Eigen(7)-Geometry(几何转换)

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Space transformations

常用

  • 1.旋转矩阵(3X3):Eigen::Matrix3d
  • 2.旋转向量(3X1):Eigen::AngleAxisd
  • 3.四元数(4X1):Eigen::Quaterniond
  • 4.平移向量(3X1):Eigen::Vector3d
  • 5.变换矩阵(4X4):Eigen::Isometry3d
    AngleAxis(angle, axis):绕该轴逆时针旋转angle(rad)。

变换矩阵
Eigen::Isometry3d T;
T.matrix()才是变换矩阵,做运算时需加.matrix()后缀;
T.pretranslate()以及T.prerotate()可以给平移部分和旋转矩阵赋值,但是若循环中使用,末尾不重置变换矩阵的话,这个设置量会累加,而不是覆盖。

四元数赋值:Eigen::Quaterniond Q;
Q.x() = 3 「类似地 Q.y() = Q.z() = Q.w()」

1、 旋转矩阵(R),旋转向量(V)和四元数(Q)在Eigen中转换关系的总结:
在这里插入图片描述
2、旋转矩阵(R),旋转向量(V)和四元数(Q)分别通过自身初始化自己的方式:
R通过自身初始化的方法:

  • 使用旋转矩阵的函数来初始化旋转矩阵
    Matrix3d R1=Matrix3d::Identity();
    cout << “Rotation_matrix1” << endl << R1 << endl;

V通过自身初始化的方法:

  • 使用旋转的角度和旋转轴向量(此向量为单位向量)来初始化角轴
    AngleAxisd V1(M_PI / 4, Vector3d(0, 0, 1));//以(0,0,1)为旋转轴,旋转45度

cout << “Rotation_vector1” << endl << V1.matrix() << endl;

Q通过自身初始化的方法:

  • 使用旋转的角度和旋转轴向量(此向量为单位向量)来初始化四元数,即使用

q=[cos(A/2),n_xsin(A/2),n_ysin(A/2),n_z*sin(A/2)]

Quaterniond Q1(cos((M_PI / 4) / 2), 0 * sin((M_PI / 4) / 2), 0 * sin((M_PI / 4) / 2), 1 * sin((M_PI / 4) / 2));//以(0,0,1)为旋转轴,旋转45度

cout << “Quaternion1” << endl << Q1.coeffs() << endl;

演示代码:

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
#define M_PI 3.1415926
 
using namespace std;
using namespace Eigen;
 
void run_eigen_geometry()
{
 
	//下面三个变量作为下面演示的中间变量
 
	AngleAxisd t_V(M_PI / 4, Vector3d(0, 0, 1));  // 角轴 旋转向量
	Matrix3d t_R = t_V.matrix();                  // 旋转矩阵
	Quaterniond t_Q(t_V);                         // 四元数
 
 
	//对旋转向量(轴角)赋值的三类方法
 
	cout << "对旋转向量(轴角)赋值的三类方法" << endl;
	//1.使用旋转的角度和旋转轴向量(此向量为单位向量)来初始化角轴
	AngleAxisd V1(M_PI / 4, Vector3d(0, 0, 1));//以(0,0,1)为旋转轴,旋转45度
	cout << "Rotation_vector1" << endl << V1.matrix() << endl;
 
	//2.通过旋转矩阵的方式
 
	//2.1 使用旋转向量的fromRotationMatrix()函数来对旋转向量赋值(注意此方法为旋转向量独有,四元数没有)
	AngleAxisd V2;
	V2.fromRotationMatrix(t_R);
	cout << "Rotation_vector2" << endl << V2.matrix() << endl;
 
	//2.2 直接使用旋转矩阵来对旋转向量赋值
	AngleAxisd V3;
	V3 = t_R;
	cout << "Rotation_vector3" << endl << V3.matrix() << endl;
 
	//2.3 使用旋转矩阵来对旋转向量进行初始化
	AngleAxisd V4(t_R);
	cout << "Rotation_vector4" << endl << V4.matrix() << endl;
 
