = 3×82 + 0×81 + 2×80 = 192 + 0 + 2 = 194（十进制）
八进制：302.46 = 3×82 + 0×81 + 2×80 + 4×8-1 + 6×8-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375（十进制）
十六进制：EA7 = 14×162 + 10×161 + 7×160 = 3751（十进制）

将十进制转换为二进制、八进制、十六进制

将十进制转换为其它进制时比较复杂，整数部分和小数部分的算法不一样，下面我们分别讲解。

1. 整数部分
   十进制整数转换为 N 进制整数采用“除 N 取余，逆序排列”法。具体做法是：
   将 N 作为除数，用十进制整数除以 N，可以得到一个商和余数；
   保留余数，用商继续除以 N，又得到一个新的商和余数；
   仍然保留余数，用商继续除以 N，还会得到一个新的商和余数；
   ……
   如此反复进行，每次都保留余数，用商接着除以 N，直到商为 0 时为止。

把先得到的余数作为 N 进制数的低位数字，后得到的余数作为 N 进制数的高位数字，依次排列起来，就得到了 N 进制数字。

下图演示了将十进制数字 36926 转换成八进制的过程：

从图中得知，十进制数字 36926 转换成八进制的结果为 110076。

下图演示了将十进制数字 42 转换成二进制的过程：

从图中得知，十进制数字 42 转换成二进制的结果为 101010。

2) 小数部分
十进制小数转换成 N 进制小数采用“乘 N 取整，顺序排列”法。具体做法是：
用 N 乘以十进制小数，可以得到一个积，这个积包含了整数部分和小数部分；
将积的整数部分取出，再用 N 乘以余下的小数部分，又得到一个新的积；
再将积的整数部分取出，继续用 N 乘以余下的小数部分；
……
如此反复进行，每次都取出整数部分，用 N 接着乘以小数部分，直到积中的小数部分为 0，或者达到所要求的精度为止。

把取出的整数部分按顺序排列起来，先取出的整数作为 N 进制小数的高位数字，后取出的整数作为低位数字，这样就得到了 N 进制小数。

下图演示了将十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的过程：

从图中得知，十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的结果为 0.7345。

下图演示了将十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的过程：

从图中得知，十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的结果为 0.1011。

如果一个数字既包含了整数部分又包含了小数部分，那么将整数部分和小数部分开，分别按照上面的方法完成转换，然后再合并在一起即可。
例如：
十进制数字 36926.930908203125 转换成八进制的结果为 110076.7345；
十进制数字 42.6875 转换成二进制的结果为 101010.1011。

注意：

十进制小数转换成其他进制小数时，结果有可能是一个无限位的小数。请看下面的例子：
十进制 0.51 对应的二进制为 0.100000101000111101011100001010001111010111…，是一个循环小数；
十进制 0.72 对应的二进制为 0.1011100001010001111010111000010100011110…，是一个循环小数；
十进制 0.625 对应的二进制为 0.101，是一个有限小数。

其实，任何进制之间的转换都可以使用上面讲到的方法，只不过有时比较麻烦，所以一般针对不同的进制采取不同的方法。将二进制转换为八进制和十六进制时就有非常简洁的方法，反之亦然。
1) 二进制整数和八进制整数之间的转换
二进制整数转换为八进制整数时，每三位二进制数字转换为一位八进制数字，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足三位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 1110111100 转换为八进制：

从图中可以看出，二进制整数 1110111100 转换为八进制的结果为 1674。

八进制整数转换为二进制整数 时，思路是相反的，每一位八进制数字转换为三位二进制数字，运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将八进制整数 2743 转换为二进制：

从图中可以看出，八进制整数 2743 转换为二进制的结果为 10111100011。

2) 二进制整数和十六进制整数之间的转换
二进制整数转换为十六进制整数时，每四位二进制数字转换为一位十六进制数字，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足四位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制：

从图中可以看出，二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制的结果为 2D5C。

十六进制整数转换为二进制整数时，思路是相反的，每一位十六进制数字转换为四位二进制数字，运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将十六进制整数 A5D6 转换为二进制：

从图中可以看出，十六进制整数 A5D6 转换为二进制的结果为 1010 0101 1101 0110。