积化和差、和差化积简记

0.前言

今天和大家来分享一个积化和差和差化积的比较方便的记法。

显然是我2-3个月前想出来的，本来想那天种完三角函数就来发的，没想到拖了这么久……

如果您准备继续阅读此文，请确保您已经学过三角函数及和差角公式 (不然你学积化和差和差化积干什么呐)

1.观察

和差化积积化和差之所以难记，最主要的原因还是公式忒多了。

既然我们背不下来这么多公式，那就观察观察它们。

$sinα+sinβ=2sin\dfrac {α+β} 2cos\dfrac {α-β} 2$

$sinα-sinβ=2cos\dfrac {α+β} 2sin\dfrac {α-β} 2$

$cosα+cosβ=2cos\dfrac {α+β} 2cos\dfrac {α-β} 2$

$cosα-cosβ=-2sin\dfrac {α+β} 2sin\dfrac {α-β} 2$

$sinαcosβ=\dfrac 1 2[sin(α+β)+sin(α-β)]$

$cosαsinβ=\dfrac 1 2[sin(α+β)-sin(α-β)]$

$cosαcosβ=\dfrac 1 2[cos(α+β)+cos(α-β)]$

$sinαsinβ=-\dfrac 1 2[cos(α+β)-cos(α-β)]$

正常人应该都能发现，公式右边总是先出现$α+β$，再出现$α-β$。

接着，我们规定sin(或cos)相加(或相减)为一次，sin(或cos)相乘为二次，不难发现，等式右边的次数如果相对左边次数升高，此时系数为2；反之，等式右边次数相对左边降低，系数为1/2。与此同时，我们再规定α(或β)相加(或相减)为单角，相加减后除以二为半角，我们同样可以发现，次数升高势必会带来单角缩为半角，次数降低则保留了原来的角度规模。由此，我们可以得出一个重要的公式特征：系数跟着次数走，升次降角

在已经发现公式特征的基础上，我们只要能较快的得到公式的大体框架，就可以不用考虑过多细节，直接利用特征得到公式。例如我们要是知道$sinα+sinβ$ 对应的等式右边是$sin$与$cos$之积，利用上面得出的特征，和差化积后次数升高，系数跟着走到2，角降至半角，我们不难写出等式的右边。但是这个大体框架该如何得到呢？

我们来回顾一下公式是如何推出的。显然，对于和差化积公式，我们使用了和差角公式，并将$α$代换为$\dfrac {α+β} 2+\dfrac {α-β} 2$，$β$代换为$\dfrac {α+β} 2 - \dfrac {α-β} 2$，然后和差角将其打开整理得到；而对于积化和差公式，我们将同名三角函数的和角、差角公式联立解方程得到。对于两种推法，我们来挖掘一下它们的共同点：都是由和差角公式推来的。所以我们想：那这两种推法能否统一呢？

2.操作

当然能统一的。(不然我写这文章干啥）

为了方便起见，我们对和差角公式进行简化。既然我们关注的是公式的大框架，那我们完全可以略去细节，将其简化如下：

$S_{±}=SC±CS$ $C_{±}=CC∓SS$

前一个±表示角度间的关系，后一个±表示两块整体间的关系。

在此基础上，引入两个符号：

左边的是相减符号，表示箭头指出端做被减整体、指向端做减整体的减法；右边的是相加符号，表示符号下的整体相加。

接着，让我们把这两个符号与简化的公式相结合：

这又表示什么意思呢？根据符号的定义，其实就是将sin的和角与差角公式相加。可别小瞧了这个式子，从中我们可以发现，将$sin$两个公式相加后，±后的整体被抵消了，故我们就能得到$sinαcosβ$的积化和差公式：将$sin(α+β)$与$sin(α-β)$相加(不考虑系数，现在研究公式结构)即可。什么，你说这个$α-β$、$α+β$是哪来的？别忘了，等式左边的下标即代表了这两块整体。类似的，我们也得到了$sinα + sinβ$的和差化积公式，这个符号的最原始的意义即是将两者相加，自然得到了两者的和，由于±后的整体被抵消，就只剩下$sin$与$cos$之积。但请注意，这里的$sin$与$cos$是有顺序的，不要忘记，公式右边总是先出现$α+β$，再出现$α-β$，这就是我们所谓的顺序，因此，我们要在先出现的整体后添上$α+β$，在后出现的整体后添上$α-β$。所以，在这种意义下，简化公式中的SC和CS是不同的，因为它同时代表了顺序。

