傅里叶变换将信号分解为正弦波,离散傅里叶变换DFT基于数字信号。real DFT是将输入输出信号都用实数表示,一般用复数DFT,但实数DFT是基础。

傅里叶变换族

傅里叶变换是傅里叶在研究热传导时发现的,他提出用正弦波代表温度分布并向法兰西学会提交论文。但当时的法兰西学会权威拉格朗日对此理论并不赞成,拉格朗日认为傅里叶的方法不能代表非连续信号。实际上拉格朗日某些条件下是对的,因为正弦波之和确实无法表示非连续信号,但却可以无限接近,即两者能量无限接近。这种现象叫做吉布斯效应。当信号为离散信号时傅里叶分解完全成立,拉格朗日所拒绝的是连续信号。

一个16点长度信号被分解为正弦信号和余弦信号,如下图所示:


如上图所示傅里叶分解将此信号分解为9个正弦信号和9个余弦信号。每个都有不同的幅度和频率。至于为何选用正弦波而不是三角波或者方波进行分解,这主要正弦信号特有的特性:正弦信号保真度。正弦信号输入到一个系统中其输出仍为正弦信号,其频率和波形保持不变,只有其幅度和相位发生改变。正弦曲线是唯一有此特性的波。

傅里叶变换可以根据4种不同信号分为4类,信号可以是离散或者连续的,也可能是周期的或者非周期的。因此可以分为以下4类:

非周期连续
这种信号傅里叶变换简单的叫做傅里叶变换FT

周期连续

这种信号傅里叶变换叫做傅里叶级数FS

非周期离散

这种信号傅里叶变换叫做离散时间傅里叶变换DTFT

周期离散

这种信号傅里叶变换叫做离散傅里叶变换DFT

这四种信号都延伸到正负无穷,是否有信号傅里叶变换可以转换有限长度信号?答案是没有,因为正弦波和余弦波都是延伸到无穷。你不能将一组无穷长度信号组合成一个有限长度信号。那处理有限长度信号时将其认为无线长度信号即可。如果将有限长度信号没有值的位置都认为是0则信号是离散非周期的,可以用DTFT;如果将没有值的位置认为是有信号位置处的简单复制,则信号可以认为是周期离散这时可以用DFT。实际上,对于非周期信号需要无限多个正弦波和余弦波来合成,因此实际在计算机算法中DTFT是不可能的。在实际应用中唯一可用的是DFT。



对于第一个例子16个点的傅里叶变换,将其认为是16个点正弦波的合成的16个点的信号或者是由无限长正弦波合成的无限长周期信号是否有区别?一般来说没区别,但某些情况下会有所不同。

Real DFT

N点输入信号经过实数傅里叶变换转换为两个N/2+1点的输出信号。输入信号包含将要被分解的信号,两个输出信号包含正弦和余弦波分量的幅度。输入信号认为是时域信号因为一般是时域采样获得。频域用来描述正弦和余弦波的幅度。

频域和时域包含相同信息,只是不同的表现形式。给定一个域的信号就可以计算出另外一个。假如给定时域信号,计算频域信号的过程叫做分解、分析或者前向DFT。如果知道频域信号,计算时域信号叫做综合或者反向DFT。

频域中频率的表示

频域横坐标轴有4种不同表示方法:

1、0~N/2写程序者喜欢这一做法

2、分数采样率f范围0~0.5,因为离散数据可以包含DC到1/2采样率的频率。f=k/N。

3、自然频率w,将f乘以2π得到。数学家喜欢这种方法。

4、模拟频率,直观对应实际世界的意义。

DFT基函数

DFT中用到的正弦波和余弦波叫做DFT基函数。换句话说,DFT的输出是一组代表幅度的数。基函数是一组单位幅度的正弦波和余弦波。将这些正余弦波幅度设置为合适幅度将其相加就可以得到时域信号。


