在计算机功能和算法进步的推动下，机器学习技术已成为查找数据模式的强大工具。量子系统产生的非典型模式被认为无法有效地产生经典系统，因此可以合理地假设量子计算机在机器学习任务上可能会胜过经典计算机。量子机器学习领域探索了如何设计和实现量子软件，该软件可以使机器学习比传统计算机更快。最近的工作产生了量子算法，可以作为机器学习程序的基础，但是硬件和软件方面的挑战仍然很大。

在我们拥有计算机之前很久，人们努力寻找数据模式。托勒密将对恒星运动的观测结果与宇宙的地心模型相匹配，并用复杂的行星轮来解释行星的逆行运动。在16世纪，开普勒分析了哥白尼和布拉赫的数据，揭示了以前隐藏的模式：行星以椭圆形移动，太阳在椭圆的一个焦点处移动。通过对天文学数据进行分析以揭示这种模式，产生了数学技术，例如求解线性方程组的方法（牛顿-高斯），通过梯度下降学习最佳值（牛顿），多项式插值（拉格朗日）和最小二乘拟合（拉普拉斯） 。

二十世纪中叶，数字计算机的建设使数据分析技术得以自动化。在过去的半个世纪中，计算机功能的飞速发展使得线性代数数据分析技术（例如回归分析和主成分分析）得以实现，并导致了更复杂的学习方法（例如支持向量机）。在同一时期，数字计算机的发展和迅速发展催生了新颖的机器学习方法。诸如感知器之类的人工神经网络是在1950年代实现的（参考资料1），只要计算机有能力实现它们。在1960年代至1990年代引入并实施了基于神经网络（例如Hopfield网络和Boltzmann机器）的深度学习和训练方法（例如反向传播）（参考资料2）。在过去的十年中，特别是在过去的五年中，强大的计算机和专用信息处理器相结合，能够实现数十亿权重的深度网络3，并将其应用于非常大的数据集，这表明这种深度学习网络能够识别数据中复杂而微妙的模式。

众所周知，量子力学会在数据中产生非典型模式。诸如深度神经网络之类的经典机器学习方法通​​常具有以下特征：它们既可以识别数据中的统计模式，又可以产生具有相同统计模式的数据：它们可以识别所产生的模式。这种观察表明了以下希望。如果小型量子信息处理器可以产生传统计算机难以计算的统计模式，那么也许它们也可以识别同样难以识别传统的模式。

这种希望的实现取决于能否找到用于机器学习的有效量子算法。量子算法是一组可以解决问题的指令，例如可以确定在量子计算机上执行的两个图是否同构的问题。量子机器学习软件将量子算法用作较大实现的一部分。通过分析量子算法规定的步骤，可以清楚地看到它们有可能在特定问题上胜过经典算法（即减少所需步骤的数量）。这种潜力被称为量子加速。

量子加速的概念取决于人们是采用正式的计算机科学观点（需要数学证明）还是基于现实的有限尺寸设备可以完成的工作的观点（需要有统计优势的可靠统计证据）问题大小的有限范围。对于量子机器学习，经典算法的最佳性能并不总是已知的。这类似于用于整数分解的Shor多项式时间量子算法的情况：没有发现次指数时间经典算法，但是这种可能性没有得到证明。

确定与量子机器学习和经典机器学习相对的缩放优势的方法将取决于量子计算机的存在，这被称为“基准测试”问题。这样的优势可以包括提高分类精度和对经典不可访问系统进行采样。因此，目前使用复杂性理论中的理想化措施来表征机器学习中的量子加速：查询复杂性和门复杂性（请参见专栏1和专栏1表））。查询复杂度衡量的是经典算法或量子算法对信息源的查询数量。如果解决量子问题所需的查询数量少于经典算法所需的查询数量，则会导致量子加速。为了确定门的复杂性，对获得所需结果所需的基本量子运算（或门）的数量进行计数。

查询和门的复杂性是理想化的模型，可量化解决问题类别所需的资源。在不知道如何将这种理想化映射到现实的情况下，关于真实场景中必要的资源缩放的说法不多。因此，经典机器学习算法所需的资源大部分是通过数值实验来量化的。量子机器学习算法的资源需求在实践中可能同样难以量化。对它们的实际可行性的分析是本次审查的中心主题。

