一、 单背包问题

• 解法归纳:

  • 一、如果装不下当前物品,那么前n个物品的最佳组合和前n-1个物品的最佳组合是一
    样的。

  • 二、如果装得下当前物品。

    • 假设1:装当前物品,在给当前物品预留了相应空间的情况下,前n-1个物品的最佳组合加上当前物品的价值就是总价值。

    • 假设2:不装当前物品,那么前n个物品的最佳组合和前n-1个物品的最佳组合是一样的。

    • 选取假设1和假设2中较大的价值,为当前最佳组合的价值。

• 得到最大价值

//动态规划找到容量为r的背包所能装下的最大价值，n个物品
int maxValue(int n, int r) {for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= r; j++) {if (weight[i] > j)dp[i][j] = dp[i - 1][j];elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}return dp[n][r];
}

• 回溯寻找背包里的物品

//回溯找到背包里的物品是什么，i为编号，j为容量，n为物品数量，在object[]里存放
void fid(int i, int j, int n) {if (i == 0) {for (int k = 1; k <= n; k++)if (object[k] == 1)printf("%d ", k);return;}if (dp[i][j] == dp[i - 1][j]) {object[i] = 0;fid(i - 1, j, n);} else if (dp[i][j] == max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])) {object[i] = 1;fid(i - 1, j - weight[i], n);}
}

• 全部代码

const int maxn = 1e5 + 6;
//weight-->weight,value-->value,dp[编号][容量]-->前n个编号的在容量之内的最优价值
int weight[maxn], value[maxn], dp[10000][10000];
int object[maxn];//动态规划找到容量为r的背包所能装下的最大价值，n个物品
int maxValue(int n, int r) {for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= r; j++) {if (weight[i] > j)dp[i][j] = dp[i - 1][j];elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}return dp[n][r];
}//回溯找到背包里的物品是什么，i为编号，j为容量，n为物品数量，在object[]里存放
void fid(int i, int j, int n) {if (i == 0) {for (int k = 1; k <= n; k++)if (object[k] == 1)printf("%d ", k);return;}if (dp[i][j] == dp[i - 1][j]) {object[i] = 0;fid(i - 1, j, n);} else if (dp[i][j] == max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])) {object[i] = 1;fid(i - 1, j - weight[i], n);}
}int main() {int n, r, w, v;scc(n, r);for (int i = 1; i <= n; i++) {scc(w, v);weight[i] = w;value[i] = v;}p(maxValue(n, r));fid(n, r, n);
}

二、 多重背包问题

POJ-1276

问题概述：

背包容量bag，有num[i]个价值为value[i]、重量为weight[i]的物品，求最高价值

代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include <vector>
#include <cctype>
#include <cstdlib>using namespace std;#define ll long long
#define il inline
#define oo 2147000000
#define sc(x) scanf("%d",&x)
#define scc(x, y) scanf("%d%d",&x,&y)
#define sccc(x, y, z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)
#define p(x) printf("%d\n",x)
#define m(x, y) (x+y)>>1
#define l(x) x<<1
#define r(x) x<<1|1
#define MAX 1000000int dp[MAX];//存储最后背包最大能存多少
int value[MAX], weight[MAX], num[MAX];//分别存的是物品的价值，每一个的重量以及数量
int bag;void zeroOnePack(int weight, int value) {//01背包int i;for (i = bag; i >= weight; i--) {dp[i] = max(dp[i], dp[i - weight] + value);}
}void completePack(int weight, int value) {//完全背包int i;for (i = weight; i <= bag; i++) {dp[i] = max(dp[i], dp[i - weight] + value);}
}void multiplePack(int weight, int value, int num) {//多重背包if (bag <= num * weight) {//如果总容量比这个物品的容量要小，那么这个物品可以直到取完，相当于完全背包completePack(weight, value);return;} else {//否则就将多重背包转化为01背包int k = 1;while (k <= num) {zeroOnePack(k * weight, k * value);num = num - k;k = 2 * k;//这里采用二进制思想}zeroOnePack(num * weight, num * value);}
}int main() {int n;while (~scc(bag, n)) {int i, sum = 0;for (i = 0; i < n; i++) {scc(num[i],value[i]);//此题没有weight,可以认为weight=value}memset(dp, 0, sizeof(dp));for (i = 0; i < n; i++) {//调用多重背包,注意传参的时候分别是重量，价值和数量multiplePack(value[i], value[i], num[i]);}p(dp[bag]);}return 0;
}