Python 实现图像快速傅里叶变换和离散余弦变换!
图像的正交变换在数字图像的处理与分析中起着很重要的作用,被广泛应用于图像增强、去噪、压缩编码等众多领域。本文手工实现了 二维离散傅里叶变换 和 二维离散余弦变换 算法,并在多个图像样本上进行测试,以探究二者的变换效果。
1. 傅里叶变换
实验原理
对一幅图像进行 离散傅里叶变换 (DFT),可以得到图像信号的傅里叶频谱。二维 DFT 的变换及逆变换公式如下:
DFT 尽管解决了频域离散化的问题,但运算量太大。从公式中可以看到,有两个嵌套的求和符号,显然直接计算的复杂度为 \(O(n^2)\) 。为了加快傅里叶变换的运算速度,后人提出 快速傅里叶变换 (FFT),即蝶形算法,将计算 DFT 的复杂度降低到了 \(O(n\log n)\) 。
FFT 利用傅里叶变换的数学性质,采用分治的思想,将一个 \(N\) 点的 FFT,变成两个 \(N/2\)点的 FFT。以一维 FFT 为例,可以表示如下:
其中, \(G(k)\) 是 \(x(k)\) 的偶数点的 \(N/2\) 点的 FFT, \(H(k)\) 是 \(x(k)\) 的奇数点的 \(N/2\)点的 FFT。
这样,通过将原问题不断分解为两个一半规模的子问题,然后计算相应的蝶形运算单元,最终得以完成整个 FFT。
算法步骤
本次实验中,一维 FFT 采用递归实现,且仅支持长度为 2 的整数幂的情况。
算法步骤如下:
- 检查图像的尺寸,如果不是 2 的整数幂则直接退出。
- 对图像的灰度值进行归一化。
- 对图像的每一行执行一维 FFT,并保存为中间结果。
- 对上一步结果中的每一列执行一维 FFT,返回变换结果。
- 将零频分量移到频谱中心,并求绝对值进行可视化。
- 对中心化后的结果进行对数变换,以改善视觉效果。
主要代码
一维 FFT
def fft(x):n = len(x)if n == 2:return [x[0] + x[1], x[0] - x[1]]G = fft(x[::2])H = fft(x[1::2])W = np.exp(-2j * np.pi * np.arange(n//2) / n)WH = W * HX = np.concatenate([G + WH, G - WH])return X
二维 FFT
def fft2(img):h, w = img.shapeif ((h-1) & h) or ((w-1) & w):print('Image size not a power of 2')return imgimg = normalize(img)res = np.zeros([h, w], 'complex128')for i in range(h):res[i, :] = fft(img[i, :])for j in range(w):res[:, j] = fft(res[:, j])return res
零频分量中心化
def fftshift(img):# swap the first and third quadrants, and the second and fourth quadrantsh, w = img.shapeh_mid, w_mid = h//2, w//2res = np.zeros([h, w], 'complex128')res[:h_mid, :w_mid] = img[h_mid:, w_mid:]res[:h_mid, w_mid:] = img[h_mid:, :w_mid]res[h_mid:, :w_mid] = img[:h_mid, w_mid:]res[h_mid:, w_mid:] = img[:h_mid, :w_mid]return res
运行结果
2. 余弦变换
实验原理
当一个函数为偶函数时,其傅立叶变换的虚部为零,因而不需要计算,只计算余弦项变换,这就是余弦变换。 离散余弦变换 (DCT)的变换核为实数的余弦函数,因而计算速度比变换核为指数的 DFT 要快得多。
一维离散余弦变换与离散傅里叶变换具有相似性,对离散傅里叶变换进行下式的修改:
式中
由上式可见, \(\sum\limits_{x=0}^{2M-1}f_e(x)e^{\frac{-j2ux\pi}{2M}}\) 是 \(2M\) 个点的傅里叶变换,因此在做离散余弦变换时,可将其拓展为 \(2M\) 个点,然后对其做离散傅里叶变换,取傅里叶变换的实部就是所要的离散余弦变换。
算法步骤
基于上述原理,二维 DCT 的实现重用了上文中的一维 FFT 函数,并根据公式做了一些修改。
算法步骤如下:
- 检查图像的尺寸,如果不是 2 的整数幂则直接退出。
- 对图像的灰度值进行归一化。
- 对图像的每一行进行延拓,执行一维 FFT 后取实部,乘以公式中的系数,并保存为中间结果。
- 对上一步结果中的每一列进行延拓,执行一维 FFT 后取实部,乘以公式中的系数,返回变换结果。
- 对结果求绝对值,并进行对数变换,以改善视觉效果。
主要代码
二维 DCT
def dct2(img):h, w = img.shapeif ((h-1) & h) or ((w-1) & w):print('Image size not a power of 2')return imgimg = normalize(img)res = np.zeros([h, w], 'complex128')for i in range(h):res[i, :] = fft(np.concatenate([img[i, :], np.zeros(w)]))[:w]res[i, :] = np.real(res[i, :]) * np.sqrt(2 / w)res[i, 0] /= np.sqrt(2)for j in range(w):res[:, j] = fft(np.concatenate([res[:, j], np.zeros(h)]))[:h]res[:, j] = np.real(res[:, j]) * np.sqrt(2 / h)res[0, j] /= np.sqrt(2)return res
运行结果
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本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57