【STM32F429的DSP教程】第25章 DSP变换运算-快速傅里叶变换原理(FFT)
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第25章 DSP变换运算-快速傅里叶变换原理(FFT)
在数字信号处理中常常需要用到离散傅立叶变换(DFT),以获取信号的频域特征。尽管传统的DFT算法能够获取信号频域特征,但是算法计算量大,耗时长,不利于计算机实时对信号进行处理。因此导致DFT被发现以来,在很长的一段时间内都不能被应用到实际工程项目中,直到一种快速的离散傅立叶计算方法——FFT被发现,离散是傅立叶变换才在实际的工程中得到广泛应用。需要强调的是,FFT并不是一种新的频域特征获取方式,而是DFT的一种快速实现算法。
特别声明:FFT原理的讲解来自网络和书籍。
25.1 FFT由来
25.3 直接计算DFT的问题及改进路径
25.3 改善DFT运算效率的基本途径
25.4 按时间抽选的基2-FFT算法
25.5 按频率抽选的基2-FFT算法
25.6 总结
25.1 初学者重要提示
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25.2 FFT的由来
离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)是数字信号处理最重要的基石之一,也是对信号进行分析处理时,最常用的工具之一。在200多年前,法国数学家、物理学家傅里叶提出以他的名字命名的傅里叶级数之后,用DFT这个工具来分析信号就已经被人们所知。
历史上最伟大的数学家之一,欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式,例如:y = f(x)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一,给出了一个用实变量函数表示傅立叶系数的方程,用三角级数来描述离散声音在媒介中传播,发现某些函数可以通过余弦函数之和来表达。 但在很长时间内,这种分析方法并没有引起更多的重视,最主要的原因在于这种方法运算量比较大。直到1965年,Cooley和Tukey在《计算机科学 》发表著名的《机器计算傅立叶级数的一种算法》论文,FFT才开始大规模应用。
那个年代,有个肯尼迪总统科学咨询委员会,其中有项研究主题是对苏联核测试进行检测,Tukey就是其中一员。美国/苏联核测试提案的批准,主要取决于不实地访问核测试设施而做出检测方法。其中一个想法是,分析离海岸的地震情况,这种计算需要快速算法来计算DFT。其它应用是国家安全,如用声学探测远距离的核潜艇。所以在军事上,迫切需要一种快速的傅立叶变换算法,这也促进了FFT的正式提出。
FFT充分利用了DFT运算中的对称性和周期性,从而将DFT运算量从N2减少到 。当N比较小时,FFT优势并不明显。但当N大于32开始,点数越大,FFT对运算量的改善越明显。比如当N为1024时,FFT的运算效率比DFT提高了100倍。在库利和图基提出的FFT算法中,其基本原理是先将一个N点时域序列的DFT分解为N个1点序列的DFT,然后将这样计算出来的N个1点序列DFT的结果进行组合,得到最初的N点时域序列的DFT值。实际上,这种基本的思想很早就由德国伟大的数学家高斯提出过,在某种情况下,天文学计算(也是现在FFT应用的领域之一)与等距观察的有限集中的行星轨道的内插值有关。由于当时计算都是靠手工,所以产生一种快速算法的迫切需要。 而且,更少的计算量同时也代表着错误的机会更少,正确性更高。高斯发现,一个富氏级数有宽度N=N1*N2,可以分成几个部分。计算N2子样本DFT的N1长度和N1子样本DFT的N2长度。只是由于当时尚欠东风——计算机还没发明。在20世纪60年代,伴随着计算机的发展和成熟,库利和图基的成果掀起了数字信号处理的革命,因而FFT发明者的桂冠才落在他们头上。
之后,桑德(G.Sand)-图基等快速算法相继出现,几经改进,很快形成了一套高效运算方法,这就是现在的快速傅立叶变换(FFT)。这种算法使DFT的运算效率提高1到2个数量级,为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了良好的条件,大大推进了数学信号处理技术。1984年,法国的杜哈梅(P.Dohamel)和霍尔曼(H.Hollamann)提出的分裂基块快速算法,使运算效率进一步提高。
库利和图基的FFT算法的最基本运算为蝶形运算,每个蝶形运算包括两个输入点,因而也称为基-2算法。在这之后,又有一些新的算法,进一步提高了FFT的运算效率,比如基-4算法,分裂基算法等。这些新算法对FFT运算效率的提高一般在50%以内,远远不如FFT对DFT运算的提高幅度。从这个意义上说,FFT算法是里程碑式的。可以说,正是计算机技术的发展和FFT的出现,才使得数字信号处理迎来了一个崭新的时代。除了运算效率的大幅度提高外,FFT还大大降低了DFT运算带来的累计量化误差,这点常为人们所忽略。
25.3 直接计算DFT的问题及改进路径
25.3.1 问题的提出
设有限长序列x(n),非零值长度为N,若对x(n)进行一次DFT运行,共需要多大的运算工作量。
25.3.2 DFT的运算量
DFT和IDFT的变换式:
下面以DFT为例说明计算量:
计算机运算时(编程实现):
由上面的结算可得DFT的计算量如下:
复数乘法的计算量:(a+jb)(c+jd)=(ab-bd)+j(bc+ad)
下面通过两个实例来说明计算量:
例一:计算一个N点DFT,共需 次复乘。以做一次复乘1 计算,若N=4096,所需时间为
例二:石油勘探,有24个通道的记录,每通道波形记录长度为5秒,若每秒抽样500点/秒。
- 每道总抽样点数:500*5 = 2500点。
- 24道总抽样点数:24*2500=6万点。
由于计算量大,且要求相当大的内存,难以实现实时处理,限制了DFT的应用,人们一直在寻求一种能提高DFT运算速度的方法。