	//3. 使用四元数来对旋转向量进行赋值
 
	//3.1 直接使用四元数来对旋转向量赋值
	AngleAxisd V5;
	V5 = t_Q;
	cout << "Rotation_vector5" << endl << V5.matrix() << endl;
 
	//3.2 使用四元数来对旋转向量进行初始化
	AngleAxisd V6(t_Q);
	cout << "Rotation_vector6" << endl << V6.matrix() << endl;
 
 
	//------------------------------------------------------
 
	//对四元数赋值的三类方法(注意Eigen库中的四元数前三维是虚部,最后一维是实部)
 
	cout << "对四元数赋值的三类方法" << endl;
	//1.使用旋转的角度和旋转轴向量(此向量为单位向量)来初始化四元数,即使用q=[cos(A/2),n_x*sin(A/2),n_y*sin(A/2),n_z*sin(A/2)]
	Quaterniond Q1(cos((M_PI / 4) / 2), 0 * sin((M_PI / 4) / 2), 0 * sin((M_PI / 4) / 2), 1 * sin((M_PI / 4) / 2));//以(0,0,1)为旋转轴,旋转45度
	//第一种输出四元数的方式
	cout << "Quaternion1" << endl << Q1.coeffs() << endl;
 
	//第二种输出四元数的方式
	cout << Q1.x() << endl << endl;
	cout << Q1.y() << endl << endl;
	cout << Q1.z() << endl << endl;
	cout << Q1.w() << endl << endl;
 
	//2. 使用旋转矩阵转四元數的方式
 
	//2.1 直接使用旋转矩阵来对四元数赋值
	Quaterniond Q2;
	Q2 = t_R;
	cout << "Quaternion2" << endl << Q2.coeffs() << endl;
 
 
	//2.2 使用旋转矩阵来对四元數进行初始化
	Quaterniond Q3(t_R);
	cout << "Quaternion3" << endl << Q3.coeffs() << endl;
 
	//3. 使用旋转向量对四元数来进行赋值
 
	//3.1 直接使用旋转向量对四元数来赋值
	Quaterniond Q4;
	Q4 = t_V;
	cout << "Quaternion4" << endl << Q4.coeffs() << endl;
 
	//3.2 使用旋转向量来对四元数进行初始化
	Quaterniond Q5(t_V);
	cout << "Quaternion5" << endl << Q5.coeffs() << endl;
 
	//----------------------------------------------------
 
	//对旋转矩阵赋值的三类方法
	cout << "对旋转矩阵赋值的三类方法" << endl;
	//1.使用旋转矩阵的函数来初始化旋转矩阵
	Matrix3d R1 = Matrix3d::Identity();
	cout << "Rotation_matrix1" << endl << R1 << endl;
 
	//2. 使用旋转向量转旋转矩阵来对旋转矩阵赋值
 
	//2.1 使用旋转向量的成员函数matrix()来对旋转矩阵赋值
	Matrix3d R2;
	R2 = t_V.matrix();
	cout << "Rotation_matrix2" << endl << R2 << endl;
 
	//2.2 使用旋转向量的成员函数toRotationMatrix()来对旋转矩阵赋值
	Matrix3d R3;
	R3 = t_V.toRotationMatrix();
	cout << "Rotation_matrix3" << endl << R3 << endl;
 
	//3. 使用四元数转旋转矩阵来对旋转矩阵赋值
 
	//3.1 使用四元数的成员函数matrix()来对旋转矩阵赋值
	Matrix3d R4;
	R4 = t_Q.matrix();
	cout << "Rotation_matrix4" << endl << R4 << endl;
 
	//3.2 使用四元数的成员函数toRotationMatrix()来对旋转矩阵赋值
	Matrix3d R5;
	R5 = t_Q.toRotationMatrix();
	cout << "Rotation_matrix5" << endl << R5 << endl;
}

演示代码2:eigen_geometry_2.cpp

#include <iostream>
#include <cmath>
#define M_PI 3.1415926
using namespace std;
 
