原标题：数学新思想交锋：质疑与答辩

提要：“无中生有”是否悖论？虚量“即零非零”怎以实例说明？关于这些问题，相信不仅专家有兴趣、普通读者也能从中受益。本文是回复读者的记录之整理，对全面了解和评判实点理论将大有裨益。

读者A质疑：

实数与数轴的关系存在悖论不能这样证明。

先说什么是悖论，然后再举几个与数无关的例子，就得出无长度的点组成有长度线是悖论的结论。

那么，老子的‘无中生有’也是悖论?

作者M回复：

你最好先仔细看看第一讲内容。我先抽象出悖论概念的共性，然后将此落实到点与量关系之上，进而可以推出数轴上（实数）点标记与线段量之间满足悖论存在条件，进而不可避免在概念应用时出现麻烦、经典分析只是用求极限符号将之掩盖起来。

数学基础介于哲学与计量科学之间。这里有一个半哲学、半科学问题，具体一例是：对于N分之一，当N取无穷大之最终结果是什么？

按极限思想这结果确定为零，这样必然生出悖论、导致哲学无法通过、计量难处理。

按实点思想这结果确定了（一维）形式最小的实用数，哲学顺利通过、计量也简单。

哲学不能代替具体科学。“无中生有”是说：现存“有”的一切，原先都是“无”的。这里是形而上判断命题，没有悖论。

A：

你所定义的实用数不过是有理数的一个子集。

M：

形式上看，是的。但1可以规定或代替为数轴上任意有限一段线长的数值，包括无理数值。

这样可以间接把所有实数包括进来，就此已在定义实点时已有明确规定和说明。

A：

数是抽象出来的，有了量才与物相关。没有必要把两个概念混淆。

M：

不结合起来，则无法彻底去除悖论；或许更关键问题是：将失去理论抽象的真实性及其与应用之间的一致性。

A：

悖论是你自说自话……悖论对解决具体问题没有什么帮助。

M：

我研究悖论冲突问题超过四十年，或许自觉简单而忽视问题“独特”、需有更多解释，值得日后改进表述……在后五讲中，每讲均解决了一个以上的具体问题，其严密、简单和明朗，远胜经典方法，尤其第八讲还顺带解决了经典分析无法解决的一个问题。

不用说，你对经典分析的熟悉了解，远超对实点分析。或许就因为这，容易让你产生某种判断失误？

读者B：

虚概念仍让人不易明白。尤其是虚量，为零非零难道不是算术悖论吗？

M：

新观念建立不容易、其转变也需一个过程。若能多费些时间，相信会自然明白。

加入了具体条件，虚量概念不会是算术悖论：若实点量（在通常微积分）定为一阶级小量，则虚量定为超一阶小量；若实点量（在微分几何）定为二阶小量，则虚量定为超二阶小量；以此类推即可。

读者C：

能否举一简单例子，说明虚量为何能够“即零非零”。

M：

这样吧，先说语义。虚首先意味着无内容或不见内容、同时又可加入或发现内容。前者引申出虚量，后者引申出实量。

再举实例。一容器看是空的，但内有空气；将水倒入时，里面又成液体。所以空气相对液体而言就是虚量；空气相对真空而言又是实量。

且空气又能液化为水，这或许可以类比“虚转实”；但真空不可能转为液体，这就能解释绝对零不可能转为非零量、无论是虚量或实量。

这一真空、空气和水三者间的关系，可用来理解绝对零、虚量零和非零量三者间的关系。当然，任何类比都不可能完全一致。

A：

数学公理应该是整个理论的出发点和具备基石性质，且不能逻辑推演去证明。尤其重要的是，公理的改变会导至一系列新的定理和结论，而不是对现有的理论换一个说法。

M：

我只是按古老中国式思维，改造了现有数学基础。通过实点定义，消除了一直被转移和掩盖的悖论；同时通过引入虚量公理，解决了理论分析推导的精确性问题。

这一改变同时解决了诸多历史遗留问题，同时带给学习和应用极大方便。拟日后写作微积分教程、届时估计会有更严格、简洁的新面目。

物理学中“量子”假说，某种角度不也是换一种“说法”吗？人们为何最终要接纳它呢？只要公理改变能解决理论及应用问题，其“合法性”就不容置疑、又何乐不为呢？

且虚量公理不排斥现有其它公理，如“点无大小”仍作为标记点存于实点定义之中。更直白些说，实点理论只是排斥“求极限”操作，因其会引发人为性悖论且在处理高阶小量时易陷于尴尬，但从未否定或改变特定极限值的存在。

……

欢迎读者留言质疑提问，本人十分乐意作答、包括前篇费马定理证明的问题。

消息：两至三周后，准备开讲哲学及其一些关联学科内容。拟以小专题阐述、对话以及论辩等方式展开，届时欢迎关注并提不同见解。

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