如将在审查中可以看出，有用于机器量子算法学习其表现出量子加速比4，5，6，7。例如，量子基本线性代数子程序（BLAS）-Fourier变换，找到的特征向量和特征值，在其最知名的经典同行求解线性方程组，显示出指数量子加速比8，9，10。这种量子BLAS（qBLAS）可以转化为量子加速器，用于各种数据分析和机器学习算法，包括线性代数，最小二乘拟合，梯度下降，牛顿法，主成分分析，线性，半定和二次编程，拓扑分析和支持向量机9，11，12，13，14，15，16，17，18，19。与此同时，专用量子信息处理器，如量子退火炉和可编程量子光学阵列被很好地匹配深度学习架构20，21，22。尽管尚不清楚在多大程度上可以实现这种潜力，但仍有理由乐观地认为量子计算机可以识别传统计算机无法识别的数据模式。

我们考虑学习机可以是经典的23，24，25，26，27，28，29，30，31，32或量子8，9，11，13，33，34，35，36。它们分析数据可以是由量子感测或测量装置制造古典或量子状态30，37。我们简要讨论了常规机器学习-使用经典计算机在经典数据中查找模式。然后，我们转向量子机器学习，其中量子计算机分析的数据可以是经典数据（最终被编码为量子态），也可以是量子数据。最后，我们简要讨论了使用经典机器学习技术在量子动力学中寻找模式的问题。

古典机器学习和数据分析可以分为几类。首先，计算机可用于执行“经典”数据分析方法，例如最小二乘回归，多项式插值和数据分析。机器学习协议可以是有监督的，也可以是无监督的。在监督学习中，训练数据被划分为带标签的类别，例如手写数字的样本以及手写数字应该代表的实际数字，并且机器的工作是学习如何在训练之外为数据分配标签组。在无监督学习中，训练集没有标签，机器的目标是找到训练数据所属的自然类别（例如，互联网上不同类型的照片），然后对训练集之外的数据进行分类。

通过对高维向量空间中的向量执行矩阵运算，可以运行多种数据分析和机器学习协议。但是量子力学全都涉及高维向量空间中向量的矩阵运算。

这些方法背后的关键要素是，n个量子位或qubits 的量子状态是2 n维复矢量空间中的矢量。对量子位执行量子逻辑运算或测量，会将相应的状态向量乘以2 n  ×2 n矩阵。通过建立这样的矩阵变换，量子计算机已经示出执行常见线性代数运算，如傅立叶变换38，寻找特征向量和特征值39，并求解线性方程组集超过2个Ñ在时间维向量空间，在多项式Ñ，比最著名的古典音乐快几倍8。后者通常称为Harrow，Hassidim和Lloyd（HHL）算法 8（请参见专栏2）。原始变体假定条件良好的矩阵稀疏。稀疏不太可能在数据的科学，但是后来改进放宽这一假设包括低秩矩阵，以及 10，33，40。超越HHL，在这里我们考察了几种量子算法，这些量子算法在量子机器学习软件中采用线性代数技术时会作为子例程出现。

例如，考虑主成分分析（PCA）。假设数据以矢量的形式呈现v Ĵ在d维向量空间，其中d = 2 Ñ = Ñ。例如，v j可以是股票从时间t j到时间t j +1的所有股票价格变化的向量。数据的协方差矩阵为，其中上标T表示转置操作：协方差矩阵汇总了数据不同组成部分之间的相关性，例如，不同股票价格变化之间的相关性。最简单的形式是，主成分分析通过对角协方差矩阵进行运算：，其中c k是C的特征向量，而e k是相应的特征值。（由于C是对称的，所以特征向量c k形成正交集。）如果仅一些特征值c k的特征向量大，而其余的数目小或为零，则与这些特征值相对应的特征向量称为C的主分量。每个主成分代表数据中潜在的共同趋势或相关形式，并且根据主成分v  =  分解数据向量v既可以压缩数据的表示形式，又可以预测未来的行为。就计算复杂度和查询复杂度而言，用于执行PCA的经典算法的标度为O（d 2）。（我们注意到，我们使用“ big O”表示法来跟踪主导扩展的主导术语。）

