并查集算法
本文主要介绍解决动态连通性一类问题的一种算法,使用到了一种叫做并查集的数据结构,称为Union-Find。
更多的信息可以参考Algorithms 一书的Section 1.5,实际上本文也就是基于它的一篇读后感吧。
原文中更多的是给出一些结论,我尝试给出一些思路上的过程,即为什么要使用这个方法,而不是别的什么方法。我觉得这个可能更加有意义一些,相比于记下一些结论。
关于动态连通性
我们看一张图来了解一下什么是动态连通性:
假设我们输入了一组整数对,即上图中的(4, 3) (3, 8)等等,每对整数代表这两个points/sites是连通的。那么随着数据的不断输入,整个图的连通性也会发生变化,从上图中可以很清晰的发现这一点。同时,对于已经处于连通状态的points/sites,直接忽略,比如上图中的(8,9)。
动态连通性的应用场景:
- 网络连接判断:
如果每个pair中的两个整数分别代表一个网络节点,那么该pair就是用来表示这两个节点是需要连通的。那么为所有的pairs建立了动态连通图后,就能够尽可能少的减少布线的需要,因为已经连通的两个节点会被直接忽略掉。
- 变量名等同性(类似于指针的概念):
在程序中,可以声明多个引用来指向同一对象,这个时候就可以通过为程序中声明的引用和实际对象建立动态连通图来判断哪些引用实际上是指向同一对象。
对问题建模:
在对问题进行建模的时候,我们应该尽量想清楚需要解决的问题是什么。因为模型中选择的数据结构和算法显然会根据问题的不同而不同,就动态连通性这个场景而言,我们需要解决的问题可能是:
- 给出两个节点,判断它们是否连通,如果连通,不需要给出具体的路径
- 给出两个节点,判断它们是否连通,如果连通,需要给出具体的路径
就上面两种问题而言,虽然只有是否能够给出具体路径的区别,但是这个区别导致了选择算法的不同,本文主要介绍的是第一种情况,即不需要给出具体路径的Union-Find算法,而第二种情况可以使用基于DFS的算法。
建模思路:
最简单而直观的假设是,对于连通的所有节点,我们可以认为它们属于一个组,因此不连通的节点必然就属于不同的组。随着Pair的输入,我们需要首先判断输入的两个节点是否连通。如何判断呢?按照上面的假设,我们可以通过判断它们属于的组,然后看看这两个组是否相同,如果相同,那么这两个节点连通,反之不连通。为简单起见,我们将所有的节点以整数表示,即对N个节点使用0到N-1的整数表示。而在处理输入的Pair之前,每个节点必然都是孤立的,即他们分属于不同的组,可以使用数组来表示这一层关系,数组的index是节点的整数表示,而相应的值就是该节点的组号了。该数组可以初始化为:
- for(int i = 0; i < size; i++)
- id[i] = i;
即对于节点i,它的组号也是i。
初始化完毕之后,对该动态连通图有几种可能的操作:
- 查询节点属于的组
数组对应位置的值即为组号
- 判断两个节点是否属于同一个组
分别得到两个节点的组号,然后判断组号是否相等
- 连接两个节点,使之属于同一个组
分别得到两个节点的组号,组号相同时操作结束,不同时,将其中的一个节点的组号换成另一个节点的组号
- 获取组的数目
初始化为节点的数目,然后每次成功连接两个节点之后,递减1
API
我们可以设计相应的API:
注意其中使用整数来表示节点,如果需要使用其他的数据类型表示节点,比如使用字符串,那么可以用哈希表来进行映射,即将String映射成这里需要的Integer类型。
分析以上的API,方法connected和union都依赖于find,connected对两个参数调用两次find方法,而union在真正执行union之前也需要判断是否连通,这又是两次调用find方法。因此我们需要把find方法的实现设计的尽可能的高效。所以就有了下面的Quick-Find实现。
Quick-Find 算法:
- public class UF
- {
- private int[] id; // access to component id (site indexed)
- private int count; // number of components
- public UF(int N)
- {
- // Initialize component id array.
