通用思路团灭打家劫舍问题
有读者私下问我 LeetCode 「打家劫舍」系列问题(英文版叫 House Robber)怎么做,我发现这一系列题目的点赞非常之高,是比较有代表性和技巧性的动态规划题目,今天就来聊聊这道题目。
打家劫舍系列总共有三道,难度设计非常合理,层层递进。第一道是比较标准的动态规划问题,而第二道融入了环形数组的条件,第三道更绝,把动态规划的自底向上和自顶向下解法和二叉树结合起来,我认为很有启发性。如果没做过的朋友,建议学习一下。
下面,我们从第一道开始分析。
House Robber I
public int rob(int[] nums);
题目很容易理解,而且动态规划的特征很明显。我们前文「动态规划详解」做过总结,解决动态规划问题就是找「状态」和「选择」,仅此而已。
假想你就是这个专业强盗,从左到右走过这一排房子,在每间房子前都有两种选择:抢或者不抢。
如果你抢了这间房子,那么你肯定不能抢相邻的下一间房子了,只能从下下间房子开始做选择。
如果你不抢这件房子,那么你可以走到下一间房子前,继续做选择。
当你走过了最后一间房子后,你就没得抢了,能抢到的钱显然是 0(base case)。
以上的逻辑很简单吧,其实已经明确了「状态」和「选择」:你面前房子的索引就是状态,抢和不抢就是选择。
在两个选择中,每次都选更大的结果,最后得到的就是最多能抢到的 money:
// 主函数
public int rob(int[] nums) {return dp(nums, 0);
}
// 返回 nums[start..] 能抢到的最大值
private int dp(int[] nums, int start) {if (start >= nums.length) {return 0;}int res = Math.max(// 不抢,去下家dp(nums, start + 1), // 抢,去下下家nums[start] + dp(nums, start + 2));return res;
}
明确了状态转移,就可以发现对于同一 start 位置,是存在重叠子问题的,比如下图:
盗贼有多种选择可以走到这个位置,如果每次到这都进入递归,岂不是浪费时间?所以说存在重叠子问题,可以用备忘录进行优化:
private int[] memo;
// 主函数
public int rob(int[] nums) {// 初始化备忘录memo = new int[nums.length];Arrays.fill(memo, -1);// 强盗从第 0 间房子开始抢劫return dp(nums, 0);
}// 返回 dp[start..] 能抢到的最大值
private int dp(int[] nums, int start) {if (start >= nums.length) {return 0;}// 避免重复计算if (memo[start] != -1) return memo[start];int res = Math.max(dp(nums, start + 1), nums[start] + dp(nums, start + 2));// 记入备忘录memo[start] = res;return res;
}
这就是自顶向下的动态规划解法,我们也可以略作修改,写出自底向上的解法:
int rob(int[] nums) {int n = nums.length;// dp[i] = x 表示:// 从第 i 间房子开始抢劫,最多能抢到的钱为 x// base case: dp[n] = 0int[] dp = new int[n + 2];for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {dp[i] = Math.max(dp[i + 1], nums[i] + dp[i + 2]);}return dp[0];
}
我们又发现状态转移只和 dp[i] 最近的两个状态有关,所以可以进一步优化,将空间复杂度降低到 O(1)。
int rob(int[] nums) {int n = nums.length;// 记录 dp[i+1] 和 dp[i+2]int dp_i_1 = 0, dp_i_2 = 0;// 记录 dp[i]int dp_i = 0; for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {dp_i = Math.max(dp_i_1, nums[i] + dp_i_2);dp_i_2 = dp_i_1;dp_i_1 = dp_i;}return dp_i;
}
以上的流程,在我们「动态规划详解」中详细解释过,相信大家都能手到擒来了。我认为很有意思的是这个问题的 follow up,需要基于我们现在的思路做一些巧妙的应变。
House Robber II
这道题目和第一道描述基本一样,强盗依然不能抢劫相邻的房子,输入依然是一个数组,但是告诉你这些房子不是一排,而是围成了一个圈。
也就是说,现在第一间房子和最后一间房子也相当于是相邻的,不能同时抢。比如说输入数组 nums=[2,3,2],算法返回的结果应该是 3 而不是 4,因为开头和结尾不能同时被抢。
这个约束条件看起来应该不难解决,我们前文「单调栈解决 Next Greater Number」说过一种解决环形数组的方案,那么在这个问题上怎么处理呢?
