多元线性回归模型的完整解释、假设检验、特征选择
线性回归是最流行和讨论最多的模型之一,它无疑是深入机器学习(ML)的入门之路。这种简单、直接的建模方法值得学习,这是进入ML的第一步。
在继续讨论之前,让我们回顾一下线性回归可以大致分为两类。
简单线性回归:当只有一个输入变量时,它是线性回归最简单的形式。
多元线性回归:这是一种线性回归的形式,当有两个或多个预测因子时使用。
我们将看到多个输入变量如何共同影响输出变量,同时还将了解计算与简单LR模型的不同之处。我们还将使用Python构建一个回归模型。
最后,我们将深入学习线性回归,学习共线性、假设检验、特征选择等内容。
现在有人可能会想,我们也可以用简单的线性回归来分别研究我们对所有自变量的输出。
为什么需要线性回归
从多个输入变量预测结果。但是,真的是这样吗?
考虑到这一点,假设你要估算你想买的房子的价格。你知道建筑面积,房子的年代,离你工作地点的距离,这个地方的犯罪率等等。
现在,这些因素中的一些将会对房价产生积极的影响。例如,面积越大,价格越高。另一方面,工作场所的距离和犯罪率等因素会对你对房子的估计产生负面影响。
简单线性回归的缺点:当我们只对一个结果感兴趣时,运行单独的简单线性回归会导致不同的结果。除此之外,可能还有一个输入变量本身与其他一些预测器相关或依赖于其他一些预测器。这可能会导致错误的预测和不满意的结果。
这就是多元线性回归发挥作用的地方。
数学公式
这里,Y是输出变量,X项是相应的输入变量。注意,这个方程只是简单线性回归的延伸,和每个指标都有相应的斜率系数(β)。
β的第一个参数(βo)是拦截常数和Y的值是在缺乏预测(我。e当所有X项都为0时),它在给定的回归问题中可能有意义,也可能有意义,也可能没有意义。它通常在回归的直线/平面上提供一个相关的推动。
可视化数据
我们将使用南加州大学马歇尔商学院网站上的广告数据。你可以在这里下载。
http://faculty.marshall.usc.edu/gareth-james/ISL/data.html
广告数据集包括产品在200个不同市场的销售情况,以及三种不同媒体(电视、广播和报纸)的广告预算。它是这样的
第一行数据显示,电视、广播和报纸的广告预算分别为230.1k美元、37.8k美元和69.2k美元,相应的销售量为22.1k(或22.1万)。
在简单的线性回归中,我们可以看到在不使用其他两种媒体的情况下,每一种广告媒体是如何影响销售的。然而,在实践中,这三者可能会共同影响净销售额。我们没有考虑这些媒体对销售的综合影响。
多元线性回归通过在一个表达式中考虑所有变量来解决这个问题。因此,我们的线性回归模型现在可以表示为:
发现这些常数的值(β)是什么回归模型通过最小化误差函数,拟合最好的行或超平面(根据输入变量的数量)。这是通过最小化残差平方和( Residual Sum of Squares)来实现的,残差平方和是通过将实际结果和预测结果之间的差异平方得到的。
普通最小二乘法
因为这种方法求最小平方和,所以也称为普通最小二乘法(OLS)。在Python中,有两种主要的方法来实现OLS算法。
SciKit Learn:只需从Sklearn包中导入线性回归模块并将模型与数据匹配即可。这个方法非常简单,您可以在下面看到如何使用它。
from sklearn.linear_model import LinearRegressionmodel = LinearRegression()
model.fit(data.drop('sales', axis=1), data.sales)
StatsModels:另一种方法是使用StatsModels包来实现OLS。Statsmodels是一个Python包,允许对数据执行各种统计测试。我们将在这里使用它,以便您可以了解这个很棒的Python库,因为它将在后面的部分中对我们有帮助。
建立模型并解释系数
# Importing required libraries
import pandas as pd
import statsmodels.formula.api as sm# Loading data - You can give the complete path to your data here
ad = pd.read_csv("Advertising.csv")# Fitting the OLS on data
model = sm.ols('sales ~ TV + radio + newspaper', ad).fit()
print(model.params)
输出
Intercept 2.938889
TV 0.045765
radio 0.188530
newspaper -0.001037
Scikit Learn运行回归模型是最简单的方式,并且可以使用模型找到上面的参数。coef_ & model.intercept_。
现在我们有了这些值,如何解释它们呢?
-
如果我们确定电视和报纸的预算,那么增加1000美元的广播预算将导致销售增加189个单位(0.189*1000)。
-
同样地,通过固定广播和报纸,我们推断电视预算每增加1000美元,产品大约增加46个单位。
-
然而,对于报纸预算来说,由于系数几乎可以忽略不计(接近于零),很明显报纸并没有影响销售。事实上,它在0的负的一边(-0.001),如果幅度足够大,可能意味着这个代理是导致销售下降。但我们不能以如此微不足道的价值做出这种推断。
如果我们仅使用报纸预算与销售进行简单的线性回归,我们将观察到系数值约为0.055,这与我们上面看到的相比是非常显著的。为什么会这样呢?