- count = N;
- id = new int[N];
- for (int i = 0; i < N; i++)
- id[i] = i;
- }
- public int count()
- { return count; }
- public boolean connected(int p, int q)
- { return find(p) == find(q); }
- public int find(int p)
- { return id[p]; }
- public void union(int p, int q)
- {
- // 获得p和q的组号
- int pID = find(p);
- int qID = find(q);
- // 如果两个组号相等,直接返回
- if (pID == qID) return;
- // 遍历一次,改变组号使他们属于一个组
- for (int i = 0; i < id.length; i++)
- if (id[i] == pID) id[i] = qID;
- count--;
- }
- }
举个例子,比如输入的Pair是(5, 9),那么首先通过find方法发现它们的组号并不相同,然后在union的时候通过一次遍历,将组号1都改成8。当然,由8改成1也是可以的,保证操作时都使用一种规则就行。
上述代码的find方法十分高效,因为仅仅需要一次数组读取操作就能够找到该节点的组号,但是问题随之而来,对于需要添加新路径的情况,就涉及到对于组号的修改,因为并不能确定哪些节点的组号需要被修改,因此就必须对整个数组进行遍历,找到需要修改的节点,逐一修改,这一下每次添加新路径带来的复杂度就是线性关系了,如果要添加的新路径的数量是M,节点数量是N,那么最后的时间复杂度就是MN,显然是一个平方阶的复杂度,对于大规模的数据而言,平方阶的算法是存在问题的,这种情况下,每次添加新路径就是“牵一发而动全身”,想要解决这个问题,关键就是要提高union方法的效率,让它不再需要遍历整个数组。
Quick-Union 算法:
考虑一下,为什么以上的解法会造成“牵一发而动全身”?因为每个节点所属的组号都是单独记录,各自为政的,没有将它们以更好的方式组织起来,当涉及到修改的时候,除了逐一通知、修改,别无他法。所以现在的问题就变成了,如何将节点以更好的方式组织起来,组织的方式有很多种,但是最直观的还是将组号相同的节点组织在一起,想想所学的数据结构,什么样子的数据结构能够将一些节点给组织起来?常见的就是链表,图,树,什么的了。但是哪种结构对于查找和修改的效率最高?毫无疑问是树,因此考虑如何将节点和组的关系以树的形式表现出来。
如果不改变底层数据结构,即不改变使用数组的表示方法的话。可以采用parent-link的方式将节点组织起来,举例而言,id[p]的值就是p节点的父节点的序号,如果p是树根的话,id[p]的值就是p,因此最后经过若干次查找,一个节点总是能够找到它的根节点,即满足id[root]= root的节点也就是组的根节点了,然后就可以使用根节点的序号来表示组号。所以在处理一个pair的时候,将首先找到pair中每一个节点的组号(即它们所在树的根节点的序号),如果属于不同的组的话,就将其中一个根节点的父节点设置为另外一个根节点,相当于将一颗独立的树编程另一颗独立的树的子树。直观的过程如下图所示。但是这个时候又引入了问题。
在实现上,和之前的Quick-Find只有find和union两个方法有所不同:
- private int find(int p)
- {
- // 寻找p节点所在组的根节点,根节点具有性质id[root] = root
- while (p != id[p]) p = id[p];
- return p;
- }
- public void union(int p, int q)
- {
- // Give p and q the same root.
- int pRoot = find(p);
- int qRoot = find(q);
- if (pRoot == qRoot)
- return;
- id[pRoot] = qRoot; // 将一颗树(即一个组)变成另外一课树(即一个组)的子树
- count--;
- }
树这种数据结构容易出现极端情况,因为在建树的过程中,树的最终形态严重依赖于输入数据本身的性质,比如数据是否排序,是否随机分布等等。比如在输入数据是有序的情况下,构造的BST会退化成一个链表。在我们这个问题中,也是会出现的极端情况的,如下图所示。
为了克服这个问题,BST可以演变成为红黑树或者AVL树等等。
然而,在我们考虑的这个应用场景中,每对节点之间是不具备可比性的。因此需要想其它的办法。在没有什么思路的时候,多看看相应的代码可能会有一些启发,考虑一下Quick-Union算法中的union方法实现:
- public void union(int p, int q)
- {
- // Give p and q the same root.