对于经典数据11的量子主成分分析，我们随机选择一个数据向量v j，并使用量子随机存取存储器（qRAM）41将该向量映射为量子状态：。概括向量的量子状态具有log d个量子位，并且qRAM的操作需要除以O（log d）个步骤可以并行执行的O（d）个操作。由于v j是随机选择的，因此得到的量子态具有密度矩阵，其中N是数据矢量的数量。与协方差矩阵比较对于经典数据C，我们看到数据量子版本的密度矩阵实际上是协方差矩阵，直到总因子为止。通过重复采样数据，并且使用称为密度矩阵幂特技42与量子相位估计算法相结合39，其中发现矩阵的特征向量和特征值，就可以采用任何的数据向量的量子版本并将其分解成主成分，同时揭示C的特征值：。然后可以通过对C的本征向量的量子表示进行测量来探究C的主要成分的特性。量子算法在计算复杂度和查询复杂度上均缩放为O [（log N）2 ]。也就是说，量子PCA的效率比经典PCA高出几倍。

量子支持向量机和内核方法

经典的深度神经网络是用于机器学习的高效工具，非常适合激发深度量子学习方法的发展。专用量子信息处理器，如量子退火炉和可编程光子电路非常适合用于构造深量子学习网络21，54，55。可以量化的最简单的深度神经网络是Boltzmann机器（请参见方框3和方框3图）。经典的Boltzmann机器由具有可调相互作用的钻头组成：通过调整这些相互作用来训练Boltzmann机器，以使钻头的热统计数据由Boltzmann–Gibbs分布描述（见图1b）。），再现数据的统计信息。要量化玻尔兹曼机，只需简单地将神经网络表示为与相互作用的伊辛模型相对应的一组相互作用的量子自旋。然后，通过将Boltzmann机器中的输入神经元初始化为固定状态并使系统热化，我们可以读出输出量子位以获得答案。

深度量子学习的一个基本特征是它不需要大型的通用量子计算机。量子退火器是专用的量子信息处理器，与通用的量子计算机相比，它更易于构建和扩展（参见图1a）。量子退火器非常适合于实现深度量子学习器，并且可以通过商业途径获得。D-Wave量子退火炉是一个可调的横向伊辛模型，可以对其进行编程以产生经典系统和某些量子自旋系统的热态。D-Wave设备已用于在超过一千个自旋56上执行深度量子学习协议。量子玻尔兹曼机22具有更通用的可调谐耦合器，能够实现通用量子逻辑，目前处于设计阶段57。片上硅波导已被用于构建具有数百个可调谐干涉仪的线性光学阵列，并且专用超导量子信息处理器可用于实现量子近似优化算法。

量子计算机可以在这里提供多种优势。首先，量子方法可以使系统二次热化快于它的古典对应20，58，59，60。这样可以对完全连接的Boltzmann机器进行准确的培训。其次，量子计算机可以通过提供改进的采样方式来加速Boltzmann训练。由于玻耳兹曼机器中的神经元激活模式是随机的，因此需要多次重复来确定成功概率，进而发现改变神经网络权重对深层网络性能的影响。相反，在训练量子Boltzmann机器时，量子相干性可以二次减少学习所需任务所需的样本数量。此外，对训练数据的量子访问（即qRAM或量子黑盒子例程）使机器可以使用对训练数据的访问请求，比传统方法所需的访问请求少二次：20。

量子信息处理为深度学习提供了新的，基本上是量子的模型。例如，添加的横向场的伊辛模型量子波尔兹曼机可以诱导各种量子效应，如隧道22，61。添加另外的量子联轴器变换量子波尔兹曼机到各种量子系统57，62。在可调谐的伊辛模型中添加可调谐的横向相互作用对于全量子计算来说是普遍的57：通过适当的权重分配，该模型可以执行通用量子计算机可以执行的任何算法。这样的通用深度量子学习者可以识别和分类传统计算机无法做到的模式。

与经典的玻尔兹曼机不同，量子玻尔兹曼机输出量子态。因此，深量子网络可以学习生成代表多种系统的量子状态，从而允许网络充当量子关联存储器63的形式。经典机器学习缺乏这种产生量子态的能力。因此，量子玻尔兹曼训练的应用范围不仅限于对量子态进行分类，还提供了更丰富的经典数据模型。