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微分的概念（y的微增量）

|| 引入微分概念的的背景：
具体问题，当原长为x0正方形边长增加△x，则正方形的面积S(x) = x² 的增量为：2△xx0 + （△x）²
又因为第二部分的△x²是关于△x的高阶无穷小量，因此正方形的面积增量可以近似为第一部分2△xx0
，其产生的误差就是一个关于2△x*x0的高阶无穷小量（即边长为△x的小正方形面积）

|| 定义一：在一点上微分的定义
设函数y=f(x) 定义在x0的某邻域U（x0），当给x一个增量△x（△x + x ∈U（x0)）时，相应的y的增量为 △y =f(x0 + △x) - f(x0)。若存在常数使得△y = A△x + o(△x)，则称函数在x0上可微，并称第一项A△x为 f 在点x0处的微分，记作：d（y）

（注意：微分就是当在△x–>0的情况下的△y的近似值dy。dx，dy可以理解为x，y的微增量（微小的△x，△y）

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可微性和可导性的关系

|| 定理1：可微性和可导性的关系定理
函数f在x0上可微的充要条件是函数 f 在x0上可导

|| 注意一：常数A = f '(x0)
根据导数中的有限增量公式 △y = f '(x0) △x + o(△x), 比较△y = A△x + o(△x)，可以得到
dy = f '(x0) △x，即A就是 f 在x0上的导数

|| 注意二：函数在一点上的导数，就是在该点上y的微分和x的微分的比值，又称微商【微商？doge】
若将自变量x的增量△x看成自变量的微分dx，那么有dy = f '(x0) △x 可写成 dy = f '(x0) dx，故有f '(x) = dy / dx = lim_△x–>0(△y/△x)。

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微分的运算

一阶微分的运算法则（类比导数的运算法则）

|| 一阶微分形式的不变性 — 针对复合函数的微分式
针对第4个法则，由于du = g ’ (x)dx，故也可以写作dy = f‘（u）du；我们得出结论：dy = f’(x0)dx 不仅在x为自变量时成立，当x为可微函数时同样也成立，这称作一阶微分形式的不变性

高阶微分的运算法则

|| f 的二阶微分公式： d²y = f⁽²⁾(x)dx²
（注意：d²x指的是x的二阶微分，dx²指的是dx*dx，d（x²）指的是x²的一阶微分）

|| f 的n阶微分公式： dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ

|| 复合函数高阶微分的运算
同一阶微分运算法则，但是对于复合函数的高阶微分将不再具有 “一阶微分形式不变性”

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微分的一些应用

|| 相对误差计算

|| 函数的近似运算