- int pRoot = find(p);
- int qRoot = find(q);
- if (pRoot == qRoot)
- return;
- id[pRoot] = qRoot; // 将一颗树(即一个组)变成另外一课树(即一个组)的子树
- count--;
- }
上面 id[pRoot] = qRoot 这行代码看上去似乎不太对劲。因为这也属于一种“硬编码”,这样实现是基于一个约定,即p所在的树总是会被作为q所在树的子树,从而实现两颗独立的树的融合。那么这样的约定是不是总是合理的呢?显然不是,比如p所在的树的规模比q所在的树的规模大的多时,p和q结合之后形成的树就是十分不和谐的一头轻一头重的”畸形树“了。
所以我们应该考虑树的大小,然后再来决定到底是调用:
id[pRoot] = qRoot 或者是 id[qRoot] = pRoot
即总是size小的树作为子树和size大的树进行合并。这样就能够尽量的保持整棵树的平衡。
所以现在的问题就变成了:树的大小该如何确定?
我们回到最初的情形,即每个节点最一开始都是属于一个独立的组,通过下面的代码进行初始化:
- for (int i = 0; i < N; i++)
- id[i] = i; // 每个节点的组号就是该节点的序号
以此类推,在初始情况下,每个组的大小都是1,因为只含有一个节点,所以我们可以使用额外的一个数组来维护每个组的大小,对该数组的初始化也很直观:
- for (int i = 0; i < N; i++)
- sz[i] = 1; // 初始情况下,每个组的大小都是1
而在进行合并的时候,会首先判断待合并的两棵树的大小,然后按照上面图中的思想进行合并,实现代码:
- public void union(int p, int q)
- {
- int i = find(p);
- int j = find(q);
- if (i == j) return;
- // 将小树作为大树的子树
- if (sz[i] < sz[j]) { id[i] = j; sz[j] += sz[i]; }
- else { id[j] = i; sz[i] += sz[j]; }
- count--;
- }
Quick-Union 和 Weighted Quick-Union 的比较:
可以发现,通过sz数组决定如何对两棵树进行合并之后,最后得到的树的高度大幅度减小了。这是十分有意义的,因为在Quick-Union算法中的任何操作,都不可避免的需要调用find方法,而该方法的执行效率依赖于树的高度。树的高度减小了,find方法的效率就增加了,从而也就增加了整个Quick-Union算法的效率。
上图其实还可以给我们一些启示,即对于Quick-Union算法而言,节点组织的理想情况应该是一颗十分扁平的树,所有的孩子节点应该都在height为1的地方,即所有的孩子都直接连接到根节点。这样的组织结构能够保证find操作的最高效率。
那么如何构造这种理想结构呢?
在find方法的执行过程中,不是需要进行一个while循环找到根节点嘛?如果保存所有路过的中间节点到一个数组中,然后在while循环结束之后,将这些中间节点的父节点指向根节点,不就行了么?但是这个方法也有问题,因为find操作的频繁性,会造成频繁生成中间节点数组,相应的分配销毁的时间自然就上升了。那么有没有更好的方法呢?还是有的,即将节点的父节点指向该节点的爷爷节点,这一点很巧妙,十分方便且有效,相当于在寻找根节点的同时,对路径进行了压缩,使整个树结构扁平化。相应的实现如下,实际上只需要添加一行代码:
- private int find(int p)
- {
- while (p != id[p])
- {
- // 将p节点的父节点设置为它的爷爷节点
- id[p] = id[id[p]];
- p = id[p];
- }
- return p;
- }
至此,动态连通性相关的Union-Find算法基本上就介绍完了,从容易想到的Quick-Find到相对复杂但是更加高效的Quick-Union,然后到对Quick-Union的几项改进,让我们的算法的效率不断的提高。
这几种算法的时间复杂度如下所示:
Algorithm |
Constructor |
Union |
Find |
Quick-Find |
N |
N |
1 |
Quick-Union |
N |
Tree height |
Tree height |
Weighted Quick-Union |
N |
lgN |
lgN |
Weighted Quick-Union With Path Compression |
N |
Very near to 1 (amortized) |
Very near to 1 (amortized) |
对大规模数据进行处理,使用平方阶的算法是不合适的,比如简单直观的Quick-Find算法,通过发现问题的更多特点,找到合适的数据结构,然后有针对性的进行改进,得到了Quick-Union算法及其多种改进算法,最终使得算法的复杂度降低到了近乎线性复杂度。
如果需要的功能不仅仅是检测两个节点是否连通,还需要在连通时得到具体的路径,那么就需要用到别的算法了,比如DFS或者BFS。
并查集的应用,可以参考另外一篇文章 并查集应用举例
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2024/3/29 18:07:15 - 【原油贵金属早评】贸易冲突导致需求低迷,油价弱势
原标题:【原油贵金属早评】贸易冲突导致需求低迷,油价弱势近日虽然伊朗局势升温,中东地区几起油船被袭击事件影响,但油价并未走高,而是出于调整结构中。由于市场预期局势失控的可能性较低,而中美贸易问题导致的全球经济衰退风险更大,需求会持续低迷,因此油价调整压力较…...