如下图例子


c1[]是在N点中有一个完整周期的的余弦函数,c5[]是在N点中有5个完整周期的余弦函数。频率参数k等于N点信号的周期数。

如图c0[]值恒为1,他代表直流偏置DC offset。s0[]全零不影响时域信号。c16[]在+1和-1之间变换,采样连续正弦波的峰值。s16[]为全零。因此N点DFT输入,虽然输出有N+2个sample,但是有两个为全零即不包含任何信息。

综合,计算逆DFT(IDFT)

综合方程

N点信号x[i]可以通过将N/2+1个余弦波和N/2+1个余弦波相加获得。正弦和余弦波的幅度乘以基函数并将这些相加就产生时域信号。注意综合所需的幅度与频域信号的幅度有些许不同。


下图给出了IDFT的例子,显示了频域幅度和与需要综合的幅度的差异,a是一个幅度为32的脉冲,b是a的频率响应,频率响应实部是恒定值32,虚部全为0。这是一个重要的DFT变换对,时域麦种对应于频域的恒定值。a和b是DFT变换对。将b中频域信号转换为需要综合的余弦波的幅度。

至于频域幅度和正弦波幅度为何有差异,那是因为频域根据谱密度定义。


分析,计算DFT

DFT可以根据三种完全不同的方法计算。第一种方法是联立方程法,这种方法对于理解DFT有益,但实际应用来说效率太低。第二种方法是相关,这种方法基于在另一种信号中检测已知的波形。第三种方法是快速傅里叶变换FFT。FFT算法将N点DFT转换为N个单点DFT。实际应用中DFT点数少于32点时用相关法,其他情况都用FFT法。

联立方程计算DFT

时域N个值计算频域N个值(忽略2个比为0的频域值),对于N个未知数需要N个线性独立方程。将每个正弦波第一个采样点相加得到时域第一个采样点也即第一个方程,同样方法可以总共得到N个方程。

相关法计算DFT

计算DFT的标准方法。假如我们想要计算64点的DFT,我们需要计算频域实部的33个点和虚部的33个点。假设对于虚部的ImX[3],表示要知道在0~63点之间三个完整周期正弦波的幅度。其他频域值的计算也类似。

下图阐述了用相关法计算ImX[3],上面两个显示了两个时域信号x1[]和x2[],x1[]表示一个0-63点包含三个周期的正弦波,作为对比x2[]包括几个正弦和余弦波,这些组成中不包括0-63点有三个周期的正余弦波。这两个信号阐述了计算ImX[3]的算法过程。对于x1[],算法产生值32,也即正弦波代表的信号幅度。作为对比,对于x2[],算法产生0,也意味着这个特殊的正弦波没在这个信号中出现。

相关的概念是将两个信号相乘并将所有点相加代表了一直波形在另一个信号的存在情况。这个过程的结果代表了两个信号的相似度。中间两个图显示了我们想要得到的信号即在采样点0~63有三个周期的正弦波。最下面图显示了两者的乘积。


频域其他采样点也用相同的方法计算。


分析方程不需要对第一个和最后一个点做特殊处理。但是对于虚部需要有个负号,负号是为了使实数DFT与复数DFT一致。为了使相关算法工作,基函数必须互不相关,也即正交。

二元性

综合和分析方程非常相似。为了从一个域转换到另一个域,将已知的值乘以基函数并且将结果相加。两个方程最大的区别是时域是N点信号,而频域是两个N/2+1点信号。而对于复数DFT时域频域都是包含N点。这样两个域就完全对称。二元性也带来一些有趣的性质,比如时域的一个点对应于频域的正弦波,反过来也成立即频域的一个点对应于时域的正弦波。另外一个例子是时域卷积对应于频域相乘,同时频域卷积对应于时域相乘。

极坐标表示

如前面描述频域是一组正余弦波的幅度表示,这种表示叫做矩形表示,频域也可以极坐标形式表示。即原来的实部和虚部表示可以转换为幅度和相位表示。实部和虚部与幅度和相位的样点是一一对应的。


