第七周算法作业:递归与分治
第七周算法作业
- 1.给出小于sum的正整数a1,a2……an,问凑出和为sum有多少种方法?
- 2、m个苹果,n个盘子,问多少种不同放法?
主要讲解递归与分治部分
作业题目:
1、给出小于sum的正整数a1,a2……an,问凑出和为sum有多少种方法?
2、m个苹果,n个盘子,问多少种不同放法?
1.给出小于sum的正整数a1,a2……an,问凑出和为sum有多少种方法?
解题思路:
- 设f(a1,a2,…,an,sum)为用a1,a2,…,an凑出40的方法数,考虑凑数的方法分为两类,用到a1和用不到a1,则有:
f(a1,a2,....,an,sum)=f(a2,.....,an,sum-a1)+f(a2,....,an,sum)
- 考虑到在实现上函数的参数个数要统一,所以把a1,a2,…,an放到一个数组中,用numbers[]存放所有的整数,n表示数组中整数的个数,ith表示从数组中第ith个数开始凑数(ith前面的不用),sum表示要凑出的总数,则
f(numbers,n,ith,sum)=
f(numbers,n,ith+1,sum-numbers[ith])//用到ith
+f(numbers,n,ith+1,sum)//不用ith
- 终止条件:
1.如果sum=0,则应该返回1(一个数都不取,也是一种取法)
2.如果sum<0,则应该返回0(没法凑出负数)
3.如果ith=n,则应该返回0(所有的数都用完了,和还没有凑够) - 在实现上有两种考虑:
1.因为numbers,n与递归没有太大关系,可以考虑使用全局变量。
2.如果不使用全局变量,而通过参数传递numbers和n,可以增强递归函数的独立性
int numbers[num],n;//将numbers,n设为全局变量
int count(int ith,int sum){if(sum==0) return 1;if(ith==n||sum<0) return 0;return count(ith+1,sum-numbers[ith])+count(ith+1,sum);
}
2、m个苹果,n个盘子,问多少种不同放法?
问题描述: 把m个同样的苹果放在n个同样的盘子里,允许有的盘子空着不放,问共有多少种不同的分法?(用k表示)5,1,1和1,5,1是同一种分法。
输入: 第一行是测试数据的数目t(0<=t<=20)。以下每行均包含两个整数m和n,以空格分开。1<=m,n<=10.
输出: 对输入的每组数据m和n,用一行输出相应的k。
输入样例:
1
7 3
输出样例:
8
分析:
- 设f(a,d)为a个苹果,d个盘子的方法数目,则先对d作讨论。
- 如果d>a,必定至少有d-a个盘子是空的,去掉这些空盘子对摆放苹果方法数目不产生影响,即
if(d>a) f(d,a)=f(a,a)
- 当d<=a时,不同的方法可以分成两类:
1.至少一个盘子空着:假定该情况下的方法数目为g(a,d)
2.所有盘子都有苹果,即没有盘子空着:假定该情况下的放法数目为k(a,d)
则显然:f(a,d)=g(a,d)+k(a,d)
- 然而:
g(a,d)=f(a,d-1) k(a,d)=f(a-d,d)
(a-d表示所有d个盘子中先放一个苹果后剩下的苹果,剩下的苹果随意放) - 因此:
f(a,d)=f(a,d-1)+f(a-d,d)
- 递推公式为:
if(d>a)f(a,d)=f(a,a);
elsef(a,d)=f(a,d-1)+f(a-d,d);
- 终止条件
当d=1时,所有苹果都必须放在一个盘子中,所以返回1.
当没有苹果可放a=0时,所有盘子都是空的,只有一种放法,所以也返回1 - 递推的两条路:
第一条:d会逐渐减少,终会到达出口d=1;
第二条:a会逐渐减少,因为d>a时,我们会return f(a,a),所以终会到达出口a=0
int f(int a,int d){if(d==1||a==0)return 1;if(d>a)return f(a,a);return f(a,d-1)+f(a-d,d);
}
参考资料:http://staff.ustc.edu.cn/~zhuang/clp/lectures/clp07.pdf
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2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57