有符号补码的加减法以及大小比较

1.瞎扯简述

 最近在写用fpga进行解缠绕的IP，解缠绕做的事情并不算复杂，就是比较后进行加减而已。但是解缠绕前面这个IP是用的xilinx的Cordic内核，算出来的是补码，过去只做了一些什么简单的取反加一的简单原码补码转换，所以在这里加减就懵了，没有真正碰过补码运算，正好借此机会好好整明白补码的操作。

2.原码与补码的转换

 什么是有符号原码，补码怎么转换的，百度即可，耐心看5分钟就整明白了。

3.表示范围

 对于8位有符号数的来讲，原码很容易理解，表示范围是-127-127。但是计算机不采用原码存储，采用补码，+0和-0的补码都是0000 0000，当时最令我疑问的1000 0000为什么表示-128，对1000 0000的符号位不变，数值位取反加一，就变成了1 0000 0000，就算我人为规定了1 0000 0000这个就是-128的补码，但是计算机怎么识别呢，毕竟这是个9位数据。
其实，还是自己低估了补码的意义。
我们就来看看把1000 0000作为-128的补码能不能参与运算，为了方便大家验证，我们下面不以
8位有符号数来验证，以4位有符号数验证。4位有符号数是从-8-7，1000就是-8的补码。
举个例子，-8+6=1000+0110=1110 1110的原码是1010=-2 正确 ，1000作为-8的补码参与运算是完全正确的，我所不理解的这个补码转换成原码后变成9位后计算机为什么还能认识，是以人的角度思考的，对于加法器减法器来讲，这个是完全没问题的。

4.补码加减法

 记住[X±Y]补=[X]补±[Y]补
用4位有符号数(补码)验证一下
1.-3+2=1101+0010=1111 1111的原码是1001=-1
2.-3-1=1101-0001=1100 1100的原码是1100=-4
3.-3+7=1101+0111=0100 0100的原码是0100=4
验证无误，考虑到上一节的内容来，所以使用补码在范围内进行加减是完全没有问题的。

5.有符号数加减后溢出的处理办法

 在我的处理过程中，使用的是16位有符号数，但是是由1位符号位+2位整数位+13位分数位组成的，所以不会超过±4，但是在使用中我需要进行加减2pi的操作，这就超出了位数，应该怎么处理呢，实际上用补码非常方便，只需要扩增符号位即可，下面来看看具体如何操作。
还是以4位有符号数为例，如果要进行-8-2的操作，这势必超出了范围，做法就是进行位数扩增
-8-2=1000-0010=11000-00010=10110 10110的原码是11010=-10 加粗的数字就是讲4位有符号数补成5位有符号数，最高位补符号位。4位有符号数下1000是-8的补码，补符号位变成5位有符号数后，11000仍然是-8的补码，把4位扩成5位没有任何影响，如果前一个IP比如都是4位的补码，后面一个IP是8位的补码，完全可以将4位加了4个符号位变成8位有符号数，
举个例子，-8-4=1111 1000-0000 0100=1111 0100 其原码是1000 1100=-12，验证无误。

6.补码转成原码

 上面虽然写了用补码完全OK，但是有时候就是想转成原码怎么办。我过去一直用的是符号位不变，数值位取反加1。但是，其他的没有问题，最小值是个麻烦事，例如对于4位有符号数(补码)，-8=1000 如果按照取反加1，就变成了0000，那应该如何转成原码呢？方法和上一节相同，对于4位有符号数，如果我已知数据中不可能与-8，那没事，可以不管，如果不知道，或者说有可能有最小值-8出现。还是增加一位符号位，-8=1000—>11000 11000是补码，最高位不变，后四位按位取反后加1，有11000(原码)=-8。
过去我颇为不理解为什么Xilinx的IP核中，如果设置位宽为14，由于FPGA的内部结构，接口往往是8的倍数，所以是16，这种情况下会在高位自动补足两位符号位 ，但是补足符号位仅限于补码，原码能通过补足符号位来运算吗？当然不能，因为补足符号位，例如4位有符号数，如果是复数前面补符号位，数值就变了，自然不能用来计算了。

7.verilog大小比较

 对于原码的大小比较，比较简单，比一下符号位，再比较一下数值位就OK了
对于我的问题，需要进行补码的大小比较。
假设输入的是4位有符号数补码，A和B，对A-B进行判断，差值大于7就-8后再输出，小于-8就+7后再输出。这样输出的数据也可以用4位有符号数来表示,下面贴上verilog代码

module bijiao
(input [3:0] A,
input [3:0] B,
output [3:0] C
);

wire [4:0] A_5;//扩展成5位
wire [4:0] B_5;
wire [4:0] C_5;
wire [4:0] D_5;

assign A_5={A[3:3],A};
assign B_5={B[3:3],B};
assign C_5=A-B;
assign C=D_5[3:0];

allways@(C_5)
begin
if(!C_5[4:4]&&C_5[4:0]>5’b00111)//补码判断大于+7,保证符号位为0，整体>7的补码即可
D_5<=C_5-5’b01000;
else if(C_5[4:4]&&C_5[4:0]<5’b11000)//补码判断小于-8，保证符号位为1，整体<-8的补码即可
D_5<=C_5+5’b00111)
else
D_5<=C_5;
end

endmodule