矩形表示和极坐标表示是等价的不会损失任何信息。


矩形和极坐标表示可以让你用两种方法来考虑DFT。在矩形表示中DFT将N点信号分解为N/2+1个正弦波和N/2+1个余弦波,每一个有特定的幅度。在极坐标表示中,DFT将N点信号分解为N/2+1个余弦波形,每一个有特定的幅度和相移。对于极坐标表示为什么不用正弦波代替余弦波,因为正弦波不能表示直流分量DC。

尽管极坐标和矩形表示包含相同信息但很多例子表明一种表示会更好用。


矩形表示适合用来计算,作为对比图形表示一般用极坐标形式。为何频域表示更易懂?这也是为何将信号分解为正弦波形式有意义。如果将正弦波输入到线性系统,输出也将是同频率正弦波,只有幅度和相位发生改变。系统也可以用来表示他们如何改变每个正弦波的幅度和相位。而对于矩形表示,正弦波和余弦波进入线性系统,一个正弦波输入可能输出既有正弦波也有余弦波。

极坐标表示的缺点

弧度和度数

radians -π~π

degree -180~180

除以0的错误

当从矩形形式转换到极坐标形式时,实部为0而虚部非0时相位为90度或者-90度,但是求arctan时除数为0.为避免这个问题,如果实部为0检查虚部的正负来确定相位。或者是将实部置为一个非常小的数来进行后续的除法。

不正确的arctan

ReX=1,ImX=1则Phase=45°,ReX=-1,ImX=-1则Phase=135°,但是直接求arctan时两者都为45°。实际计算完arctan后再根据实部和虚部的正负进行调整。

幅度非常小时的相位

幅度太小,舍入误差导致相位无意义。


2π相位模糊


幅度总为正(π相位模糊)


幅度总为正值,当实部小于0时,幅度将相位改变π保持正值。一种方法是允许幅度有负值,这样幅度与实部相同值。相位为全0。用unwrapped 幅度表示允许有负值的幅度。





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    原标题:氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 啊……啊……啊 两…...

    2024/3/27 7:12:50
  20. 扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!

    原标题:扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客!当行业里的某一品项火爆了,就会有很多商家蹭热度,装逼忽悠,最近火爆朋友圈的医用面膜,被沾上了污点,到底怎么回事呢? “比普通面膜安全、效果好!痘痘、痘印、敏感肌都能用…...

    2024/3/24 20:11:13
  21. 「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜

    原标题:「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜丽彦妆铁皮石斛医用面膜|石斛多糖无菌修护补水贴19大优势: 1、铁皮石斛:自唐宋以来,一直被列为皇室贡品,铁皮石斛生于海拔1600米的悬崖峭壁之上,繁殖力差,产量极低,所以古代仅供皇室、贵族享用 2、铁皮石斛自古民间…...

    2024/3/26 11:21:23
  22. 丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者

    原标题:丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者【公司简介】 广州华彬企业隶属香港华彬集团有限公司,专注美业21年,其旗下品牌: 「圣茵美」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「圣仪轩」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「花茵莳」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「丽彦妆」专注医学护…...

    2024/3/28 18:26:34
  23. 广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!

    原标题:广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM流程及注意事项解读: 械字号医用面膜,其实在我国并没有严格的定义,通常我们说的医美面膜指的应该是一种「医用敷料」,也就是说,医用面膜其实算作「医疗器械」的一种,又称「医用冷敷贴」。 …...

    2024/3/28 12:42:28
  24. 械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?

    原标题:械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?医用眼膜/械字号眼膜/医用冷敷眼贴 凝胶层为亲水高分子材料,含70%以上的水分。体表皮肤温度传导到本产品的凝胶层,热量被凝胶内水分子吸收,通过水分的蒸发带走大量的热量,可迅速地降低体表皮肤局部温度,减轻局部皮肤的灼…...

    2024/3/28 20:09:10
  25. 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...

    解析如下&#xff1a;1、长按电脑电源键直至关机&#xff0c;然后再按一次电源健重启电脑&#xff0c;按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后&#xff0c;按住“winR”打开运行窗口&#xff0c;输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面&#xff0c;选中…...

    2022/11/19 21:17:18
  26. 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。

    %读入6幅图像&#xff08;每一幅图像的大小是564*564&#xff09; f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...