#include <Eigen/Core>
// Eigen 几何模块
#include <Eigen/Geometry>
 
/****************************
* 本程序演示了 Eigen 几何模块的使用方法
****************************/
 
void run_eigen_geometry_2()
{
	//注意一下类型名的最后一个字符为d表示双精度类型,换成f表示单精度类型,两种类型不能混用,必须显示转换
	// Eigen/Geometry 模块提供了各种旋转和平移的表示
	// 3D 旋转矩阵直接使用 Matrix3d 或 Matrix3f
	/****旋转向量****/
 
	// 旋转向量使用 AngleAxis, 它底层不直接是Matrix,但运算可以当作矩阵(因为重载了运算符)
	// 乘以该向量,表示进行一个坐标变换
	//任意旋转可用一个旋转轴和一个旋转角度来表示。
	//旋转向量,旋转向量的方向与旋转轴一致,长度为旋转角度。
	
	/*********************************/
	/*旋转向量 沿 Z 轴旋转 45 度         角度 轴 */
	Eigen::AngleAxisd rotation_vector(M_PI / 4, Eigen::Vector3d(0, 0, 1));   //沿 Z 轴旋转 45 度
	cout.precision(3);
	cout << "rotation matrix =\n" << rotation_vector.matrix() << endl;     //用matrix()转换成矩阵,也可以直接赋值
	
	/*********************************/
	/*旋转矩阵*/
	Eigen::Matrix3d rotation_matrix = Eigen::Matrix3d::Identity();//单位阵
	rotation_matrix = rotation_vector.toRotationMatrix();//转成旋转矩阵 由罗德里格公式进行转换
	
	// 用 AngleAxis 可以进行坐标变换
	Eigen::Vector3d v(1, 0, 0);
	/*************旋转向量进行坐标变换********************/
	Eigen::Vector3d v_rotated = rotation_vector * v;
	cout << "(1,0,0) after rotation = " << v_rotated.transpose() << endl;
	// 或者用旋转矩阵
	/*****************旋转矩阵进行坐标变换****************/
	v_rotated = rotation_matrix * v;
	cout << "(1,0,0) after rotation = " << v_rotated.transpose() << endl;
 
	/**欧拉角表示的旋转**/
	// 欧拉角: 可以将旋转矩阵直接转换成欧拉角
	Eigen::Vector3d euler_angles = rotation_matrix.eulerAngles(2, 1, 0); // ZYX顺序,即roll pitch yaw顺序
	cout << "yaw pitch roll = " << euler_angles.transpose() << endl;
 
	/***欧式变换矩阵表示旋转**/
	// 欧氏变换矩阵使用 Eigen::Isometry
	Eigen::Isometry3d T = Eigen::Isometry3d::Identity();// 虽然称为3d,实质上是4*4的矩阵  齐次坐标
	T.rotate(rotation_vector);                                        // 按照rotation_vector进行旋转
	T.pretranslate(Eigen::Vector3d(1, 3, 4));               // 把平移向量设成(1,3,4)
	cout << "Transform matrix = \n" << T.matrix() << endl;
	// 用变换矩阵进行坐标变换
	Eigen::Vector3d v_transformed = T*v;                              // 相当于R*v+t
	cout << "(1,0,0) after Isometry3d tranformed = " << v_transformed.transpose() << endl;
 
 
	// 对于仿射和射影变换,使用 Eigen::Affine3d 和 Eigen::Projective3d 即可,略
 
 
	/*******四元数表示的旋转***********/
	// 可以直接把AngleAxis赋值给四元数,反之亦然 Quaterniond 表示双精度 四元素 Quaternionf 表示单精度四元素
	Eigen::Quaterniond q = Eigen::Quaterniond(rotation_vector);// 表示沿Z 轴旋转 45 度 的四元素变换 
	cout << "quaternion from AngleAxis rotation_vector = \n" << q.coeffs() << endl;   // 请注意coeffs的顺序是(x,y,z,w),w为实部,前三者为虚部
	// 也可以把旋转矩阵赋给它
	q = Eigen::Quaterniond(rotation_matrix);
	cout << "quaternion from rotation_matrix = \n" << q.coeffs() << endl;
	// 使用四元数旋转一个向量,使用重载的乘法即可
	/*注意程序表达形式和实际运算的不一样*/
	v_rotated = q*v; // 注意数学上是q*v*q^{-1}  而程序为了简化表示 直接使用 q*v代替
	cout << "(1,0,0) after Quaterniond rotation = " << v_rotated.transpose() << endl;
	