首先,首尾房间不能同时被抢,那么只可能有三种不同情况:要么都不被抢;要么第一间房子被抢最后一间不抢;要么最后一间房子被抢第一间不抢。
那就简单了啊,这三种情况,那种的结果最大,就是最终答案呗!不过,其实我们不需要比较三种情况,只要比较情况二和情况三就行了,因为这两种情况对于房子的选择余地比情况一大呀,房子里的钱数都是非负数,所以选择余地大,最优决策结果肯定不会小。
所以只需对之前的解法稍作修改即可:
public int rob(int[] nums) {int n = nums.length;if (n == 1) return nums[0];return Math.max(robRange(nums, 0, n - 2), robRange(nums, 1, n - 1));
}// 仅计算闭区间 [start,end] 的最优结果
int robRange(int[] nums, int start, int end) {int n = nums.length;int dp_i_1 = 0, dp_i_2 = 0;int dp_i = 0;for (int i = end; i >= start; i--) {dp_i = Math.max(dp_i_1, nums[i] + dp_i_2);dp_i_2 = dp_i_1;dp_i_1 = dp_i;}return dp_i;
}
至此,第二问也解决了。
House Robber III
第三题又想法设法地变花样了,此强盗发现现在面对的房子不是一排,不是一圈,而是一棵二叉树!房子在二叉树的节点上,相连的两个房子不能同时被抢劫,果然是传说中的高智商犯罪:
整体的思路完全没变,还是做抢或者不抢的选择,去收益较大的选择。甚至我们可以直接按这个套路写出代码:
Map<TreeNode, Integer> memo = new HashMap<>();
public int rob(TreeNode root) {if (root == null) return 0;// 利用备忘录消除重叠子问题if (memo.containsKey(root)) return memo.get(root);// 抢,然后去下下家int do_it = root.val+ (root.left == null ? 0 : rob(root.left.left) + rob(root.left.right))+ (root.right == null ? 0 : rob(root.right.left) + rob(root.right.right));// 不抢,然后去下家int not_do = rob(root.left) + rob(root.right);int res = Math.max(do_it, not_do);memo.put(root, res);return res;
}
这道题就解决了,时间复杂度 O(N),N 为数的节点数。
但是这道题让我觉得巧妙的点在于,还有更漂亮的解法。比如下面是我在评论区看到的一个解法:
int rob(TreeNode root) {int[] res = dp(root);return Math.max(res[0], res[1]);
}/* 返回一个大小为 2 的数组 arr
arr[0] 表示不抢 root 的话,得到的最大钱数
arr[1] 表示抢 root 的话,得到的最大钱数 */
int[] dp(TreeNode root) {if (root == null)return new int[]{0, 0};int[] left = dp(root.left);int[] right = dp(root.right);// 抢,下家就不能抢了int rob = root.val + left[0] + right[0];// 不抢,下家可抢可不抢,取决于收益大小int not_rob = Math.max(left[0], left[1])+ Math.max(right[0], right[1]);return new int[]{not_rob, rob};
}
时间复杂度 O(N),空间复杂度只有递归函数堆栈所需的空间,不需要备忘录的额外空间。
你看他和我们的思路不一样,修改了递归函数的定义,略微修改了思路,使得逻辑自洽,依然得到了正确的答案,而且代码更漂亮。这就是我们前文「不同定义产生不同解法」所说过的动态规划问题的一个特性。
实际上,这个解法比我们的解法运行时间要快得多,虽然算法分析层面时间复杂度是相同的。原因在于此解法没有使用额外的备忘录,减少了数据操作的复杂性,所以实际运行效率会快。
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置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57