共线性
ad.corr()
让我们用热图把这些数字形象化。
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline> plt.imshow(ad.corr(), cmap=plt.cm.GnBu, interpolation='nearest',data=True)
> plt.colorbar()
> tick_marks = [i for i in range(len(ad.columns))]
> plt.xticks(tick_marks, data.columns, rotation=45)
> plt.yticks(tick_marks, data.columns, rotation=45)
这里黑色的方块表示相关性很强(接近于1),而较亮的方块表示相关性较弱(接近于0)。这就是为什么所有的对角线都是深蓝色的,因为一个变量与它自己是完全相关的。
值得注意的是报纸和广播的相关性是0。35。这表明报纸和广播预算之间的关系是公平的。因此,可以推断出→当产品的广播预算增加时,在报纸上的花费也有增加的趋势。
这称为共线性,指的是两个或多个输入变量是线性相关的情况。
因此,尽管多元回归模型对报纸的销售没有影响,但是由于这种多重共线性和其他输入变量的缺失,简单回归模型仍然对报纸的销售有影响。
我们理解了线性回归,我们建立了模型,甚至解释了结果。到目前为止我们学的是线性回归的基础。然而,在处理实际问题时,我们通常会超越这一点,统计分析我们的模型,并在需要时进行必要的更改。
预测因子的假设检验
在运行多元线性回归时应该回答的一个基本问题是,至少有一个预测器在预测输出时是否有用。
我们发现,电视、广播和报纸这三个预测因子与销售额之间存在不同程度的线性关系。但是,如果这种关系只是偶然发生的,并且没有因为任何预测因素而对销售产生实际影响呢?
该模型只能给我们数字,以在响应变量和预测因子之间建立足够紧密的线性关系。然而,它无法证明这些关系的可信性。
我们从统计数据中获得帮助,并做一些被称为假设检验的事情。我们首先建立一个零假设和一个相应的备择假设。
因为我们的目标是找到至少一个预测器在预测输出时是否有用,所以我们在某种程度上希望至少有一个系数(不是截距)是非零的,这不仅仅是由于随机的机会,而是由于实际原因。为此,我们首先形成一个零假设:所有系数都等于零。
多元线性回归的一般零假设
广告数据的零假设
因此,备择假设是:至少有一个系数不为零。通过发现有力的统计证据来拒绝原假设,从而证明了这一点
假设检验采用F-statistic进行。这个统计数据的公式包含残差平方和(RSS)和总平方和(TSS),我们不需要担心这一点,因为Statsmodels包会处理这个问题。我们在上面拟合的OLS模型的总结包含了所有这些统计数据的总结,可以用这行简单的代码得到:
print(model.summary2())
如果F-statistic的值等于或非常接近1,那么结果是支持零假设的,我们不能拒绝它。
但是我们可以看到,F-statistic比1大很多倍,因此为零假设(所有系数都为零)提供了有力的证据。因此,我们拒绝原假设,并相信至少有一个预测器在预测输出时是有用的。
注意,当预测因子§的数量很大,或者p大于数据样本的数量(n)时,f统计量是不合适的。
因此,我们可以说,在这三家广告代理商中,至少有一家在预测销售额方面是有用的。
但是哪一个或哪两个是重要的呢?它们都重要吗?为了找到这一点,我们将执行特征选择或变量选择。一种方法是尝试所有可能的组合。
- Only TV
- Only radio
- Only newspaper
- TV & radio
- TV & newspaper
- radio & newspaper
- TV, radio & newspaper
在这里,尝试所有7种组合仍然是可行的,但是如果有更多的预测因子,组合的数量将呈指数增长。例如,通过在我们的案例研究中再增加一个预测因子,总组合数将变为15。想象一下有一打预测器。因此,我们需要更有效的方法来执行特性选择。
特征选择
做特征选择的两种最流行的方法是:
正向选择:我们从一个没有任何预测器的模型开始,只使用截距项。然后,我们对每个预测器执行简单的线性回归,以找到最佳执行器(最低RSS)。然后我们添加另一个变量,并再次通过计算最低的RSS(残差平方和)来检查最佳的2变量组合。然后选择最佳的3变量组合,以此类推。当满足某种停止规则时,停止该方法。
逆向选择:我们从模型中的所有变量开始,然后删除统计意义最小的变量(更大的p值:检查上面的模型摘要,找到变量的p值)。重复此操作,直到达到停止规则为止。例如,我们可以在模型分数没有进一步提高的时候停止。
在这篇文章中,我将介绍向前选择方法。首先,让我们了解如何选择或拒绝添加的变量。
我们要使用2种方法来评估我们的新模型:RSS和R²。
我们已经熟悉RSS,它是残差平方和,通过将实际输出和预测结果之间的差平方来计算。它应该是模型表现良好的最小值。R²方差的程度的测量数据是用模型来解释。
数学上,它是实际结果和预测结果之间相关性的平方。R²接近1表明模型是好的和解释方差数据。接近于零的值表示模型很差。
# Defining a function to evaluate a model
def evaluateModel(model):print("RSS = ", ((ad.sales - model.predict())**2).sum())print("R2 = ", model.rsquared)
让我们首先使用单个预测器逐个评估模型,从TV开始。
# For TV
model_TV = sm.ols('sales ~ TV', ad).fit()
evaluateModel(model_TV)
RSS = 2102.5305831313512
R^2 = 0.611875050850071
# For radio
model_radio = sm.ols('sales ~ radio', ad).fit()
evaluateModel(model_radio)
RSS = 3618.479549025088
