微积分的本质

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本节的内容从一个实际且常用的问题引出——
“求一个连续变量的平均值”。

在求解过程中我们去探讨如何通过积分将面积和斜率联系在一起。
也可以通过这个例子进一步理解积分运算和求导运算的互逆性。

#1 “求一个连续变量的平均值”的普遍性

①世界上种种周期现象都可以用正弦曲线来进行描述，例如：每天的日照时数就是一个对应着日期的正弦函数。


②而如果我们想研究在夏季和冬季平均日照时数的差异，那么就需要求这个正弦曲线在不同的半周期下的平均值。

#2 引出求“连续量”的平均值的直观意义

①习惯的思维：我们通常是对一组离散的变量求平均值，通过用总和除以数量的方法得到平均值。

②但是对一个连续的曲线的函数值求其平均，按照习惯的思维进行延伸，不难产生一个直觉——将连续区间上无数多个值加起来，再除以无穷的总数。

③显然，无论从操作的可行性还是计算的可行性来讲，上述的方法都是行不通的。
但是，当我们产生了这样的直觉，就相当于踏出了“使用积分”求解平均值的第一步。

#3 使用积分求解连续量的均值

1. 从有限量到无限逼近

先在一段区间内取上有限个点对应的函数值，得到一个近似的平均值。

2. 微元和逼近

这里的思维和我们探究导数是一样的，就是当取的微元越小，那么近似的结果就会越精确。

在取值有意义的情况下，我们增加均匀取点的数目（也即缩小均匀取点的间隔），再来计算均值，得到的结果会更加逼近实际的连续变量的平均值。

3. 求均值和“积分”的联系

①以几何的观点看积分
从几何意义出发，不难推出求积分实质就是求曲线下的面积，这样一个过程。

那么，从一个更微观的视角出发，其实是将曲线下的面积划分成了若干下小矩形条。用矩形条面积的总和来近似整个面积，矩形条取得越细，计算的结果就越逼近实际的面积值。

②将求均值的过程也和dx联系起来

假设将一段连续值划分成若干小段，每一段的间隔均取为dx，如下图所示的例子：对于一个区间长度为π的连续值，则一共可以取到(π/dx)个离散点。
按照一般的均值求解思维，用所有离散点的函数值之和除以离散点的数目就可以得到近似的连续值的均值。

按照上图，对于计算进行变形，将dx移到分子上方，则上方就是对若干个sinxdx进行求和。当取的间隔dx越来越小的时候，分子的表达式就是对sinx曲线在0到π下的面积进行积分。

4. 连续值平均值的相关结论

根据上文中的推导过程，对于连续值求平均值的过程转化成了一个分式——分子是关于连续值曲线的积分，其几何意义就是曲线下的面积；分母就是区间的宽度。

综上所述：图像的平均高度就是区域的面积除以宽度。


注意：上述结论其实也很符合直观印象，可以从“量纲”的角度进行验证：我们常说面积=高度*宽度；上述结论和这个直观印象是相符合的。

#4 原函数在积分问题中的关键性

1. 求某一段曲线切线斜率的均值，相当于求解该曲线区间始末两点连线的均值。

对于上述这个结论的理解，就需要将微积分的几何意义代入即可。

f(x)是导函数，其有相应的原函数F(x)。
那么对于f(x)在某一指定区间进行积分再除以区间长度就相当于是对切线斜率在区间内求均值。
根据微积分基本定理，对于f(x)的积分可以转换成原函数 F(x)在区间两个端点处的函数值的差。

2. 为什么原函数是求解问题的关键呢？

当你求解连续函数的平均值时，转化为求解另一个函数各点切线的平均斜率，在这个计算过程中，我可以仅仅考虑这个函数的起点和终点，而不需要去考虑中间点。

后记

1. 本文系观看B站公开课《微积分的本质》的随课笔记，如果对笔记格式或内容有问题或建议的小伙伴欢迎私信和评论交流~
2. 原视频指路