    2022/11/19 21:17:16
  27. 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...

    win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面&#xff0c;在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机&#xff0c;虽然这比较麻烦&#xff0c;但是对系统进行配置和升级…...

    2022/11/19 21:17:15
  28. 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...

    有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows&#xff0c;请勿关闭计算机”的提示&#xff0c;要过很久才能进入系统&#xff0c;有的用户甚至几个小时也无法进入&#xff0c;下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法&#xff1a;我们首先在左下角的“开始…...

    2022/11/19 21:17:14
  29. win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...

    置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题&#xff0c;电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update&#xff0c;请勿关机”(如下图所示)&#xff0c;而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢&#xff1f;一切都是正常操作的&#xff0c;为什么开时机呈现“正…...

    2022/11/19 21:17:13
  30. 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...

    Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示&#xff0c;没过几秒后电脑自动重启&#xff0c;每次开机都这样无法进入系统&#xff0c;此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一&#xff1a;开机按下F8&#xff0c;在出现的Windows高级启动选…...

    2022/11/19 21:17:12
  31. 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...

    有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况&#xff0c;就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机&#xff0c;碰到这样的问题该怎么解决呢&#xff0c;现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法&#xff1a;1、2、依次…...

    2022/11/19 21:17:11
  32. 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...

    今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后&#xff0c;每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面&#xff0c;提示请勿关闭计算机”&#xff0c;每次停留好几分钟才能正常关机&#xff0c;导致什么情况引起的呢&#xff1f;出现配置Windows Update…...

    2022/11/19 21:17:10
  33. 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...

    只能是等着&#xff0c;别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚&#xff0c;只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一&#xff1a;管理员运行cmd&#xff1a;net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...

    2022/11/19 21:17:09
  34. 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?

    原标题&#xff1a;电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办&#xff1f;win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢&#xff1f;一般的方…...

    2022/11/19 21:17:08
  35. 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...

    关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 &#xff0c;然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容&#xff0c;让我们赶快一起来看一下吧&#xff01;关机提示 windows7 正在配…...

    2022/11/19 21:17:05
  36. 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...

    钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...

    2022/11/19 21:17:05
  37. 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...

    前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了&#xff0c;具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面&#xff0c;长时间没反应&#xff0c;无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过&#xff0c;网上搜了不少资料&#x…...

    2022/11/19 21:17:04
  38. 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...

    本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法&#xff0c;并在最后教给你1种保护系统安全的好方法&#xff0c;一起来看看&#xff01;电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中&#xff0c;添加了1个新功能在“磁…...

    2022/11/19 21:17:03
  39. 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...

    许多用户在长期不使用电脑的时候&#xff0c;开启电脑发现电脑显示&#xff1a;配置windows更新失败&#xff0c;正在还原更改&#xff0c;请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢&#xff1f;下面小编就带着大家一起看看吧&#xff01;如果能够正常进入系统&#xff0c;建议您暂时移…...

    2022/11/19 21:17:02
  40. 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...

    配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#xff0c;电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容&#xff0c;让我们赶快一起来看一下吧&#xff01;配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...

    2022/11/19 21:17:01
  41. 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...

    不知道大家有没有遇到过这样的一个问题&#xff0c;就是我们的win7系统在关机的时候&#xff0c;总是喜欢显示“准备配置windows&#xff0c;请勿关机”这样的一个页面&#xff0c;没有什么大碍&#xff0c;但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机&#xff0c;非常…...

    2022/11/19 21:17:00
  42. 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...

    当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时&#xff0c;一般是您正对windows进行升级&#xff0c;但是这个要是长时间没有反应&#xff0c;我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了&#xff0c;来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...

    2022/11/19 21:16:59
  43. 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...

    我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况&#xff0c;当我们打开电脑之后&#xff0c;发现一直停留在一个界面&#xff1a;“配置Windows Update失败&#xff0c;还原更改请勿关闭计算机”&#xff0c;等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢&#xff0…...

    2022/11/19 21:16:58
  44. 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”

    Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...

    2022/11/19 21:16:57