	
	
	/*编程题目
	小萝卜1号位姿q1=[0.35,0.2,0.3,0.1],t1=[0.3,0.1,0.1]'   世界坐标系到相机变换
	小萝卜2号位姿q2=[-0.5,0.4,-0.1,0.2],t2=[-0.1,0.5,0.3]'
	小萝卜1号看到位于自身坐标系下p=[0.5,0,0.2]'
	求该向量在小萝卜2号下的坐标
	*/
	Eigen::Quaterniond q1(0.35, 0.2, 0.3, 0.1);//wxyz q1.coeffs()  xyzw  q1.vec()  xyz
	//q1 << 0.35,0.2,0.3,0.1;
	Eigen::Matrix<double, 3, 1> t1;//float类型
	t1 << 0.3, 0.1, 0.1;
	Eigen::Quaterniond q2(-0.5, 0.4, -0.1, 0.2);
	//q2 << -0.5,0.4,-0.1,0.2;
	Eigen::Matrix<double, 3, 1> t2;//float类型
	t2 << -0.1, 0.5, 0.3;
	Eigen::Matrix<double, 3, 1> p1;//float类型
	p1 << 0.5, 0, 0.2;
 
	cout << "q1= \n" << q1.coeffs() << endl;
	cout << "t1= \n" << t1 << endl;
	cout << "q2= \n" << q2.coeffs() << endl;
	cout << "t2= \n" << t2 << endl;
 
	/*
	q1.setIdentity();
	cout<<"q1 after setIdentity \n"<<q1.coeffs() <<endl;
	q2.setIdentity();
	cout<<"q2 after setIdentity \n"<<q2.coeffs() <<endl;
	*/
	
	q1 = q1.normalized();//规范化  归一化   除以模长
	cout << "q1 after normalized\n" << q1.coeffs() << endl;
	q2 = q2.normalized();
	cout << "q2 after normalized \n" << q2.coeffs() << endl;
 
	Eigen::Matrix3d q1rotation_matrix = Eigen::Matrix3d::Identity();//单位阵
	q1rotation_matrix = q1.toRotationMatrix();
	Eigen::Isometry3d Tc1w = Eigen::Isometry3d::Identity();// 虽然称为3d,实质上是4*4的矩阵  齐次坐标
 
	Tc1w.rotate(q1rotation_matrix);                                    // 按照q1rotation_matrix进行旋转
	Tc1w.pretranslate(t1);                                                     // 把平移向量设成t1
 
	//Eigen::Isometry3d Twc1=Tc1w.inverse();//由world 到c1的逆变换  成 c1到world
	Eigen::Matrix<double, 3, 1> pw = Tc1w.inverse()*p1;    //将c1坐标系下的点p1变换到world坐标系下
 
	Eigen::Matrix3d q2rotation_matrix = Eigen::Matrix3d::Identity();//单位阵
	q2rotation_matrix = q2.toRotationMatrix();
	Eigen::Isometry3d Tc2w = Eigen::Isometry3d::Identity();// 虽然称为3d,实质上是4*4的矩阵  齐次坐标
 
	Tc2w.rotate(q2rotation_matrix);                                    // 按照q2rotation_matrix进行旋转
	Tc2w.pretranslate(t2);                                                     // 把平移向量设成t2
 
	Eigen::Matrix<double, 3, 1> p2 = Tc2w*pw;    //将world坐标系下的点pw变换到c2坐标系下
	cout << "the loc of p1 in c1  = \n" << p1 << endl;
	cout << "the loc of p1 in world  = \n" << pw << endl;
	cout << "the loc of p1 in c2 = \n" << p2 << endl;
}
Brock-123
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