2024/3/29 9:57:23 - 氧生福地 玩美北湖(上)——为时光守候两千年
原标题:氧生福地 玩美北湖(上)——为时光守候两千年一次说走就走的旅行,只有一张高铁票的距离~ 所以,湖南郴州,我来了~ 从广州南站出发,一个半小时就到达郴州西站了。在动车上,同时改票的南风兄和我居然被分到了一个车厢,所以一路非常愉快地聊了过来。 挺好,最起…...
2024/3/29 0:49:46 - 氧生福地 玩美北湖(中)——永春梯田里的美与鲜
原标题:氧生福地 玩美北湖(中)——永春梯田里的美与鲜一觉醒来,因为大家太爱“美”照,在柳毅山庄去寻找龙女而错过了早餐时间。近十点,向导坏坏还是带着饥肠辘辘的我们去吃郴州最富有盛名的“鱼头粉”。说这是“十二分推荐”,到郴州必吃的美食之一。 哇塞!那个味美香甜…...
2024/3/29 18:06:57 - 氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!
原标题:氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 啊……啊……啊 两…...
2024/3/29 17:27:19 - 扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!
原标题:扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客!当行业里的某一品项火爆了,就会有很多商家蹭热度,装逼忽悠,最近火爆朋友圈的医用面膜,被沾上了污点,到底怎么回事呢? “比普通面膜安全、效果好!痘痘、痘印、敏感肌都能用…...
2024/3/29 18:06:36 - 「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜
原标题:「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜丽彦妆铁皮石斛医用面膜|石斛多糖无菌修护补水贴19大优势: 1、铁皮石斛:自唐宋以来,一直被列为皇室贡品,铁皮石斛生于海拔1600米的悬崖峭壁之上,繁殖力差,产量极低,所以古代仅供皇室、贵族享用 2、铁皮石斛自古民间…...
2024/3/29 18:06:22 - 丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者
原标题:丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者【公司简介】 广州华彬企业隶属香港华彬集团有限公司,专注美业21年,其旗下品牌: 「圣茵美」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「圣仪轩」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「花茵莳」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「丽彦妆」专注医学护…...
2024/3/28 18:26:34 - 广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!
原标题:广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM流程及注意事项解读: 械字号医用面膜,其实在我国并没有严格的定义,通常我们说的医美面膜指的应该是一种「医用敷料」,也就是说,医用面膜其实算作「医疗器械」的一种,又称「医用冷敷贴」。 …...
2024/3/29 18:06:01 - 械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?
原标题:械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?医用眼膜/械字号眼膜/医用冷敷眼贴 凝胶层为亲水高分子材料,含70%以上的水分。体表皮肤温度传导到本产品的凝胶层,热量被凝胶内水分子吸收,通过水分的蒸发带走大量的热量,可迅速地降低体表皮肤局部温度,减轻局部皮肤的灼…...
2024/3/28 20:09:10 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57