再看一例：

类似的，它代表两个公式相减，且相减后，±前的整体被抵消了。同样，我们也得到了两组公式：$cosαsinβ$的积化和差公式和$sinα - sinβ$的和差化积公式，仿照上文的讲解，$cosαsinβ$的积化和差公式即是$sin(α+β)$与$sin(α-β)$相减(同样不考虑系数，现在研究公式结构)，且按照箭头的方向，即是前者减去后者；而$sinα - sinβ$的和差化积公式，同样要注意相间的方向，可以发现，此时箭头在+上出发，-上终止，正减负得正，意味着最后得到的结果是正的，同样，你也要注意CS的顺序。

仿照这样的操作方式，请读者自行尝试对C±进行标记并解释，加深对这种操作的理解。

3.步骤

有了上面的内容铺垫，让我们来概括下具体的操作步骤。

首先让我们再来回顾一下，我们主要的原理是通过符号化的标记，得到公式的大体框架，从而利用公式特征对大体框架进行填充。而公式的大体框架由符号化的标记得出。你可能会问，不是有两组公式吗，我选哪一个呢？

稍稍动下脑子，你会发现，其实所谓和差角公式，即是揭示了几个整体之间的关系。既然如此，我们就是要根据我们需要的整体来选择恰当的公式。如我们要得到$sinαcosβ$，放回和差角公式中公式中，它即出自S±，所以我们对S±进行符号化标记。

说到标记，在上文中不知大家有没有发现，在标记的时候，我将相减符号标在前面，相加符号标在后面。什么原因呢？不难发现，被标记的整体都会被抵消掉。由此，我们需要那个整体，就在另一个整体上标记，左边标相减符号，右边就是相加符号。

所以，具体的操作步骤如下：

• 由我们需要的整体，选择合适的公式
• 对该公式进行符号化标记
• 将符号化的标记转为公式的大体框架
• 由公式特征将大体框架的细节填充完整

4.应用

下面对每个公式应用此方法进行推理并做适当解释。

$sin$相加⇒选择S±，用加法符号标记⇒CS被划去，剩下SC，将公式填写完整

$sin$相减⇒选择S±，用减法符号标记⇒SC被划去，剩下CS，将公式填写完整

注：和差化积公式中，减法符号只能从上往下标记，此时与之对应的S±(或C±)中为进行换元后的$α$、$β$，它们顺序已经固定了

$cos$相加⇒选择C±，用加法符号标记⇒SS被划去，剩下CC，将公式填写完整

$cos$相减⇒选择C±，用减法符号标记⇒CC被划去，剩下SS，将公式填写完整

注：此时负减正得负，故需要负号

$sin$$cos$相乘⇒选择S±⇒划去CS，使用加法符号，将公式填写完整

$cos$$sin$相乘⇒选择S±⇒划去SC，使用减法符号，将公式填写完整

$cos$$cos$相乘⇒选择C±⇒划去SS，使用加法符号，将公式填写完整

$sin$$sin$相乘⇒选择C±⇒划去CC，使用减法符号，将公式填写完整

注：此时负减正得负，故需要负号

但是积化和差公式中减法符号更为灵活，可以按着正负来标，如下：

由于此时与之对应的S±(或C±)中为原先的$α+β$，$α-β$，此时顺序可以随意调换，故可以用正的减去负的，注意对应关系即可。

公式打的我眼都要花了TAT

5.意义

我觉得，这篇文章的意义不应停留在记住和差化积积化和差公式上。

其实回顾整个过程，我们其实是通过观察和符号的规定来简化了这几组公式。

大师有言，“什么东西都是可以迁移的”，这不禁让我想起一句话，“符号的规定往往会为发展提供便利”。在日常学习研究中，我们也可以去创造便于自己的符号体系，便于我们对更高层面的知识更好的建构、研究。

观察更是我们需具有的，不仅是为解决问题提供便利，更是一个人内在品质的体现。做个有心人吧，去观察、去发现、去体悟、去享受。

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本文到这里就结束了，有什么问题，亦或好的想法，也请一起来讨论吧。

如果这篇文章能帮到苦于记背积化和差和差化积的你，便是笔者最大的荣幸。