在这个题目的基础上，我了解了一下这几个“编程写法”，并对循环、递归、dp有了新的想法。从原理上，这几个想法都是大事化小、小事化了。只不过方向不同罢了。

根据The Algorithm Design Manual，解决这类存在顺序解决关系的问题，我们的通用的想法是

因为递归实际上是一种更自然的思路，从已知到实现只需迈出一步。这一步也抽象了无数步的实现过程。往往更加清晰

实际上我按照这套mindset来考虑dp问题之后，会发现对于并不熟悉的dp题目，明显构思起来要比直接考虑“有什么状态？怎么扩展状态”这套顺手，因为递归是很自然的一种思维方式。当然，已经比较熟练直接就能看出来状态和转移方程的题目，以及一些状态实在太显眼比考虑递归还简单的题目，就不需要用这套了。
PS：有一些优化，使用记忆化搜索方式实现DP做不了，有的题目会被这个卡死，比如必须用滚动数组等方式压缩状态否则MLE的那种。有一些优化，使用刷表法做不了，比如实际访问的状态很稀疏又不能整齐控制顺序，你一建表就MLE或者TLE那种。所以两种DP主流实现方式都要掌握。

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作者：sin1080
链接：https://www.zhihu.com/question/323076638/answer/673995021
来源：知乎
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滚动数组绝对是DP的优秀特征，极大概率省去绝大部分的内存，同时通过刷表，将时间复杂度也降到多项式量级；递归的离散搜索也是连续的dp所不能取代的（当然可以用离散化技巧）

递归的通解思路

递归有两种主要的形式：搜索-回溯，与分治。
深度优先搜索与回溯法，代表了递归的主要用法之一。传的是层数，适合于排列解空间树的问题
如果我们硬要分别的话，另外还有分治。分治传的是问题规模。分治策略容易估计递归的阶数
其实本质上都是一样的。以后就不必区分了。

void dfs(data x[], int n, int i)
{data a[];if (i>n) {if (x[1~n]是解) {输出或保存;}} else {设定子节点a[]： x[i]=a[t];for (int t = 0; t <子节点数目; t++) {if (legal(x, i, a[t])) {设置第i步现场;dfs(x, n, i+1);恢复第i步现场;}}}
}

当这个题不是分治法思路的时候，我们就应该考虑使用dfs，构建每个元素的幂分支解空间树。也就是像类似这样展开（图题无关）

对于这个题来说，就是，没有到全部装完的时候，就尝试不同的硬币（显然深搜比起分治也更好理解）。直到产生一系列$a^n$树。

如果从分治角度上说，就是可以有几种方法(硬币)回到前一种子情形。然后再对子情形进行递归求解

递归题解

这其实并不是一个讲深搜的好例子，它的最终输出行为是比较复杂的。

如果没有完整方案，要输出剩下钱数最少的找零方案中的最少硬币数。
没有搜到的可能性和重要性被放大了。这是一个使用分治策略的深搜（这个表述就很悖论，仍然说明二者是互通的）。

记忆化的分治，记录已经搜索过的部分，是通过离散来填充连续空间

按规模分治。这个方法来自网络，由于使用了两次递归，所以慢的出奇。

int型的穷尽枚举，便于我们大量剪枝。但是实际上，仍然要全部算完才直到某个点处和终点的距离，所以并没有起到良好的剪枝效果。这说明了NPC问题的难解性。

/*
Problem: NYOJ(南阳理工OJ)
Author :2486
Memory: 1012 KB		Time: 192 MS
Language: C/C++		Result: Accepted
*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100000+5;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,t,a[maxn],vis[maxn],Min;
int dfs(int s) {if(s<0)return INF;//非典型的出口：没有找到if(vis[s]!=-1)return vis[s]; //必须进行剪枝，不过在标准想法当中，并不是主要步骤Min=min(s,Min);//最优情况通过‘问题规模’决定，所以只需传递这个问题规模，然后对作为最优解的全局变量进行更新即可。int ans=INF;for(int i=0; i<n; i++) {ans=min(dfs(s-a[i])+1,ans);//对当层进行枚举，其中利用先前结果的想法和完全背包是一样的}//得到最少硬币数if(ans!=INF)vis[s]=ans;return ans;
}
int main() {while(~scanf("%d%d",&n,&t),n&&t) {//仅当输出结束时退出for(int i=0; i<n; i++) {scanf("%d",&a[i]);}memset(vis,-1,sizeof(vis));vis[0]=0;Min=INF;dfs(t);if(vis[t]==-1) {//是否可以找零，如果不能，就对刚刚已经搜索到的最小差额的情形进行再次递归，这次必将搜索到//这一步是很巧妙的dfs(t-Min);printf("%d\n",vis[t-Min]);} else printf("%d\n",vis[t]);}return 0;
}

按层深搜。

#include <iostream>
#include <climits>
using namespace std;
int num, t, a[55], ans = INT_MAX, m = INT_MAX; 
// m is the closest record of all slns.void change(int n, int c) //n is the number of coins, c is the scale of the problem
{if (c == m) //at least not worseans = ans < n ? ans : n;if (c < m) // a better slnans = n, m = c;for (int i = 1; i <= num; i++)if (c >= a[i])change(n+1, c-a[i]);
}int main()
{cin.sync_with_stdio(false);cin >> num >> t;for (int i = 1; i <= num; i++)cin >> a[i];change(0, t);cout << ans;
}

动态规划的思考

从dp角度，深搜对应完全背包，j >= w[i]也就对应着剪枝。

不过这二者对维度的枚举顺序并不相同。深搜是在容量的层面上枚举内容，动规是盯着内容单元枚举容量。

这是由算法的不同特征导致的：

• 动规借助循环实现，所以相对连续，适合于枚举相对连续的容量，这种枚举量大的特点也注定了不能使用递归(当然，记忆化搜索可以解决这个问题)。
• 而递归本来就可以用来进行相对离散的递推，所以通过枚举内容的单元，可以减少递归调用的发生，这对效率是很有利的。

由于完全背包问题的无限性，可以多次利用先前结果；所以在动规的递推过程当中，是从小到大依次进行的，这和0-1背包显然不同。

这个完全背包的过程可以利用线性数组。

#include <iostream>
#include <cstring>
#define MAXN 100005
using namespace std;
int n, t, a[55], dp[MAXN];
int main()
{cin >> n >> t;for (int i = 0; i < n; i++)cin >> a[i];memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));dp[0] = 0;for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = a[i]; j <= t; j++)dp[j] = min(dp[j], dp[j-a[i]] + 1);for (int i = t; i >= 1; i--)if (dp[i] != 0){cout << dp[i];break;}
}

这个题目属于典型的NPC问题，使用递归极其缓慢，所以就用动规好了。总体上来说，递归思路很好说明。但是面对这样的问题，深搜只能撂挑子了。