R^2 = 0.33203245544529525
# For newspaper
model_newspaper = sm.ols('sales ~ newspaper', ad).fit()
evaluateModel(model_newspaper)
RSS = 5134.804544111939
R^2 = 0.05212044544430516
我们观察到model_TV, RSS和R²最小值是最在所有的模型。因此,我们选择model_TV作为向前基础模型。现在,我们将逐个添加广播和报纸,并检查新值。
# For TV & radio
model_TV_radio = sm.ols('sales ~ TV + radio', ad).fit()
evaluateModel(model_TV_radio)
RSS = 556.9139800676184
R^2 = 0.8971942610828957
正如我们所看到的,我们的价值观有了巨大的进步。RSS下降和R²进一步增加,model_TV相比。这是个好兆头。现在我们来看看电视和报纸。
# For TV & newspaper
model_TV_radio = sm.ols('sales ~ TV + newspaper', ad).fit()
evaluateModel(model_TV_newspaper)
RSS = 1918.5618118968275
R^2 = 0.6458354938293271
报纸的加入也提高了报纸的价值,但不如广播的价值高。因此,在这一步,我们将继续电视和广播模型,并将观察当我们添加报纸到这个模型的差异
# For TV, radio & newspaper
model_all = sm.ols('sales ~ TV + radio + newspaper', ad).fit()
evaluateModel(model_all)
RSS = 556.8252629021872
R^2 = 0.8972106381789522
这些值没有任何显著的改进。因此,有必要不添加报纸,并最终确定模型与电视和广播作为选定的功能。所以我们最终的模型可以表示为:
在3D图形中绘制变量TV、radio和sales,我们可以可视化我们的模型如何将回归平面与数据匹配。
希望看完这篇文章后你会对多元线性回归有一个新的理解
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2024/5/4 23:54:56 - 氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!
原标题:氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 啊……啊……啊 两…...
2024/5/4 23:55:06 - 扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!
原标题:扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客!当行业里的某一品项火爆了,就会有很多商家蹭热度,装逼忽悠,最近火爆朋友圈的医用面膜,被沾上了污点,到底怎么回事呢? “比普通面膜安全、效果好!痘痘、痘印、敏感肌都能用…...
2024/5/5 8:13:33 - 「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜
原标题:「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜丽彦妆铁皮石斛医用面膜|石斛多糖无菌修护补水贴19大优势: 1、铁皮石斛:自唐宋以来,一直被列为皇室贡品,铁皮石斛生于海拔1600米的悬崖峭壁之上,繁殖力差,产量极低,所以古代仅供皇室、贵族享用 2、铁皮石斛自古民间…...
2024/5/4 23:55:16 - 丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者
原标题:丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者【公司简介】 广州华彬企业隶属香港华彬集团有限公司,专注美业21年,其旗下品牌: 「圣茵美」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「圣仪轩」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「花茵莳」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「丽彦妆」专注医学护…...
2024/5/4 23:54:58 - 广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!
原标题:广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM流程及注意事项解读: 械字号医用面膜,其实在我国并没有严格的定义,通常我们说的医美面膜指的应该是一种「医用敷料」,也就是说,医用面膜其实算作「医疗器械」的一种,又称「医用冷敷贴」。 …...
2024/5/6 21:42:42 - 械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?
原标题:械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?医用眼膜/械字号眼膜/医用冷敷眼贴 凝胶层为亲水高分子材料,含70%以上的水分。体表皮肤温度传导到本产品的凝胶层,热量被凝胶内水分子吸收,通过水分的蒸发带走大量的热量,可迅速地降低体表皮肤局部温度,减轻局部皮肤的灼…...
2024/5/4 23:54:56 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57