（注：这个感觉还是写得不清楚，很有机会再重新一个）

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。

三级形式的傅里叶级数：$x (t) = a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n˙\omega_{} t))$，需要满足Dirichlet
condition。傅里叶级数仅适用周期信号，傅里叶系数$(a_i, b_i)$又叫离散频谱。

其中

$\begin{array}{rcl}T & = & \frac{2 \pi}{w}\\a_0 & = & \frac{1}{T} \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x (t){\operatorname{dt}}\\a_n & = & \frac{2}{T} \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x (t) \cos (n\omega t) {\operatorname{dt}}\\b_n & = & \frac{2}{T} \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x (t) \sin (n\omega t) {\operatorname{dt}} \end{array}$

由

$\begin{array}{rcl}e^{it} & = & \cos t + i \cdot \sin t\\e^{- it} & = & \cos t - i \sin t \end{array}$

可得

$\begin{array}{rcl}\cos (n \omega t) & = & \frac{e^{in \omega t} + e^{- in \omega t}}{2 t}\\\sin (n \omega t) & = & \frac{e^{in \omega t} - e^{- in \omega t}}{2 t} \end{array}$

复指数形式的傅里叶级数：$x (t) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} C_n e^{in \omega t}$

其中，$C_n = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x (t) e^{inwt}˙{\operatorname{dt}}$

那非周期信号呢？可以看成周期无限大的周期信号。此时，$w = \frac{2 \pi}{T} \rightarrow 0, C_n \rightarrow 0$

频谱密度系数：$x (n \omega) = C_n T = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x (t)˙e^{{\operatorname{in}}wt} {\operatorname{dt}}$

傅里叶变换：$x (\omega) = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x (t) e^{iwt}˙{\operatorname{dt}}$

逆傅里叶变换：$x (t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} x (\omega) e^{i \omega t}˙d \omega$

注意：$\Delta e^{- i \omega t} = - \omega^2 e^{- i \omega t}$，其中$\Delta$是拉普拉斯算子

傅里叶变换将信号从时域空间转换到频域空间。

图傅里叶变换将图信号由空域（spatial
domain）视角转化到频域（frequency domain）视角。

其实也就是把图上的函数$f$分解为几个基的组合。

$L = V \Lambda V^T = \left[\begin{array}{cccc}\vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\v_1 & v_2 & \ldots & v_N\\\vdots & \vdots & \ldots & \vdots\end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc}\lambda_1 & & & \\& \lambda_2 & & \\& & \ddots & \\& & & \lambda_N\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}\ldots & v_1 & \ldots\\\ldots & v_2 & \ldots\\\ldots & \vdots & \ldots\\\ldots & v_N & \ldots\end{array}\right]$

其中，$V$是正交特征矩阵，$\Lambda$是特征值向量的对角矩阵，即${\operatorname{diag}} (çĽźå¿ĄåĂijåŘŚéĞŔ)$。

图傅里叶变换：$\tilde{x}_k = \sum_{i = 1}^N V_{{\operatorname{ki}}}^T x_i = <˙v_k, x >$，矩阵形式：$\tilde{x} = V^T x$

逆图傅里叶变换：$x_k = \sum_{i = 1}^N V_{{\operatorname{ki}}} \cdot \tilde{x}_i$，矩阵形式：$x = V \tilde{x}$