线段树（区间树）

首先来看我们为什么需要使用线段树，可以来看一个经典问题，区间查询，使用线段树可以优化时间复杂度，使用数组实现为O（n），而使用线段树为O（lgn）。

对于查询，查询一个区间的最大值，最小值，或者区间数字和，都可看做是左右两孩子的融合过程，所以在实现上依然可以使用递归

由下图可以看出线段树不是完全二叉树，它是一个平衡二叉树，何为平衡二叉树？
它或者是一颗空树，或者具有以下性质的二叉树：它的左子树和右子树的深度之差(平衡因子)的绝对值不超过1，且它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树。
那么如果该区间有n个节点，数组表示需要多少节点（需要多大空间）？
由下图可看出，需要4n的空间，才可装下线段树，可能会有大半空间被浪费

基本结构

public interface Merger<E> {E merge(E a, E b);
}public class SegmentTree<E> {private E[] tree;//存放线段树的数组private E[] data;//存放输入的数组private Merger<E> merger;//融合器，融合左右孩子public int getSize(){return data.length;}public E get(int index){if(index < 0 || index >= data.length)throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");return data[index];}// 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引private int leftChild(int index){return 2*index + 1;}// 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引private int rightChild(int index){return 2*index + 2;}@Overridepublic String toString(){StringBuilder res = new StringBuilder();res.append('[');for(int i = 0 ; i < tree.length ; i ++){if(tree[i] != null)res.append(tree[i]);elseres.append("null");if(i != tree.length - 1)res.append(", ");}res.append(']');return res.toString();}public SegmentTree(E[] arr, Merger<E> merger){this.merger = merger;data = (E[])new Object[arr.length];for(int i = 0 ; i < arr.length ; i ++){data[i] = arr[i];}tree = (E[])new Object[4 * arr.length];buildSegmentTree(0, 0, arr.length - 1);}

构建线段树

思路：线段树是树，当然具有递归结构，这里先看递归终止条件，
当递归到叶子节点时，递归终止，所以当l=r时，递归终止，这里还要借助mid，然后递归左孩子和右孩子，最后再融合。

 // 在treeIndex的位置创建表示区间[l...r]的线段树private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r){if(l == r){tree[treeIndex] = data[l];return;}int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);// int mid = (l + r) / 2;int mid = l + (r - l) / 2;buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);}

查询

这里要分类讨论，查询区间左边界大于中间值，查询右边界小于等于中间值，查询区间包括中间值三种情况

// 返回区间[queryL, queryR]的值public E query(int queryL, int queryR){if(queryL < 0 || queryL >= data.length ||queryR < 0 || queryR >= data.length || queryL > queryR)throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");return query(0, 0, data.length - 1, queryL, queryR);}// 在以treeIndex为根的线段树中[l...r]的范围里，搜索区间[queryL...queryR]的值private E query(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR){if(l == queryL && r == queryR)return tree[treeIndex];int mid = l + (r - l) / 2;// treeIndex的节点分为[l...mid]和[mid+1...r]两部分int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);if(queryL >= mid + 1)return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);else if(queryR <= mid)return query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);E leftResult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);return merger.merge(leftResult, rightResult);}

更新

// 将index位置的值，更新为epublic void set(int index, E e){if(index < 0 || index >= data.length)throw new IllegalArgumentException("Index is illegal");data[index] = e;set(0, 0, data.length - 1, index, e);}// 在以treeIndex为根的线段树中更新index的值为eprivate void set(int treeIndex, int l, int r, int index, E e){if(l == r){tree[treeIndex] = e;return;}int mid = l + (r - l) / 2;// treeIndex的节点分为[l...mid]和[mid+1...r]两部分int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);if(index >= mid + 1)set(rightTreeIndex, mid + 1, r, index, e);else // index <= midset(leftTreeIndex, l, mid, index, e);tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);}

基于线段树的LEETCODE问题

【307】区域和检索—数组可修改
给定一个整数数组 nums，求出数组从索引 i 到 j (i ≤ j) 范围内元素的总和，包含 i, j 两点。

update(i, val) 函数可以通过将下标为 i 的数值更新为 val，从而对数列进行修改。

示例:

Given nums = [1, 3, 5]

sumRange(0, 2) -> 9
update(1, 2)
sumRange(0, 2) -> 8

这里我们用我们写好的线段树来实现

 private SegmentTree<Integer> segTree;
public NumArrayComplete(int[] nums) {if(nums.length != 0){Integer[] data = new Integer[nums.length];for(int i = 0 ; i < nums.length ; i ++)data[i] = nums[i];segTree = new SegmentTree<>(data, (a, b) -> a + b);}}public void update(int i, int val) {if(segTree == null)throw new IllegalArgumentException("Error");segTree.set(i, val);}public int sumRange(int i, int j) {if(segTree == null)throw new IllegalArgumentException("Error");return segTree.query(i, j);}```