FFT便是Cooley和Tukey在1995年提出来的快速算法,它可以使运算速度提高几百倍,从而使数字信号处理成为一个新兴的应用学科。
25.4 改善DFT运算效率的基本途径
1、利用DFT运算的系数 的固有对称性和周期性,改善DFT的运算效率。
1)对称性
2)周期性
3)可约性
2、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT的思路
因为DFT的运算量与N2成正比,如果一个大点数N的DFT能分解为若干小点数DFT的组合,则显然可以达到减少运算工作量的效果。
FFT算法的基本思想:
- 利用DFT系数的特性,合并DFT运算中的某些项。
- 把长序列DFTà短序列DFT,从而减少运算量。
FFT算法分类:
时间抽选法
DIT: Decimation-In-Time
频率抽选法
DIF: Decimation-In-Frequency
25.5 按时间抽选的基2-FFT算法
25.5.1 算法原理
设输入序列长度为N = 2M(M为正整数),将该序列按时间顺序的奇偶分解为越来越短的子序列,称为基2按时间抽取的FFT算法。也称为Coolkey-Tukey算法。
其中基2表示:N = 2M,M为整数。若不满足这个条件,可以人为地加上若干零值(加零补长)使其达到N = 2,M。
25.5.2 算法步骤
- 分组,变量置换
- 分组,变量置换
其中k = 0, 1,…. N/2 – 1。 和 只有N/2个点,以N/2为周期;而X(k)却有N个点,以N为周期。要用x1(k)和x2(k)表达全部的X(k)值。还必须利用系数的周期特性。
有了上面的计算结果后,我们可以得到如下的蝶形运算流图符号:
关于这个蝶形运算流图符号说明如下:
- 1个蝶形运算需要1次复乘,2次复加。
- 左边两路为输入。
- 右边两路为输出。
- 中间以一个小圆表示加减运算(右上路为相加输出,右下路为相减输出)。
- 分解后的运算量
运算量减少了近一半。
例子:求N=23=8点FFT变化。按N=8àN/2=4,做4点的DFT,先将N=8点的DFT分解成2个4点的DFT:
可知: 时域上 x(0),x(2),x(4),x(6)为偶子序列。
x(1),x(3),x(5),x(7)为奇子序列。
频域上 X(0) 到X(3) 由X(k)给出
X(4) 到X(7) 由X(k+N/2)给出
此外,还有4个蝶形结,每个蝶形结需要1次复乘,2次复加。一共是:复乘4次,复加8次。
用分解的方法的得到X(k)需要:
复乘:32+4=36次
复加:24+8=32次
N = 23 = 8 按时间抽取的DFT分解过程:
因为4点DFT还是比较麻烦,所以再继续分解。
若将N/2(4点)子序列按奇/偶分解成两个N/4点(2点)子序列。即对将x1(r)和x2(r)分解成奇、偶两个N/4点(2点)的子序列。
因此可以对两个N/2点的DFT再分别作进一步的分解。将一个8点的DFT可以分解成四个2点的DFT,直到最后得到两两点的DFT为止。
由于这种方法每一步分解都是按输入序列是属于偶数还是奇数来抽取的,所以称为“按时间抽取的FFT算法”。
下图是由4个两点DFT组成的8点DFT:
下图是按8点抽取的FFT运算流图:
这里注意观察蝶形图的系数
25.5.3 FFT算法和直接计算DFT运算量的比较
FFT算法与直接计算DFT所需乘法次数的比较曲线
25.6 按频率抽选的基2-FFT算法
在基2快速算法中,频域抽取法FFT也是一种常用的快速算法,简称DIF-FFT。
鉴于网上和课本中关于FFT原理已经讲解非常详细了,在这里就不再赘述了。有兴趣的查阅相关书籍进行学习即可。
25.7 总结
本章节主要讲解了FFT的基2算法实现原理,讲解稍显枯燥,不过还是希望初学的同学认真学习,搞懂一种快速傅里叶算法的实现即可。
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原标题:丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者【公司简介】 广州华彬企业隶属香港华彬集团有限公司,专注美业21年,其旗下品牌: 「圣茵美」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「圣仪轩」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「花茵莳」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「丽彦妆」专注医学护…...
2024/4/26 19:46:12 - 广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!
原标题:广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM流程及注意事项解读: 械字号医用面膜,其实在我国并没有严格的定义,通常我们说的医美面膜指的应该是一种「医用敷料」,也就是说,医用面膜其实算作「医疗器械」的一种,又称「医用冷敷贴」。 …...
2024/4/27 11:43:08 - 械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?
原标题:械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?医用眼膜/械字号眼膜/医用冷敷眼贴 凝胶层为亲水高分子材料,含70%以上的水分。体表皮肤温度传导到本产品的凝胶层,热量被凝胶内水分子吸收,通过水分的蒸发带走大量的热量,可迅速地降低体表皮肤局部温度,减轻局部皮肤的灼…...
2024/4/27 8:32:30 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57